Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:02:19Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29439302; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:32:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29439302; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''sifat asosiatif''' adalah sifat dari beberapa [[operasi biner]], yang berarti bahwa mengatur ulang tanda kurung dalam ekspresi yang tidak mengubah hasilnya. Dalam [[logika proposisional]], '''asosiativitas''' adalah [[Validitas (logika)|valid]] [[kaidah penggantian]] untuk [[rumus bentuk baik|ekspresi]] dalam [[Bukti formal|bukti logika]].

Dalam ekspresi dengan dua atau lebih dari satu baris dari operasi asosiatif, urutan [[Operasi (matematika)|operasi]] untuk urutan [[operand]] yang tidak berubah. Artinya, menata ulang [[tanda kurung]] dalam ekspresi tersebut tidak akan mengubah nilainya. Perhatikan persamaan berikut:

:<math>(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 \,</math>

:<math>2 \times (3 \times 4) = (2 \times 3) \times 4 = 24 .</math>

Meskipun tanda kurung diatur ulang pada setiap baris, nilai ekspresi tersebut tidak diubah. Karena penjumlahan dan perkalian terdapat pada [[bilangan riil]], maka dikatakan bahwa "penjumlahan dan perkalian bilangan riil adalah operasi asosiatif".

Asosiatif berbeda dengan [[komutativitas]], dengan urutan dua [[operan]] memengaruhi hasil. Misalnya, urutan tidak menjadi masalah dalam perkalian bilangan riil, yaitu , jadi perkalian bilangan riil adalah operasi komutatif.

Operasi asosiatif dalam matematika; pada kenyataannya, banyak [[struktur aljabar]] (yaitu [[semigrup (matematika)|semigrup]] dan [[kategori (matematika)|kategori]]) secara eksplisit membutuhkan operasi biner untuk menjadi asosiatif.

Namun, terdapat operasi yang bukan asosiatif yaitu nonasosiatif; beberapa contoh termasuk [[pengurangan]], [[eksponen]], dan [[perkalian silang vektor]]. Berbeda dengan sifat teoretis bilangan riil, penambahan bilangan [[titik pengambangan]] dalam [[ilmu komputer]] yang tidak bersifat asosiatif, dan pilihan cara mengaitkan ekspresi dapat berpengaruh signifikan pada kesalahan pembulatan.

== Definisi ==

Secara formal, sebuah [[operasi biner]] <math>*</math> pada sebuah himpunan <math>S</math> disebut '''asosiatif''' jika memenuhi '''hukum asosiatif'''.

<math>(x * y) * z = x * (y * z)</math>, untuk semua <math>x,y,z</math> dalam <math>S</math>

Di sini <math>*</math> digunakan untuk menggantikan simbol operasi, yang mungkin merupakan simbol apapun, dan meskipun ketiadaan dari simbol ([[wiktionary:juxtaposition|penjajaran]]) sebagai untuk [[perkalian]].

<math>(xy)z=x(yz)=xyz</math>, untuk semua <math>x,y,z</math> dalam <math>S</math>.

Hukum asosiatif bisa juga diekspresikan dalam notasi fungsional jadiː <math>f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))</math>.

== Hukum asosiatif yang digeneralisasikan ==

Jika sebuah operasi biner adalah asosiatif, penerapan berulang dari operasi menghasilkan hasil yang sama terlepas dan bagaimana pasangan tanda kurung yang sah disisipkan dalam ekspresi. Ini disebut '''hukum asosiatif yang digeneralisasi'''. Misalnya, sebuah porduk fari empat anggota bisa ditulis bisa ditulis, tanpa menggantikan urutan dari faktor-faktor, dalam lima kemungkinanː

: <math>((ab)c)d</math>
: <math>(ab)(cd)</math>
: <math>(a(bc))d</math>
: <math>a((bc)d)</math>
: <math>a(b(cd))</math>

Jika operasi produk adalah asosiatif, hukum asosiatif yang digeneralisasi mengatakan bahwa semua rumus-rumus ini akan menghasilkan hasil yang sama. Jadi kecuali rumus dengan tanda kurung yang dihilangkan sudah memiliki sebuah arti yang berbeda (lihat bawah), tanda kurung bisa dianggap tidak perlu dan produk"nya" bisa ditulis dengan jelas sebagaiː

: <math>abcd.</math>

Sebagai bilangan dari anggota-anggota meningkat, [[Bilangan Catalan#Penerapan dalam kombinatorik|bilangan dari kemungkinan cara untuk memasukkan tanda kurung]] tumbuh dengan cepat, tetapi tidak perlu untuk disambiguasi.

Sebuah contoh di mana tidak bekerja adalah [[bikondisional logis]] <math>\leftrightarrow</math>. Ini adalah asosiatif, demikian <math>A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C)</math> ekuivalen dengan <math>(A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C</math>, namun <math>A \leftrightarrow B \leftrightarrow C</math> paling umum mengartikan (<math>A \leftrightarrow B</math> dan <math>B \leftrightarrow C</math>), yang tidak ekuivalen

== Contoh ==

Beberapa contoh dari operasi-operasi asosiatif termasuk yang berikut ini.

* [[Penggabungan rangkaian|Penggabungan]] dari tiga rangkaian <code>"hello"</code>, <code>" "</code>, <code>"world"</code> bisa dihitung oleh penggabungan dua rangkaian pertama (diberikan <code>"hello "</code>) dan menambhakan rangkaian ketiga (<code>"world"</code>), atau dengan menggabungkan rangkaian kedua atau ketiga (diberikan <code>" world"</code>) dan menggabungkan rangkaian pertama (<code>"hello"</code>) dengan hasilnya. Keuda metodenya menghasilkan hasil yang sama, penggabungan rangkaian adalah asosiatig (tetapi bukan komutatif).
* Dalam [[aritmetika]], [[penjumlahan]] dan [[perkalian]] dari [[bilangan real]] adalah asosiatif, yaitu,

:: <math>
\left.
\begin{matrix}
(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad
\\
(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \,
\end{matrix}
\right\}
\mbox{untuk semua }x,y,z\in\mathbb{R}.
</math>
: Karena asosiatif, pengelompokan tanda kurung bisa dihilangkan tanpa kemenduaan.

* Operasi biasa <math>x * y = x</math> (artinya, hasilnya adalah argumen pertama, tidak peduli apa argumen keduanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif. Demikian juga, operasi trivial <math>x \circ y = y</math> (artinya, hasilnya adalah argumen kedua, tidak peduli apa argumen kepertamanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif.
* Penjumlahan dan peralian dari [[bilangan kompleks]] dan [[kuaternion]] adalah asosiatif. Penjumlahan dari [[oktonion]] juga asosiatif, tetapi perkalian dari oktonion adalah tidak asosiatif.
* Fungsi [[faktor persekutuan terbesar]] dan [[kelipatan persekutuan terkecil]] bersifat secara asosiatif.

:: <math>

\left.
\begin{matrix}
\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(x,y),z)=
\operatorname{gcd}(x,\operatorname{gcd}(y,z))=
\operatorname{gcd}(x,y,z)\ \quad
\\
\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(x,y),z)=
\operatorname{lcm}(x,\operatorname{lcm}(y,z))=
\operatorname{lcm}(x,y,z)\quad
\end{matrix}
\right\}\mbox{ for all }x,y,z\in\mathbb{Z}.
</math>

* Mengambil [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] atau [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari [[Himpunan (matematika)|himpunan-himpunan]]ː

:: <math>

\left.
\begin{matrix}
(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\quad
\\
(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C\quad
\end{matrix}
\right\}\mbox{for all sets }A,B,C.
</math>

* Jika <math>M</math> adalah beberapa himpunan dan <math>S </math> melambangkan himpunan dari semua fungsi dari <math>M</math> ke <math>M</math>, maka operasi dari [[komposisi fungsi]] pada <math>S </math> adalah asosiatifː

:: <math>(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad\mbox{for all }f,g,h\in S.</math>

* Sedikit lebih umum, diberikan empat himpunan <math>M </math>, <math>N </math>, <math>P </math>, dan <math>Q </math>, dengan <math>h </math>ː <math>M </math> ke <math>N </math>,<math>g </math>ː <math>N </math> ke <math>P </math>, dan <math>f</math>ː <math>P </math> ke <math>Q </math>, makaː

:: <math>(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h</math>

: seperti sebelumnya. Pendeknya, komposisi dari peta selalu asosiatif.

* Tinjaulah sebuah himpunan dengan tiga anggota, <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math>. Operasi berikut iniː

: asosiatif. Demikian, sebagai contoh, <math>A(BC) = (AB)C = A</math>. Operasi ini tidak komutatif.

* Karena [[Matriks (matematika)|matriks]] mewakili [[Peta linear|fungsi linear]], dan [[perkalian matriks]] mewakili [[komposisi fungsi]], salah satunya bisa secepatnya menyimpulkan bahwa perkalian matriks adalah asosiatif.

== Logika proposisional ==

=== Aturan penggantian ===
Dalam logika proposisional kebenaran fungsional standar, ''asosiasi'', atau ''asosiatif'' adalah dua [[Aturan penggantian|aturan penggantian yang sah]]. Peraturannya memungkinkan salah satunya untuk memindahkan tanda kurung dalam [[Rumus yang dibentuk dengan baik|ekspresi logis]] dalam [[Bukti formal|bukti logis]]. Aturan (menggunakan notasi [[Operator logika#Dalam bahasa|penghubung logis]] adalahː

: <math>(P \lor (Q \lor R)) \Leftrightarrow ((P \lor Q) \lor R)</math>

dan

: <math>(P \land (Q \land R)) \Leftrightarrow ((P \land Q) \land R),</math>

di mana "<math>\Leftrightarrow</math>" adalah [[Simbol (formal)|simbol]] [[Metalogika|metalogis]] mewakili "bisa menggantikan dalam sebuah [[Bukti formal|bukti]] dengan."

=== Penghubung fungsional kebenaran ===
''Asosiatif'' adalah sebuah sifat dari beberapa [[Operator logika|penghubung logis]]. [[Kesetaraan logis]] berikut mendemonstrasikan bahwa asosiatif adalah sebuah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah [[Tautologi (logika)|tautologi]] fungsional kebenaran.

'''Asosiatif dari disjungsi'''

: <math>((P \lor Q) \lor R) \leftrightarrow (P \lor (Q \lor R))</math>
: <math>(P \lor (Q \lor R)) \leftrightarrow ((P \lor Q) \lor R)</math>

'''Asosatif dari konjungsi'''

: <math>((P \land Q) \land R) \leftrightarrow (P \land (Q \land R))</math>
: <math>(P \land (Q \land R)) \leftrightarrow ((P \land Q) \land R)</math>

'''Asosatif dari kesetaraan'''

: <math>((P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R) \leftrightarrow (P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R))</math>
: <math>(P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R)) \leftrightarrow ((P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R)</math>

Penolakan bersama adalah sebuah contoh dari sebuah penghubung fungsional kebenaran yang bukan asosiatif.

== Operasi nonasosiatif ==
Sebuah operasi biner <math>* </math> pada sebuah himpunan <math>S </math> yang tidak memenuhi hukum asosiatif disebut '''nonasosiatif'''. Secara simbolis,

Untuk sebuah operasi, urutan dari evaluasi itu ''penting''. Sebagai contohː

* [[Pengurangan]]

: <math>
(5-3)-2 \, \ne \, 5-(3-2)
</math>

* [[Pembagian]]
<math>4 \div (2 \div 2)\neq (4\div 2) \div 2</math>

*[[Eksponensiasi]]/Eksponen

: <math>
2^{(1^2)} \, \ne \, (2^1)^2
</math>
:

Studi tentang struktur-struktur nonasosiatif muncul dari alasan-alasan agak berbeda dari arus utama dari aljabar klasik. Satu area dalam [[aljabar nonasosiatif]] yang tumbuh sangat besar adalah [[aljabar Lie]]. Disana hukum asosiatif dignatikan oleh [[identitas Jacobi]]. Aljabar Lie meringkaskan alami esensial dari [[transformasi infinitesimal]], dan telah menjadi di mana-mana dalam matematika.

Terdapat jenis-jenis tertentu lainnya yang telah dipelajari secara mendalam; ini cenderung berasal dari beberapa penerapan yang spesifik atau bidang-bidang seperti [[Kombinatorika|matematika kombinatorial]]. Contoh lainnya adalah [[kuasigrup]], [[kuasibidang]], [[gelanggang nonasosiatif]], [[aljabar nonasosiatif]] dan [[magma nonasosiatif komutatif]].

=== Nonasosiatif dari perhitungan titik mengambang ===
Dalam matematika, penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif. Sebaliknya, dalam ilmu komputer, penjumlahan dan perkalian dari bilangan [[Floating-point|titik mengambang]] tidak asosiatif, sebagai galat pembulatan diperkenalkan ketika nilai-nilai berukuran berbeda digabungkan berbeda.

Untuk mengilustrasikan ini, tinjaulah sebuah representasi titik mengambang dengan sebuah [[Signifikan|mantissa]] 4-bit.

(1.0002×20 + 1.0002×20) + 1.0002×24 = 1.0002×21 + 1.0002×24 = 1.002×24

1.0002×20 + (1.0002×20 + 1.0002×24) = 1.0002×20 + 1.002×24 = 1.002×24

Meskipun sebagian besar komputer-komputer menghitung dengan 24 atau 53 bit mantissa, ini adalah sumber yang penting dari galat pembulatan, dan mendekati seperti [[algoritma penjumlahan Kahan]] adalah cara untuk memperkecil galat-galatnya. Itu bisa sangat berpengalaman dlam komputer paralel.

=== Notasi untuk operasi-operasi nonasosiastif ===
Secara umum, tanda kurung pasti digunakan untuk menunjukkan [[Urutan operasi|urutan evaluasi]] jika sebuah operasi nonasosiatif muncul lebih dari satu dalam sebuah ekspresi (kecuali notasinya menentukan urutannya dengan cara lain, seperti <math>\frac{2}{3/4}</math>). Namun, [[matematikawan]] setuju pada sebuah urutan evaluasi tertentu untuk beberapa umum operasi nonasosiatif. Ini meyederhanakan sebuah konvensi notasi untuk menghindari tanda kurung.

Sebuah operasi '''asosiatif kiri''' adalah operasi nonasosiatif yang secara konvensional dievaluasikan dari kiri ke kanan, yaitu,

: <math>
\left.
\begin{matrix}
x*y*z=(x*y)*z\qquad\qquad\quad\,
\\
w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad
\\
\mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,
\end{matrix}
\right\}
\mbox{for all }w,x,y,z\in S
</math>

sedangkan sebuah operasi '''asosiatif kanan''' secara konvensional dievaluasikan dari kanan ke kiri.

: <math>
\left.
\begin{matrix}
x*y*z=x*(y*z)\qquad\qquad\quad\,
\\
w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad
\\
\mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,
\end{matrix}
\right\}
\mbox{for all }w,x,y,z\in S
</math>

Kedua operasi asosiatif kiri dan asosiatif kanan terjadi. Operasi asosiatif kiri termasuk yang berikut ini.

* Pengurangan dan pembagian dari bilangan realː
* Penerapanː fungsi

:: <math>(f \, x \, y) = ((f \, x) \, y)</math>
: Notasi ini bisa dimotivasi dengan [[currying]] [[isomorfisme]].

Operasi asosiatif kanan termasuk yang berikut ini.

* [[Eksponensiasi]] atau bilangan real dalam notasi superskripː

:: <math>x^{y^z}=x^{(y^z)}</math>

: Eksponensiasi biasanya digunakan dengan tanda kurung atau asosatif kanan karena sebuah operasi eksponensiasi asosiatif kiri yang berulang tidak banyak digunakan. Pangkat berulang sering ditulis ulang dengan perkalian

:: <math>(x^y)^z=x^{(yz)}</math>

: Diformat dengan benar, supeskrip secara inheren berperilaku sebagai sebuah himpunan dari tanda kurung; misalnya, dalam ekspresi <math>2^{x+3}</math>, penjumlahan dilkaukan [[Urutan operasi|sebelum]] eksponensiasi meskipun tidak ada tanda kurung eksplisit <math>2^{(x+3)}</math> melilitnya. Demikian diberikan sebuah ekspresi seperti <math>x^{y^z}</math>, eksponen penuh <math>y^z</math> dari dasar <math>x</math> dievaluasikan pertama. Namun, dalam beberapa konteks, termasuk tulis tangan, perbedaan antara <math>{x^y}^z=(x^y)^z</math>, <math>x^{yz}=x^{(yz)}</math> dan <math>x^{y^z}=x^{(y^z)}</math> bisa jadi sulit untuk dilihat. Dalam kasus seperti itu, asosiatif kanan biasanya tersirat.

* [[Fungsi (matematika)|Definisi fungsi]]

: Menggunakan notasi asosiatif kanan untuk operasi-operasi ini bisa dimotivasi oleh [[korespondensi Curry-Howard]] dan dengan currying isomorfisme.

Operasi nonasosiatif untuk yang urutan evaluasi yang tidak konvensional didefinisikan termasuk sebagai berikut.

* Eksponensiasi dari bilangan real dalam notasi infiks.

:: <math>(x^\wedge y)^\wedge z\ne x^\wedge(y^\wedge z)</math>

* [[Notasi anak panah Knuth|Operator panah atas Knuth]]

:: <math> a \uparrow \uparrow (b \uparrow \uparrow c) \ne (a \uparrow \uparrow b) \uparrow \uparrow c</math>
:: <math> a \uparrow \uparrow \uparrow (b \uparrow \uparrow \uparrow c) \ne (a \uparrow \uparrow \uparrow b) \uparrow \uparrow \uparrow c</math>
:

* Mengambil [[Perkalian vektor|produk silang]]
* Mengambil [[rata-rata]] berpasangan dari bilangan realː

:: <math>{(x+y)/2+z\over2}\ne{x+(y+z)/2\over2} \qquad \mbox{for all }x,y,z\in\mathbb{R} \mbox{ with }x\ne z.</math>

* Mengambil [[Komplemen (teori himpunan)|komplemen relatif]] dari himpunan <math>(A\backslash B)\backslash C</math> tidak sama dengan <math>A\backslash (B\backslash C)</math>. (Membandingkan [[nonimplikasi material]] dalam logika.)

== Lihat pula ==

* [[Uji asosiatif Light]]
* [[Deret teleskopik]], penggunaan dari asosatif penjumlahan untuk membatalkan istilah dalam sebuah [[Deret (matematika)|deret]] tak terhingga
* Sebuah [[semigrup]] adalah sebuah himpunan dengan operasi biner asosiatif.
* [[Sifat komutatif|Komutatif]] dan [[Properti distributif|distributif]] adalah dua lainnya yang sering dibahas sifat-sifat dari operasi-operasi biner.
* [[Asosiatif pangkat]], [[Alternatif (aljabar abstrak)|alternatif]], [[Aljabar fleksibilitas|fleksibilitas]], dan [[asosiatif N-ari]] adalah bentuk-bentuk yang lemah dari asosiatif.
* [[Loop Moufang|Identitas Moufang]] juga memberikan bentuk yang lemah dari asosiatif.

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sifat+asosiatif&oldid=29439302 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29439302 (2026-07-10T09:37:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Sifat asosiatif - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29439302; atribusi sumber disertakan.