Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T17:57:18Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28964386; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:18:12Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28964386; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Sebuah [[tetrahedron]] reguler memiliki 12 simetri rotasi (atau [[orientasi-kekal]]), dan [[urutan simetri]] dari 24 yang termasuk transformasi menggabungkan refleksi dan rotasi.

Grup semua simetri adalah isomorfik terhadap grup S4, [[grup simetris]] dari permutasi empat objek, karena satu simetri tersebut untuk setiap permutasi simpul dari tetrahedron. Himpunan simetri kekal orientasi membentuk grup yang disebut sebagai [[grup selang-seling|subgrup selang-seling]] A4 dari S4.

==Detail==
'''Kiral''' dan '''penuh''' (atau '''simetri tetrahedral akiral''' dan '''simetri piritohedral''') adalah [[Grup titik dalam tiga dimensi|simetri titik diskrit]] (atau ekuivalen [[Daftar grup simetri bola|simetri pada bola]]). Ia termasuk di antara [[Sistem kristal#Ikhtisar grup titik menurut sistem kristal|grup titik kristal]] dari [[Kubik (sistem kristal)|sistem kristal kubik]].

Terlihat pada [[proyeksi stereografik]] tepi dari [[tetrakis heksahedron]] membentuk 6 lingkaran (atau garis radial pusat) pada bidang. Masing-masing dari 6 lingkaran ini mewakili garis cermin dalam simetri tetrahedral. Irisan/potongan lingkaran ini bertemu pada urutan 2 dan 3 titik girasi.

== Simetri tetrahedral kiral ==

'''''T''''', '''332''', [3,3]+, atau '''23''', urutan 12 - '''kiral''' atau '''simetri tetrahedral rotasi'''. Ada tiga sumbu rotasi ortogonal lipatan-2, seperti kiral [[simetri dihedral dalam tiga dimensi|simetri dihedral]] ''D''2 atau 222, dengan tambahan empat sumbu lipatan-3, berpusat ''di antara'' tiga arah ortogonal. Grup [[isomorfik]] hingga ''A''4, [[grup selang-seling]] pada 4 elemen; sebenarnya itu adalah grup [[permutasi genap]] dari empat sumbu lipatan-3: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234 ), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

[[Kelas konjugasi]] dari T adalah:
*identitas
*4 × rotasi sebesar 120° searah jarum jam (dilihat dari titik sudut): (234), (143), (412), (321)
*4 × rotasi sebesar 120° berlawanan arah jarum jam (ditto)
*3 × rotasi 180°

Rotasi 180°, bersama dengan identitas, dalam bentuk [[subgrup normal]] tipe Dih2, dengan [[grup hasil bagi]] tipe Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, mempertahankan orientasi.

A4 adalah grup terkecil yang menunjukkan bahwa inversi dari [[Teorema Lagrange (teori grup)|Teorema Lagrange]] tidak benar secara umum: diberikan grup hingga ''G'' dan pembagi ''d'' dari |''G''|, tidak ada subgrup ''G'' dengan urutan ''d'': grup tidak memiliki subgrup urutan 6. Meskipun itu adalah sifat untuk grup abstrak secara umum, jelas dari grup isometri simetri tetrahedral kiral: karena kiralitas, subgrup harus menjadi C6 atau D3, tetapi keduanya tidak berlaku.

===Subgrup simetri tetrahedral kiral===

== Simetri tetrahedral akiral ==

'''Td''', '''*332''', [3,3] or 3m, urutan 24 – '''akiral''' atau '''simetri tetrahedral penuh''', juga dikenal sebagai (2,3,3) [[grup segitiga]]. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, tetapi dengan enam bidang cermin, masing-masing melalui dua sumbu tiga kali lipat. Sumbu lipatan-2 sekarang menjadi sebagai sumbu S4 (). Td dan O isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan S4, [[grup simetris]] pada 4 objek. Td adalah gabungan T dan himpunan yang diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen dengan inversi. Lihat pula [[Tetrahedron#Isometri dari tetrahedra tidak beraturan|isometri dari tetrahedron beraturan]].

[[Kelas konjugasi]] dari Td adalah:
*identitas
*8 × rotasi 120° (C3)
*3 × rotasi 180° (C2)
*6 × refleksi pada bidang melalui dua sumbu rotasi (Cs)
*6 × rotorefleksi sebesar 90° (S4)

===Subgrup simetri tetrahedral akiral ===

== Simetri piritohedral ==

'''Th''', '''3*2''', [4,3+] atau m, urutan 24 – '''simetri piritohedral'''. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, dengan bidang cermin melalui dua arah ortogonal. Sumbu lipatan-3 sekarang adalah sebagai [[simetri dihedral|S6]] (), dan simetri inversi pusat. Th isomorfik terhadap : setiap elemen Th adalah elemen T, atau elemen yang digabungkan dengan inversi. Selain dua subgrup normal ini, ada juga subgrup normal D2h (dalam bentuk [[kubus]]), berjenis . Ini adalah produk langsung dari subgrup normal T (lihat di atas) dengan [[titik refleksi|C''i'']]. [[Geup hasil bagi]] sama seperti di atas: berjenis Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, sebagai orientasi.

Ini adalah simetri kubus dengan setiap wajah segmen garis membagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah berdekatan tidak bertemu pada tepi. Simetri sesuai dengan permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi. Ini juga merupakan simetri dari [[piritohedron]], yang mirip dengan kubus yang dijelaskan, dengan setiap persegi panjang diganti dengan segi lima dengan satu sumbu simetri dan 4 sisi yang sama dan 1 sisi yang berbeda (yang sesuai dengan segmen garis yang membagi wajah kubus); yaitu, wajah kubus menonjol keluar di garis pemisah dan menjadi lebih sempit di sana. Ini adalah subgrup dari grup [[simetri ikosahedral]] penuh (sebagai grup isometri, bukan hanya grup abstrak), dengan 4 dari 10 sumbu lipatan-3.

Kelas konjugasi Th termasuk kelas T, dengan dua kelas 4 digabungkan, dan masing-masing dengan inversi:
*identitas
*8 × rotasi 120° (C3)
*3 × rotasi 180° (C2)
*inversi (S2)
*8 × rotorefleksi sebesar 60° (S6)
*3 × refleksi pada bidang (Cs)

===Subgrup simetri piritohedron ===

== Padatan dengan simetri tetrahedral kiral ==

Ikosahedron berwarna sebagai '''tetrahedron umpat''' memiliki simetri kiral.

== Padatan dengan simetri tetrahedral penuh ==

==Lihat pula==
*[[Simetri oktahedral]]
*[[simetri ikosahedral]]
*[[Grup tetrahedral biner]]
*

== Referensi ==
* Peter R. Cromwell, ''Polyhedra'' (1997), p. 295
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass,
* ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
* [[Norman Johnson (mathematician)|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups

==Pranala luar==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simetri+tetrahedral&oldid=28964386 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28964386 (2026-02-15T23:47:45Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Simetri tetrahedral - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28964386; atribusi sumber disertakan.