Maintenance script: Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula

2026-09-09T06:29:51Z

Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula

Lihat perubahan

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T17:56:45Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Lihat perubahan

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28327448; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:17:57Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28327448; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Sebuah [[ikosahedron reguler]] memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan [[urutan simetri]] sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah [[dodecahedron beraturan]] memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan [[polihedron ganda|ganda]] dari ikosahedron.

Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai [[grup Coxeter]] H3, dan diwakili oleh [[notasi Coxeter]] [5,3] dan [[diagram Coxeter]] .
Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A5 ([[grup selang-seling]] pada 5 huruf).

== Sebagai titik grup ==

Terlepas dari dua deret tak hingga dari simetri prismatik dan antiprismatik, '''simetri ikosahedral rotasi''' atau '''simetri ikosahedral kiral''' dari objek kiral dan '''simetri ikosahedral penuh''' atau '''simetri ikosahedral akiral''' adalah [[Grup titik dalam tiga dimensi|simetri titik diskret]] (atau ekuivalen, [[Daftar grup simetri bola|simetri pada bola]]) dengan [[grup simetri]] terbesar.

Simetri ikosahedral tidak kompatibel dengan [[simetri translasi]], jadi tidak ada [[Sistem kristal#Ikhtisar grup titik menurut sistem kristal|grup titik kristalografi]] atau [[grup ruang]] terkait.

[[Presentasi grup|Presentasi]] yang sesuai dengan di atas adalah:

:<math>I: \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle\ </math>
:<math>I_h: \langle s,t\mid s^3(st)^{-2}, t^5(st)^{-2}\rangle.\ </math>
Ini sesuai dengan grup ikosahedral (rotasi dan penuh) sebagai (2,3,5) [[grup segitiga]].

Presentasi pertama diberikan oleh [[William Rowan Hamilton]] pada tahun 1856, dalam makalahnya tentang [[kalkulus ikosian]].

Perhatikan bahwa presentasi lain dimungkinkan, misalnya sebagai [[grup selang-seling]] (untuk ''I'').

=== Visualisasi ===

== Struktur grup ==

'''''' '''''I''''' adalah urutan 60. Grup ''I'' adalah [[isomorfik]] hingga ''A''5, [[grup selang-seling]] dari permutasi genap lima objek. Isomorfisme ini diwujudkan dengan "I" pada berbagai senyawa, terutama [[majemuk lima kubus]] (yang tertulis di [[dodecahedron]]), [[gabungan lima oktahedra]], atau salah satu dari dua [[gabungan lima tetrahedra|senyawa lima tetrahedra]] (yaitu [[enantiomorf]], dan tertulis di dodecahedron).

Grup berisi 5 versi ''T''h dengan 20 versi ''D3'' (10 sumbu, 2 per sumbu), dan 6 versi ''D5''.

'''''' '''''Ih''''' memiliki urutan 120. Memiliki ''I'' sebagai [[subgrup normal]] dari [[indeks subgrup|indeks]] 2. Grup ''Ih'' isomorfik dengan ''I'' × ''Z''2, atau ''A''5 × ''Z''2, dengan [[inversi dalam titik|inversi di tengah]] sesuai dengan elemen (identitas,-1), dimana ''Z''2 ditulis secara perkalian.

''Ih'' pada [[gabungan lima kubus]] dan [[gabungan lima oktahedra]], namun 1 bertindak sebagai identitas (karena kubus dan oktahedra simetris terpusat). Ia bekerja pada [[gabungan sepuluh tetrahedra]]: ''I'' pada dua bagian kiral ([[gabungan dari lima tetrahedra]]), dan 1 menukar dua bagian.
Khususnya, "tidak" bertindak sebagai S5, dan grup ini tidak isomorfik; lihat di bawah untuk detailnya.

Grup ini berisi 10 versi ''D3d'' dan 6 versi ''D5d'' (simetri seperti antiprisma).

''I'' adalah isomorfik pada PSL2(5), namun ''Ih'' tidak isomorfik terhadap SL2(5).

=== Isomorfisme ''I'' dengan A5 ===
Hal ini berguna untuk menggambarkan secara eksplisit seperti apa isomorfisme antara ''I'' dan A5. Pada tabel berikut, permutasi Pi dan Qi masing-masing bekerja pada 5 dan 12 elemen, sedangkan matriks rotasi Mi adalah elemen dari ''I''. Jika Pk adalah hasil kali dari permutasi Pi dan menerapkan Pj padanya, maka untuk nilai yang sama dari ''i'', ''j'' dan ''k'', juga benar bahwa Qk adalah hasil kali dari pengambilan Qi dan menerapkan Qj, dan juga mengalikan sebuah vektor dengan Mk sama dengan mengalikan vektor tersebut dengan Mi dan kemudian mengalikan hasilnya dengan Mj, yaitu Mk = Mj × Mi. Karena permutasi Pi adalah semua 60 permutasi genap dari 12345, [[bijeksi|korespondensi satu-ke-satu]] dibuat eksplisit, oleh karena itu isomorfismenya juga.

=== Grup biasa limbung ===
Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:
* ''S''5, [[grup simetris]] pada 5 elemen
* ''Ih'', grup ikosahedral penuh (subjek artikel ini, juga dikenal sebagai ''H''3)
* 2''I'', [[grup ikosahedral biner]]
Ia sesuai dengan [[urutan tepat pendek]] berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk
:<math>1\to A_5 \to S_5 \to Z_2 \to 1</math>
:<math>I_h = A_5 \times Z_2</math>
:<math>1\to Z_2 \to 2I\to A_5 \to 1</math>
In words,
* <math>A_5</math> adalah ''[[subgrup normal]]'' dari <math>S_5</math>
* <math>A_5</math> adalah ''faktor'' dari <math>I_h</math>, yang merupakan ''[[produk langsung grup|produk langsung]]''
* <math>A_5</math> adalah ''[[grup hasil bagi]]'' dari <math>2I</math>
Perhatikan bahwa <math>A_5</math> memiliki [[objek biasa|biasa]] 3 dimensi [[representasi linear|representasi]] yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun <math>S_5</math> tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.

Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas [[Medan hingga]] dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:
* <math>A_5 \cong \operatorname{PSL}(2,5),</math> [[Grup linear proyeksi khusus]], lihat [[Grup linear proyeksi#Tindakan pada titik p|di sini]] untuk bukti;
* <math>S_5 \cong \operatorname{PGL}(2,5),</math> [[grup linear umum proyeksi]];
* <math>2I \cong \operatorname{SL}(2,5),</math> [[grup linear khusus]].

=== Kelas konjugasi ===
120 simetri terbagi dalam 10 kelas konjugasi.

=== Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh ===

Setiap baris dalam tabel berikut mewakili satu kelas subgrup konjugat (yaitu, ekuivalen secara geometris). Kolom "Banyak." (multiplisitas) memberikan jumlah subgrup yang berbeda di kelas konjugasi. Penjelasan warna: hijau = grup yang dihasilkan oleh refleksi, merah = grup kiral (pelestarian orientasi), yang hanya berisi rotasi.

Grup tersebut digambarkan secara geometris dalam bentuk dodecahedron. Singkatan "s.p.m.t.(tepi)" berarti "setengah putaran menukar tepi ini dengan tepi berlawanan", dan juga untuk "wajah" dan "simpul".

==== Stabilisator titik ====
Stabilisator dari pasangan simpul berlawanan diartikan sebagai stabilisator dari sumbu yang dihasilkan.
* stabilisator titik di ''I'' memberikan [[grup siklik]] ''C''3
* stabilisator titik di ''Ih'' memberikan [[simetri dihedral dalam tiga dimensi|grup dihedral]] ''D''3
* stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di ''I'' memberikan grup dihedral ''D''3
* stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di ''Ih'' memberikan <math>D_3 \times \pm 1</math>

==== Stabilisator tepi ====
Stabilisator dari sepasang tepi berlawanan diartikan sebagai stabilisator persegi panjang yang dihasilkan.
* stabilisator tepi di ''I'' memberikan grup siklik ''Z''2
* penstabil tepi di ''Ih'' memberikan [[Klein empat grup]] <math>Z_2 \times Z_2</math>
* stabilisator dari sepasang sisi dalam ''I'' memberikan [[Klein empat grup]] <math>Z_2 \times Z_2</math>; 5 diantaranya, diberikan oleh rotasi 180° dalam 3 sumbu tegak lurus.
* stabilisator dari sepasang sisi dalam ''Ih'' memberikan <math>Z_2 \times Z_2 \times Z_2</math>; 5 diantaranya, yang diberikan oleh refleksi dalam 3 sumbu tegak lurus.

==== Stabilisator wajah ====
Stabilisator dari pasangan wajah berlawanan diartikan sebagai stabilisator [[anti-prisma]] yang dihasilkan.
* stabilisator wajah di ''I'' memberikan grup siklik ''C''5
* stabilisator wajah di ''Ih'' memberikan grup dihedral ''D''5
* stabilisator dari pasangan wajah berlawanan di ''I'' memberikan grup dihedral ''D''5
* stabilisator dari pasangan wajah yang berlawanan di ''Ih'' memberikan <math>D_5 \times \pm 1</math>

==== Stabilisator polihedron ====
Untuk masing-masing, 5 salinan konjugasi, dan tindakan konjugasi memberikan peta, <math>I \stackrel{\sim}\to A_5 < S_5</math>.
* stabilisator dari tetrahedra tertulis di ''I'' adalah salinan ''T''
* stabilisator dari tetrahedra tertulis di ''Ih'' adalah salinan ''T''
* stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di ''I'' adalah salinan ''T''
* stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di ''Ih'' adalah salinan dari ''Th''

==== Generator grup Coxeter====
Grup simetri ikosahedral penuh [5,3] () urutan 120 memiliki generator diwakili oleh matriks refleksi R0, R1, R2, dengan relasi R02 = R12 = R22 = (R0×R1)5 = (R1×R2)3 = (R0×R2)2 = Identitas. Grup [5,3]+ () urutan 60 dihasilkan oleh dua rotasi S0,1, S1,2, S0,2. Sebuah [[refleksi rotor]] urutan 10 dihasilkan oleh V0,1,2, produk dari ketiga refleksi. Di sini <math>\phi = \tfrac {\sqrt{5}+1} {2}</math> menunjukkan [[rasio emas]].

== Domain fundamental ==
[[Domain fundamental]] untuk grup rotasi ikosahedral dan grup ikosahedral penuh diberikan oleh:

Dalam [[triacontahedron Disdyakis]] satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap himpunan bagian menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.

== Polihedra dengan simetri ikosahedral ==

===Kiral polihedra===

=== Simetri ikosahedral penuh ===

== Objek lain dengan simetri ikosahedral ==

* [[Permukaan Barth]]
* [[Struktur virus]], dan [[Kapsid]]
* Dalam kimia, ion [[dodecaborate]] ([B12H12]2−) dan molekul [[dodecahedrane]] (C20H20)

=== Kristal cair dengan simetri ikosahedral ===

Untuk fase bahan antara yang disebut [[kristal cair]] keberadaan simetri ikosahedral diusulkan oleh [[Hagen Kleinert|H. Kleinert]] dan K. Maki
dan strukturnya pertama kali dianalisis secara rinci dalam makalah itu. Lihat artikel ulasan [http://chemgroups.northwestern.edu/seideman/Publications/The%20liquid-crystalline%20blue%20phases.pdf disini].
Dalam aluminium, struktur ikosahedral ditemukan secara eksperimental tiga tahun setelah ini oleh [[Dan Shechtman]], yang membuatnya mendapatkan Hadiah Nobel pada tahun 2011.

== Geometri terkait ==
Simetri ikosahedral setara dengan [[grup linear khusus proyeksi]] PSL(2,5), dan adalah grup simetri dari [[kurva modular]] X(5), dan lebih umum PSL(2,''p'') adalah grup simetri dari kurva modular X(''p''). Kurva modular X(5) secara geometris merupakan dodecahedron dengan titik puncak di tengah setiap wajah poligonal, yang menunjukkan grup simetri.

Geometri ini, dan grup simetri terkait, dipelajari oleh [[Felix Klein]] sebagai [[kelompok monodromi]] permukaan Belyi – permukaan Riemann dengan peta holomorfik ke bola Riemann, bercabang hanya 0, 1, dan tak hingga (sebuah [[fungsi Belyi]]) – puncaknya adalah titik-titik yang terletak atas tak hingga, sedangkan simpul dan pusat setiap tepi terletak di atas 0 dan 1; tingkat penutup (jumlah lembar) sama dengan 5.

Ini muncul dari usahanya untuk memberikan pengaturan geometris mengapa simetri ikosahedral muncul dalam solusi [[persamaan kuintik]], dengan teori yang diberikan dalam yang terkenal; eksposisi modern diberikan dalam .

Penyelidikan Klein dilanjutkan dengan penemuan simetri urutan 7 dan urutan 11 dalam dan (dan penutup terkait derajat 7 dan 11) dan [[dessins d'enfants]], yang pertama menghasilkan [[kuintik Klein]], geometri yang terkait memiliki ubin dengan 24 segi enam (dengan titik puncak di tengah).

Geometri serupa dengan PSL(2,''n'') dan grup yang umum untuk kurva modular lainnya.

Lebih eksotis lagi, relasi khusus antara grup PSL(2,5) (urutan 60), [[PSL(2,7)]] (urutan 168) dan PSL(2,11) (urutan 660), yang juga menerima interpretasi geometris – PSL(2,5) adalah simetri ikosahedron (genus 0), PSL(2,7) dari [[Klein quartic]] (genus 3), dan PSL(2,11) [[permukaan bukminsterfulerena]] (genus 70). Kelompok-kelompok ini membentuk "[[Klasifikasi ADE#Trinitas|trinitas]]" dalam arti [[Vladimir Arnold]], yang memberikan kerangka kerja untuk berbagai hubungan; lihat ''[[klasifikasi ADE#Trinitas|trinitas]]'' untuk detailnya.

Ada hubungan dekat dengan [[padatan Platonis]] lainnya.

== Lihat pula ==
*[[Simetri tetrahedral]]
*[[Simetri oktahedral]]
*[[Grup ikosahedral biner]]
*[[Kalkulus ikosian]]

== Referensi ==

* Translated in
*
*
*
* Peter R. Cromwell, ''Polyhedra'' (1997), p. 296
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass,
* ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
* [[Norman Johnson (mathematician)|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups

==Pranala luar==
*
* [http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/h3.pdf SUBGRUP W(H3)] ([http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/cox.html Subgrup dari grup Coxeter lainnya] ) Gotz Pfeiffer

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simetri+ikosahedral&oldid=28327448 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28327448 (2025-11-03T20:57:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Simetri ikosahedral - Riwayat revisi

Maintenance script: Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28327448; atribusi sumber disertakan.