Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:04:05Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29582239; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:35:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29582239; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar abstrak]], '''semigelanggang''' adalah [[struktur aljabar]] dengan [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]] tanpa persyaratan setiap elemen menggunakan [[aditif invers]].

[[Semigelanggang tropis]] adalah bidang penelitian aktif, yang menghubungkan [[Variasi aljabar|varietas aljabar]] dengan struktur [[Lipatan sesepenggal linier|linear sesepenggal]].

== Definisi ==
'''Semigelanggang''' adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''R'' dengan dua [[operasi biner]] + dan ⋅, disebut sebagai penjumlahan dan perkalian, maka:

* (''R'', +) adalah [[monoid komutatif]] dengan [[elemen identitas]] 0:
** (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')
** 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''
** ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''
* (''R'', ⋅) adalah [[monoid]] dengan elemen identitas 1:
** (''a''⋅''b'')⋅''c'' = ''a''⋅(''b''⋅''c'')
** 1⋅''a'' = ''a''⋅1 = ''a''
* Perkalian kiri dan kanan [[hukum distributif|mendistribusikan]] di atas penambahan:
** ''a''⋅(''b'' + ''c'') = (''a''⋅''b'') + (''a''⋅''c'')
** (''a'' + ''b'')⋅''c'' = (''a''⋅''c'') + (''b''⋅''c'')
* Perkalian dengan 0 [[elemen pemusnah|menghilangkan]] ''R'':
** 0⋅''a'' = ''a''⋅0 = 0

Simbol ⋅ biasanya dihilangkan dari notasi; ''a''⋅''b'' ditulis ''ab''. Demikian pula, [[urutan operasi]] yang diterapkan sebelum + adalah yaitu

Dibandingkan dengan [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], semigelanggang menghilangkan persyaratan untuk invers di bawah penjumlahan; artinya, ini hanya membutuhkan [[monoid komutatif]], bukan [[grup komutatif]]. Dalam sebuah gelanggang, syarat pembalikan aditif dengan keberadaan nol perkalian yang ditentukan secara eksplisit. Jika perkalian sebuah semigelanggang adalah [[komutatif]], maka disebut '''semigelanggang komutatif'''.

Ada beberapa penulis yang lebih memilih untuk mengabaikan persyaratan bahwa semigelanggang memiliki 0 atau 1. Analogi antara ''[[gelanggang (aljabar)|gelanggang]]'' dan ''semigelanggang'' di satu sisi dan ''[[grup (matematika)|grup]]'' dan ''[[semigrup]]'' di sisi bekerja. Para penulis ini sering menggunakan ''rig'' untuk konsep definisi.

== Teori ==

Seseorang dapat menggeneralisasi teori (asosiatif) [[aljabar (teori gelanggang)|aljabar]] dari [[gelanggang komutatif]] langsung ke teori aljabar melalui semigelanggang komutatif.

Semigelanggang di mana setiap elemen adalah aditif [[idempotent]] (yaitu, ''a'' + ''a'' = ''a'' untuk semua elemen ''a'') disebut ''''''. Semigelanggang idempoten khusus untuk teori semigelanggang karena setiap gelanggang dimana idempoten dalam penambahan adalah [[Gelanggang trivial|trivial]]. Mendefinisikan [[urutan parsial]] ≤ pada semigelanggang idempoten dengan maka (atau, dengan kata lain, jika ''x'' dengan ). Sangat mudah untuk melihat bahwa 0 adalah [[elemen terkecil]] sehubungan dengan urutan untuk semua ''a''. Penjumlahan dan perkalian menghormati urutan dalam arti bahwa menyiratkan , dan .

=== Aplikasi ===

dan [[semigelanggang tropikal]] pada riil, sering digunakan dalam [[evaluasi kinerja]] pada sistem kejadian diskrit. Bilangan sebenarnya adalah "biaya" atau "waktu kedatangan"; operasi "maks" berhubungan dengan harus menunggu semua prasyarat dari sementara operasi "min" dengan kemampuan untuk memilih yang sederhana; dan + sesuai dengan akumulasi di sepanjang jalur yang sama.

Dengan demikian, [[algoritma Floyd–Warshall]] untuk [[jalur terpendek]] dapat diformulasi ulang sebagai komputasi aljabar . Demikian pula, [[algoritma Viterbi]] untuk urutan keadaan yang paling mungkin sesuai dengan urutan pengamatan dalam [[Model Markov tersembunyi]] dirumuskan sebagai komputasi melalui aljabar tentang probabilitas. Algoritma [[pemrograman dinamis]] bergantung pada [[sifat distributif]] dari semigelanggang terkait untuk menghitung jumlah secara besar-besaran untuk eksponensial.

== Contoh ==

Menurut definisi, gelanggang juga merupakan semigelanggang. Contoh motivasi dari semigelanggang adalah himpunan [[bilangan asli]] '''N''' (termasuk [[0 (bilangan)|nol]]) di bawah penjumlahan dan perkalian biasa. Demikian pula, semigelanggang bentuk non-negatif [[bilangan rasional]] dan non-negatif [[bilangan real]]. Semua semigelanggang adalah sifat komutatif.

=== Secara umum ===
* Himpunan untuk semua [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] dari gelanggang tertentu membentuk semigelanggang idempoten di bawah penjumlahan dan perkalian ideal.
* Setiap [[kuantel|unital kuantel]] adalah semigelanggang idempoten dalam penggabungan dan perkalian.
* [[Kisi distributif]] adalah semigelanggang komutatif dan idempoten di bawah gabung dan temu.
* Secara khusus, [[Aljabar Boolean (struktur)|aljabar Boolean]] adalah semigelanggang. [[Gelanggang Boolean]] merupakan semigelanggang, tetapi tidak idempoten di bawah ''penjumlahan''. ''Semigelanggang Boolean'' adalah semigelanggang isomorfis ke subsemigelanggang dari aljabar Boolean.
* [[Kisi condong]] normal dalam gelanggang ''R'' adalah semigelanggang idempoten untuk operasi perkalian dan nabla, di mana operasi terakhir didefinisikan oleh <math>a\nabla b=a+b+ba-aba-bab</math>.
* Semua [[c-semigelanggang]] merupakan semigelanggang dengan penambahan idempoten dan ditentukan melalui himpunan arbitrer.
* Kelas isomorfisme objek dalam operasi [[kategori distributif]], di bawah operasi [[produk bersama]] dan [[Produk (teori kategori)|produk]], semigelanggang yang dikenal sebagai gelang Burnside. Gelang Burnside adalah gelanggang [[jika dan hanya jika]] kategorinya adalah [[Kategori kategori kecil|trivial]].

==== Himpunan semigelanggang ====

'''Semigelanggang''' ('''himpunan''') adalah himpunan S tidak kosong dari himpunan yang sedemikian rupa
# <math>\emptyset \in S</math>
# Jika <math>E \in S</math> dan <math>F \in S</math> maka <math>E \cap F \in S</math>.
# Jika <math>E \in S</math> dan <math>F \in S</math> maka sejumlah batas [[himpunan disjoin]] <math>C_i \in S</math> untuk <math>i=1,\ldots,n</math> sehingga <math>E \setminus F = \bigcup_{i=1}^n C_i</math>.

Semigelanggang digunakan dalam [[teori ukuran]]. Contoh semigelanggang dari himpunan adalah himpunan dari setengah terbuka, setengah tertutup riil [[interval (matematika)|interval]] <math>[a,b) \subset \mathbb{R}</math>.

=== Contoh spesifik ===
:= \left\{mb^{-n} \mid m, n \in \N_0 \right\}</math> dalam [[notasi posisi|sistem bilangan posisi]] ke basis tertentu <math>b\in \N</math>. Maka <math>\frac{\N_0}{b^{\N_0}} \subseteq \frac{\N_0}{c^{\N_0}}</math> jika <math>b</math> bagi <math>c</math>. Selanjutnya, <math>\frac{\Z_0}{b^{\Z_0}} := \frac{\N_0}{b^{\N_0}} \cup \left(-\frac{\N_0}{b^{\N_0}}\right) </math> adalah gelanggang dari semua pecahan ke basis <math>b</math>, dan [[himpunan padat|padat]] dalam <math>\Q</math> untuk <math>|b| > 1</math>.
| [[Bilangan alami ekstensi]] dengan penjumlahan dan perkalian ekstensi (dan ).
| Diberikan semigelanggang ''S'', maka [[matriks semigelanggang]] <math>M_n(S)</math> dari persegi-''n'' dengan -''n'' [[matriks (matematika)|matriks]] membentuk semiring di bawah matriks biasa [[Penjumlahan matriks|penjumlahan]] dan [[perkalian matriks|perkalian]], dan semigelanggang matriks ini umumnya non-komutatif meskipun ''S'' komutatif. Misalnya, matriks dengan entri non-negatif, <math>M_n(\N)</math> bentuk matriks semigelanggang.
| Jika ''A'' adalah monoid komutatif, himpunan End(''A'') dari [[endomorfisme]] bentuk sebuah semigelanggang, dimana penjumlahan adalah penjumlahan dan perkalian secara runcing [[komposisi fungsi]]. [[Morfisme nol]] dan identitas adalah elemen netral. Semigelanggang komposisi tidak terdistribusi pada penambahan searah yang tersisa: . Jika ''A'' adalah monoid aditif dari bilangan asli kita memperoleh semigelanggang dari bilangan asli sebagai End(''A''), dan jika dengan ''S'' semigelanggang (setiap morfisme ke matriks) semigelanggang matriks persegi ''n''-oleh-''n'' dengan koefisien dalam ''S''.
| '''''' adalah semigelanggang komutatif '''B''' dari bentuk oleh [[aljabar Boolean dua elemen]] dan ditentukan oleh . Idempoten dan merupakan contoh paling sederhana dari semigelanggang yang bukan gelanggang. Diberikan dua himpunan ''X'' dan ''Y'', [[relasi biner]] antara ''X'' dan ''Y'' dengan matriks indeks oleh ''X'' dan ''Y'' dengan entri dalam semigelanggang Boolean, [[penjumlahan matriks]] terkait dengan penyatuan relasi, dan [[perkalian matriks]] terkait dengan [[komposisi relasi]].
| Diketahui himpunan ''U'', himpunan [[relasi biner]] di atas ''U'' adalah semigelanggang dengan penambahan union (dari relasi sebagai himpunan) dan perkalian [[komposisi relasi]]. Nol semigelanggang adalah [[relasi kosong]] dan unitnya adalah [[relasi identitas]]. Relasi ini sesuai dengan [[semiring matriks]] (memang, semialjabar matriks) dari [[matriks persegi]] indeks ''U'' dengan entri dalam semigelanggang Boolean, dan kemudian penjumlahan dan perkalian adalah operasi matriks biasa, sedangkan nol dan unit adalah [[matriks nol]] dan [[matriks identitas]] biasa.
| Himpunan [[polinomial]] dengan koefisien bilangan asli, dilambangkan '''N'''[''x''], membentuk semiring komutatif. Sebenarnya, ini adalah semigelanggang komutatif [[objek bebas|bebas]] pada generator tunggal {''x''}.
| [[Semigelanggang tropis]] ditentukan dengan berbagai cara. ''Maks-plus'' semigelanggang '''R''' ∪ {−∞} adalah komutatif, semiring idempoten dengan sebagai penjumlahan semigelanggang (identitas −∞) dan penjumlahan biasa (identitas 0) berfungsi sebagai perkalian semigelanggang. Dalam rumus alternatif, semigelanggang tropis adalah dan min menggantikan max sebagai operasi penjumlahan. Versi terkait menggunakan sebagai himpunan dasar.
| Himpunan [[bilangan pokok]] lebih kecil dari [[tak hingga]] mana pun dari bentuk kardinal apa pun yang diberikan dalam penjumlahan dan perkalian kardinal. Kelas ''semua kardinal'' dari [[model dalam]] membentuk semiring (kelas) di bawah penjumlahan dan perkalian kardinal (model dalam).
| '''''' dari bilangan riil non-negatif dengan penjumlahan dan perkalian biasa.
| '''[[Log semigelanggang]]''' di atas '''R''' ∪ {±∞} dengan tambahan yang diberikan oleh
: <math> x \oplus y = - \log(e^{-x}+e^{-y}) \ , </math>
dengan perkalian +, elemen nol + ∞, dan elemen satuan 0.
| Keluarga (kelas kesetaraan isomorfisme) [[kelas kombinatorial]] (himpunan banyak objek dengan ukuran bilangan bulat non-negatif maka banyak objek tak hingga dari setiap ukuran) dengan kelas kosong sebagai objek nol, kelas yang hanya terdiri dari himpunan kosong sebagai unit, [[disjoint union]] kelas sebagai penjumlahan, dan [[produk Kartesius]] kelas sebagai perkalian.
| Semigelanggang [[Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz]]: interval tertutup dengan tambahan yang diberikan dengan maksimal argumen () dan perkalian ''ab'' diberikan oleh dalam [[logika multi-nilai]].
| Semigelanggang [[Andrew Viterbi|Viterbi]] ditentukan melalui himpunan dasar dan maksimum sebagai penjumlahan, maka perkaliannya adalah perkalian biasa dari bilangan real. Ini sebagai [[penguraian probabilistik]].
| Diberikan alfabet (himpunan hingga) Σ, himpunan [[bahasa formal]] di atas Σ (himpunan bagian dari [[Bintang Kleene|Σ&lowast;]]) adalah semiring dengan produk induksi oleh [[pita penggabungan]] <math>L_1 \cdot L_2 = \left\{w_1 w_2 \mid w_1 \in L_1, w_2 \in L_2\right\}</math> dan penambahan sebagai penyatuan bahasa (yaitu, penyatuan sebagai kumpulan). Nol dari semigelanggang adalah himpunan kosong (bahasa kosong) dan unit semiring adalah bahasa yang hanya berisi [[pita kosong]].
| Menggeneralisasi contoh sebelumnya (dengan melihat Σ&lowast; sebagai [[monoid bebas]] di atas Σ), ambil ''M'' menjadi monoid; himpunan daya '''P'''(''M'') dari semua himpunan bagian ''M'' bentuk semigelanggang di bawah satuan teori himpunan sebagai penjumlahan dan perkalian himpunan: <math>U \cdot V = \{ u \cdot v : u \in U,\ v \in V \}</math>.
| Begitu pula jika <math>(M, e, \cdot)</math> adalah monoid, maka himpunan [[multihimpunan]] hingga dalam <math>M</math> bentuk sebuah semigelanggang. Artinya, elemen adalah fungsi <math>f : M \to \mathbb{N}</math>; diberikan elemen <math>M</math>, fungsi tersebut memberi tahu berapa kali elemen muncul dalam multihimpunan yang diwakilinya. Satuan aditif adalah fungsi nol konstan. Unit perkalian adalah fungsi memetakan <math>e</math> ke 1, dan semua elemen lain dari <math>M</math> ke 0. Jumlah diberikan oleh <math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math> dan produk diberikan oleh <math>(fg)(x) = \sum\{ f(y)g(z) \mid y \cdot z = x \}</math>.
}}

== Variasi ==
=== Semigelanggang kompleks dan kontinu ===
'''Semigelanggang kompleks''' adalah semigelanggang yang aditif monoidnya adalah [[monoid kompleks]], artinya memiliki operasi jumlah [[Finiter|infiniter]] Σ''I'' untuk setiap [[himpunan indeks]] ''I'' dan hukum distributif (tak hingga) berikut:

: <math>\sum_{i \in I}{\left(a \cdot a_i\right)} = a \cdot \left(\sum_{i \in I}{a_i}\right), \qquad \sum_{i \in I}{\left(a_i \cdot a\right)} = \left(\sum_{i \in I}{a_i}\right) \cdot a.</math>

Contoh semigelanggang kompleks adalah himpunan pangkat dari monoid di bawah gabungan dan semigelanggang matriks di atas semigelanggang kompleks.

'''Semigelanggang kontinu''' didefinisikan sebagai penambahan monoid adalah [[monoid kontinu]]. Yaitu, diurutkan sebagian dengan [[Sifat batas atas terkecil#Generalisasi ke himpunan terurut|sifat batas atas terkecil]], dan penjumlahan dan perkalian sebagai ketertiban dan suprema. Semigelanggang dengan penjumlahan biasa, perkalian dan urutan diperpanjang adalah semigelanggang kontinu.

Semua semigelanggang berkelanjutan selesai: sebagai bagian dari definisi.

=== Semigelanggang bintang ===

'''Semigelanggang bintang''' (terkadang dieja '''Semigelangbintang''') adalah semigelanggang dengan [[operasi uner]] tambahan , maka

:<math>a^* = 1 + aa^* = 1 + a^*a.</math>

'''[[Aljabar Kleene]]''' merupakan bintang semigelanggang dengan penambahan idempoten untuk teori [[bahasa formal]] dan [[ekspresi reguler]].

==== Semigelanggang bintang kompleks ====

Dalam '''semigelanggang bintang kompleks''', operasi bintang sebagai contoh [[bintang Kleene]]: untuk semigelanggang kompleks menggunakan operasi jumlah tak hingga untuk definisi bintang Kleene biasa:

:<math>a^* = \sum_{j \geq 0}{a^j},</math>
dimana <math>a^j = \begin{cases}
1, & j = 0,\\
a \cdot a^{j-1} = a^{j-1} \cdot a, & j > 0.
\end{cases}</math>

==== Semigelanggang Conway ====

'''Semigelanggang Conway''' adalah bintang semigelanggang yang menggunakan persamaan bintang-penjumlahan dan bintang-produk:
: <math>\begin{align}
(a + b)^* &= \left(a^* b\right)^* a^*, \\
(ab)^* &= 1 + a(ba)^* b.
\end{align}</math>

Setiap bintang semigelanggang kompleks sama dengan semigelanggang Conway, tapi kebalikannya tidak berlaku. Contoh semigelanggang Conway non-kompleks adalah himpunan [[bilangan rasional]] non-negatif dengan penjumlahan dan perkalian biasa (ini adalah modifikasi dari contoh dengan riil non-negatif diberikan dalam bagian ini dengan menghilangkan [[bilangan irasional]]).

'''Semigelanggang iterasi''' adalah semigelanggang Conway menggunakan aksioma grup Conway, diasosiasikan oleh [[John Horton Conwa|John Conway]] ke grup dalam semigelanggang bintang.

==== Contoh ====

Contoh semigelanggang bintang meliputi:
* ([[#relasi biner|disebutkan di atas]]) semigelanggang [[relasi biner]] di atas beberapa himpunan dasar ''U'' di mana <math>R^* = \bigcup_{n \geq 0} R^n</math> untuk semua <math>R\subseteq U \times U</math>. Operasi bintang adalah [[Penutupan refleksif|refleksif]] dan [[penutupan transitif]] dari ''R'' (yaitu relasi biner refleksif dan transitif terkecil di atas ''U'' yang mengandung ''R'').
* [[#bahasa formal|semigelanggang bahasa formal]] merupakan bintang semigelanggang kompleks, dengan operasi bintang dengan bintang Kleene (untuk himpunan/bahasa).
* Himpunan [[ekstensi riil]] non-negatif dengan penjumlahan dan perkalian riil yang biasa adalah semigelanggang bintang kompleks dengan operasi bintang yang diberikan oleh untuk (yaitu [[deret geometri]]) dan for .
* Semigelanggang Boolean dengan .
* Semigelanggang aktif dengan penjumlahan dan perkalian ekstensi, dan , untuk .

=== Mogand ===
Istilah '''mogand''' (untuk "monoid ganda") telah digunakan untuk berbagai jenis semigelanggang:
* Digunakan oleh Kuntzman pada tahun 1972 untuk menunjukkan apa yang sekarang disebut semigelanggang.
* Penggunaan yang berarti subgrup idempoten diperkenalkan oleh Baccelli et al. pada tahun 1992.
* Nama "mogand" kadang digunakan untuk menunjukkan [[semigelanggang tatanan alami]].

== Generalisasi ==

Generalisasi semigelanggang tidak membutuhkan keberadaan identitas perkalian, sehingga perkalian adalah [[semigrup]] dari monoid. Struktur seperti itu disebut ''gelanggang hemi'' atau ''pra-semigelanggang''. Generalisasi lebih lanjut adalah ''pra-semigelanggang-kiri'', yang tidak menggunakan distribusi-kanan (atau ''pra-semigelanggang-kanan'', yang tidak menggunakan distribusi-kiri).

Dalam [[teori kategori]], ''gelang-2'' adalah kategori dengan [[fungtor]] operasi ial analog dengan gelang. Bahwa bilangan kardinal membentuk gelang dapat dikategorikan untuk [[kategori himpunan]] (atau lebih umum, [[topos]]) adalah gelang-2.

== Lihat pula ==
* [[Himpunan gelanggang]]
* [[Aljabar penilaian]]

== Catatan ==

== Kutipan ==

== Sumber ==
*
* [[François Baccelli]], Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, ''[http://cermics.enpc.fr/~cohen-g//SED/book-online.html Synchronization and Linearity (online version)] '', Wiley, 1992,
* Golan, Jonathan S., ''Semirings and their applications''. Updated and expanded version of ''The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science'' (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp.
*
*
*
*
*

== Bacaan lebih lanjut ==
*
*
*
*
*
* Steven Dolan (2013) [http://www.cl.cam.ac.uk/~sd601/papers/semirings.pdf Fun with Semirings] ,

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Semigelanggang&oldid=29582239 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29582239 (2026-08-15T10:31:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Semigelanggang - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29582239; atribusi sumber disertakan.