Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:02:28Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29544284; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:33:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29544284; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], suatu [[operasi biner]] memiliki '''sifat komutatif''' jika mengubah urutan [[operan]] tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat [[fundamental]] dari banyak operasi biner, dan banyak [[pembuktian matematika]] bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan atau . Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti [[pembagian]] dan [[pengurangan]], yang tidak memilikinya (misalnya, ); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai ''operasi nonkomutatif''. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti [[perkalian]] dan [[penjumlahan]] bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal. Sifat yang terkait ada untuk [[relasi biner]]; suatu relasi biner dikatakan [[Relasi simetris|simetris]] jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, [[kesamaan]] bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.

== Penggunaan umum ==
'' Properti komutatif '' (atau '' hukum komutatif '') adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan [[Fungsi (matematika)|fungsi]]. Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan '' ngelaju '' di bawah operasi.

== Definisi Matematika ==

Istilah "komutatif" digunakan dalam beberapa pengertian terkait.

== Contoh ==
=== Operasi komutatif ===

Dua contoh operasi biner komutatif yang terkenal:
* [[Penambahan]] dari [[bilangan real]] bersifat komutatif, karena
::<math>y + z = z + y \qquad\mbox{for all }y,z\in \mathbb{R}</math>
:Misalnya 4 + 5 = 5 + 4, karena [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] sama dengan 9.
* [[Perkalian]] dari [[bilangan real]] adalah komutatif, karena
::<math>y z = z y \qquad\mbox{dari semua }y,z\in \mathbb{R}</math>
:Misalnya, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi sama dengan 15.

:Sebagai konsekuensi langsung dari ini, itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y% dari z dan y% dari z% adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z. Misalnya 64% dari 50 = 50% dari 64, karena kedua ekspresi sama dengan 32, dan 30% dari 50% = 50% dari 30%, karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15%.
* Beberapa biner [[fungsi kebenaran]] juga komutatif, karena [[tabel kebenaran]] untuk fungsi-fungsinya sama ketika seseorang mengubah urutan operan.
:Misalnya, fungsi [[biconditional logis]] p ↔ q ekivalen dengan q ↔ p. Fungsi ini juga ditulis sebagai p [[Jika dan hanya jika|IFF]] q, atau sebagai p ≡ q, atau sebagai E''pq''.
:Bentuk terakhir adalah contoh notasi paling ringkas dalam artikel tentang fungsi kebenaran, yang mencantumkan enam belas kemungkinan fungsi kebenaran biner yang delapan diantaranya adalah komutatif: V''pq'' = V''qp''; A''pq'' (ATAU) = A''qp''; D''pq'' (NAND) = D''qp''; E''pq'' (IFF) = E''qp''; J''pq'' = J''qp''; K''pq'' (DAN) = K''qp''; X''pq'' (MAUPUN) = X''qp''; O''pq'' = O''qp''.
* Contoh lebih lanjut dari operasi biner komutatif termasuk penambahan dan perkalian [[bilangan kompleks]], penjumlahan dan [[perkalian skalar]] dari [[ruang vektor|vektor]], dan [[persimpangan (teori himpunan)|persimpangan]] dan [[persatuan (teori himpunan)|persatuan]] dari [[himpunan (matematika)|himpunan]].

=== Operasi nonkomutatif ===
Beberapa operasi biner nonkomutatif:

==== Pembagian dan pengurangan ====

[[Pembagian]] adalah nonkomutatif, sejak <math>1 \div 2 \neq 2 \div 1</math>.

[[Pengurangan]] bersifat nonkomutatif, karena <math>0 - 1 \neq 1 - 0</math>. Namun itu diklasifikasikan lebih tepatnya sebagai [[Antikomutatif|anti-komutatif]], karena <math>0 - 1 = - (1 - 0)</math>.

==== Fungsi kebenaran ====

Beberapa [[fungsi kebenaran]] adalah nonkomutatif, karena [[tabel kebenaran]] untuk fungsi berbeda ketika seseorang mengubah urutan operan. Misalnya, tabel kebenaran untuk dan adalah
:

==== Komposisi fungsi fungsi linier ====
[[Komposisi fungsi]] dari [[fungsi linier]] dari [[bilangan real]] ke bilangan real hampir selalu nonkomutatif. Misalnya, misalkan <math>f(x)=2x+1</math> dan <math>g(x)=3x+7</math>. Kemudian
:<math>(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x+7)+1 = 6x+15</math>
dan
:<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x+1)+7 = 6x+10</math>
Ini juga berlaku lebih umum untuk [[peta linier|linier]] dan [[transformasi affine]] dari [[ruang vektor]] ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks).

==== Perkalian matriks ====

[[Matriks (matematika)|Matriks]] perkalian [[matriks kuadrat]] hampir selalu nonkomutatif, misalnya:
:<math>
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

==== Produk vektor ====

Produk vektor (atau [[perkalian silang]]) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah [[antikomutatif|anti-komutatif]]; yaitu, ''b'' × ''a'' = −(''a'' × ''b'').

== Sejarah dan etimologi ==

Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para [[Mesir]] ian menggunakan properti komutatif dari [[perkalian]] untuk menyederhanakan komputasi [[Produk (matematika)|produk]]. [[Euklides]] diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya [[Elemen Euklides|'' Elemen '']]. Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi. Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika.

Penggunaan istilah '' komutatif '' yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh [[François-Joseph Servois|François Servois]] pada tahun 1814, yang menggunakan kata '' komutatif '' saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Prancis '' commuter '' yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks '' -ative '' yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam [[bahasa Inggris]] pada tahun 1838 dalam artikel [[Duncan Farquharson Gregory]] berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di [[Royal Society of Edinburgh|Transaksi Royal Society of Edinburgh]].

== Logika proposisional ==

=== Kaidah penggantian ===
Dalam logika proposisional riil-fungsional, ''pergantian'', atau ''komutatif'' mengacu pada dua [[Validitas (logika)|valid]] [[kaidah penggantian]]. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan [[variabel proposisional]] dalam [[rumus bentuk formal|ekspresi logika]] dalam [[bukti formal|bukti logis]]. Rumusnya adalah:

:<math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math>
and
:<math>(P \land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math>

di mana "<math>\Leftrightarrow</math>" adalah [[metalogika]] dari [[Simbol (formal)|simbol]] yang menggunakan "[[Bukti formal|bukti]] dengan formal".

=== Konektor fungsional riil ===

''Komutatifita '' adalah sifat dari beberapa [[koneksi logika]] fungsi riil [[logika proposisional]]. [[Persamaan logika]] berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah riil-fungsional [[tautologi (logika)|tautologi]].

;Komutatifitas konjungsi:<math>(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)</math>
;Komutatifitas disjungsi:<math>(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)</math>
;Komutatifitas implikasi (disebut juga hukum permutasi):<math>(P \to (Q \to R)) \leftrightarrow (Q \to (P \to R))</math>
;Komutatifitas kesetaraan (disebut juga hukum ekuivalen komutatif kompleks):<math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (Q \leftrightarrow P)</math>

== Teori himpunan ==
Dalam [[teori grup|grup]] dan [[teori himpunan]], [[struktur aljabar]] disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu [[Analisis matematika|analisis]] dan [[aljabar linear]] komutatifitas operasi terkenal (yaitu [[penambahan]] dan [[perkalian]] pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.

== Struktur matematika dan komutatif ==
* [[Semigrup komutatif]] adalah himpunan dengan operasi total dari [[asosiatif]] dan komutatif.
* Jika operasi menggunakan [[elemen identitas]] maka elemen tersebut adalah [[monoid komutatif]]
* [[Grup abelian]], atau ''grup komutatif'' adalah [[grup (matematika)|grup]] di mana operasi grupnya adalah sifat komutatif.
* [[Gelanggang komutatif]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] di mana [[perkalian]] adalah komutatif.
* Dalam [[bidang (matematika)|bidang]] penjumlahan dan perkalian adalah sifat komutatif.

== Sifat terkait ==

=== Asosiatif ===

Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif. Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama; bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir, sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah. Sebaliknya, sifat komutatif; bahwa urutan suku tidak memengaruhi hasil akhir.

Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif. Namun, komutativitas tidak menyiratkan asosiatif. Sebuah contoh luar adalah fungsi

:<math>f(x, y) = \frac{x + y}{2},</math>

yang jelas sifat komutatif (mengganti ''x'' dan ''y'' tidak memengaruhi hasil), tetapi tidak asosiatif (misalnya, <math>f(-4, f(0, +4)) = -1</math> but <math>f(f(-4, 0), +4) = +1</math>).
Contoh lainnya dapat ditemukan di [[magma non-asosiatif komutatif]].

=== Distributif ===

=== Simetri ===

Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis ''y = x''. Sebagai contoh, jika fungsi ''f'' menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga ''f''(''x'',''y'') = ''x'' + ''y'', maka ''f'' adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya.

Untuk relasi, [[relasi simetri]] adalah analogi dengan operasi komutatif, di mana jika relasi ''R'' simetris, maka <math>a R b \Leftrightarrow b R a</math>.

== Operator non-komuter dalam mekanika kuantum ==

Dalam [[Pengantar mekanika kuantum|mekanika kuantum]] seperti yang dirumuskan oleh [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], variabel fisik diwakili oleh [[operator linier]] seperti ''x'' (artinya dikalikan dengan ''x''), dan <math>\frac{d}{dx}</math>. Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek [[Komposisi fungsi|komposisi]] mereka <math>x \frac{d}{dx}</math> dan <math>\frac{d}{dx} x</math> (juga disebut produk operator) pada [[fungsi gelombang]] satu dimensi <math>\psi(x)</math>:

::<math> x\cdot {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\psi = x\cdot \psi' \ \neq \ \psi + x\cdot \psi' = {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\left( x\cdot \psi \right) </math>

Menurut [[prinsip ketidakpastian]] dari [[Werner Heisenberg|Heisenberg]], jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling [[komplementaritas (fisika)|komplementer]], yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan [[momentum]] linier dalam arah '' x '' sebuah partikel diwakili oleh operator <math>x</math> and <math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math>, masing-masing (di mana <math>\hbar</math> adalah [[konstanta Planck | konstanta Planck tereduksi]]). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta <math>-i \hbar</math>, jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.

== Lihat pula ==

*[[Properti antikomutatif]]
* [[Centralizer|Pemusat dan penormal]] (juga disebut komutan)
*[[Diagram komutatif]]
*[[Komutatif (neurofisiologi)]]
*[[Pembalik]]
*[[Hukum genjang]]
* [[Statistik partikel]] (untuk komutatifitas dalam [[fisika]])
* [[Properti kuasi-komutatif]]
* [[Jejak monoid]]
* [[Kemungkinan perjalanan]]

== Catatan ==

== Referensi ==

=== Buku ===

*
:''Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

*
*
:''Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.''

*
:''Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

*

=== Artikel ===
*https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
:''Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.''
*Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. ''The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text''. London: British Museum Publications Limited.
:''Translation and interpretation of the [[Rhind Mathematical Papyrus]].''

=== Sumber berbasis online ===
*
*Krowne, Aaron, , Accessed 8 August 2007.
:''Definition of commutativity and examples of commutative operations''
*, Accessed 8 August 2007.
:''Explanation of the term commute''
*[http://planetmath.org/?op=getuser&id=2760 Yark]. , Accessed 8 August 2007
:''Examples proving some noncommutative operations''
*O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html MacTutor history of real numbers], Accessed 8 August 2007
:''Article giving the history of the real numbers''
*Cabillón, Julio and Miller, Jeff. [http://jeff560.tripod.com/c.html Earliest Known Uses Of Mathematical Terms], Accessed 22 November 2008
:''Page covering the earliest uses of mathematical terms''
*O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html MacTutor biography of François Servois] , Accessed 8 August 2007
:''Biography of Francois Servois, who first used the term''

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sifat+komutatif&oldid=29544284 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29544284 (2026-08-09T09:38:49Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Sifat komutatif - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29544284; atribusi sumber disertakan.