Sistem koordinat bola - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T17:56:11Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 17.56
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:3D_Spherical.svg\|thumb\|right\|280px\|3D Spherical]]

	Dalam [[matematika]], '''Sistem Koordinat Bola''' adalah sistem koordinat yang digunakan untuk ruang [[tiga dimensi]] di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari [[jarak radial]] titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika [[sudut azimut]] tersebut dari hasil proyeksi [[ortogonal]] pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.		Dalam [[matematika]], '''Sistem Koordinat Bola''' adalah sistem koordinat yang digunakan untuk ruang [[tiga dimensi]] di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari [[jarak radial]] titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika [[sudut azimut]] tersebut dari hasil proyeksi [[ortogonal]] pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.

	== Persamaan pada Sistem Koordinat Bola ==		== Persamaan pada Sistem Koordinat Bola ==


	Dalam [[Geometri analitis\|geometri analitik]] , bola dengan pusat dan jari jari adalah lokus titik sedemikian rupa sehingga		Dalam [[Geometri analitis\|geometri analitik]] , bola dengan pusat dan jari jari adalah lokus titik sedemikian rupa sehingga
	:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>		:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>
Baris 11:		Baris 11:
	Lalu persamaan		Lalu persamaan
	:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>		:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
	tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah intinya <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. Akhirnya, dalam kasus ini <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.		tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah intinya <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. Akhirnya, dalam kasus ini <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem+koordinat+bola&oldid=28078866 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	Jika dalam persamaan di atas adalah nol maka adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.		Jika dalam persamaan di atas adalah nol maka adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.<ref>.</ref>

	Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via		Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via
	:<math>\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta \; \cos\varphi \\		:<math>\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta \; \cos\varphi \\
	y &= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq \theta \leq \pi,\; 0 \leq \varphi < 2\pi ) \\		y &= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq \theta \leq \pi,\; 0 \leq \varphi < 2\pi ) \\
	z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math>		z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math><ref>.</ref>

	[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah ''z'' positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada ''xy-'' plane.		[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah ''z'' positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada ''xy-'' plane.
Baris 27:		Baris 27:
	Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, dan , yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.		Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, dan , yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

	Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips]] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi [[spheroid prolate]] ; diputar tentang sumbu minor, sebuah [[spheroid oblate]].		Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips]] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi [[spheroid prolate]] ; diputar tentang sumbu minor, sebuah [[spheroid oblate]].<ref>.</ref>

	== Konveksi utama ==		== Konveksi utama ==
	:		:{\| class="wikitable" style="text-align:center"
			\|+ Konveksi utama
			\|-
			! Koordinat !! arah geografis lokal yang sesuai <br/> !! Bagian (<br>Bahasa Inggris<br />)
			\|-
			\| \|\| \|\| right
			\|-
			\| \|\| \|\| right
			\|-
			\| \|\| \|\| left
			\|}

	== Dalam Koordinat Kartesius ==		== Dalam Koordinat Kartesius ==
Baris 59:		Baris 69:

	== Sistem Koordinat Tabung ==		== Sistem Koordinat Tabung ==


	----		----
	: <math>\begin{align}		: <math>\begin{align}
Baris 78:		Baris 86:

	== Koordinat bola yang dimodifikasi ==		== Koordinat bola yang dimodifikasi ==

	Kemungkinan cara modifikasi pada [[elipsoid]] adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.		Kemungkinan cara modifikasi pada [[elipsoid]] adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.

Baris 118:		Baris 125:
	== Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola ==		== Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola ==
	- Dalam pengembangan -		- Dalam pengembangan -


	== Jarak dalam Koordinat Bulat ==		== Jarak dalam Koordinat Bulat ==
Baris 127:		Baris 133:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Sistem koordinat]]		* [[Sistem koordinat]]
	* [[Sistem koordinat Cartesius]]		* [[Sistem koordinat Cartesius]]
Baris 137:		Baris 142:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem+koordinat+bola&oldid=28078866 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28078866 (2025-10-17T18:37:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem+koordinat+bola&oldid=28078866 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28078866 (2025~~-10-~~17T18:37:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28078866; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:16:16Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28078866; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''Sistem Koordinat Bola''' adalah sistem koordinat yang digunakan untuk ruang [[tiga dimensi]] di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari [[jarak radial]] titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika [[sudut azimut]] tersebut dari hasil proyeksi [[ortogonal]] pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.

== Persamaan pada Sistem Koordinat Bola ==

Dalam [[Geometri analitis|geometri analitik]] , bola dengan pusat dan jari jari adalah lokus titik sedemikian rupa sehingga
:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>

biarkan [[bilangan real]] dengan sebuah dan put
:<math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
Lalu persamaan
:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah intinya <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. Akhirnya, dalam kasus ini <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.

Jika dalam persamaan di atas adalah nol maka adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via
:<math>\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta \; \cos\varphi \\
y &= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq \theta \leq \pi,\; 0 \leq \varphi < 2\pi ) \\
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math>

[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah ''z'' positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada ''xy-'' plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan [[integral]] dari bentuk [[diferensial]] berikut:
:<math> x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, dan , yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips]] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi [[spheroid prolate]] ; diputar tentang sumbu minor, sebuah [[spheroid oblate]].

== Konveksi utama ==
:

== Dalam Koordinat Kartesius ==
Koordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini, yaitu (khususnya untuk fisika):
* adalah jari-jari.
* adalah kemiringan.
* adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola.

Anda dapat memporoleh dari hasil [[Sistem koordinat Kartesius|koordinat kartesius]] pada nilai dengan rumusnya adalah:
: <math>\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \\
\varphi &= \arctan \frac{y}{x}, \\
\theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{r}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}.
\end{align}</math>

[[Garis singgung]] iversi dilambangkan dengan nilai harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai .

Sebaliknya, koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini:
* ''jari jari''.
* ''inklinasi''.
* ''azimut''.
darimana , , adalah ...,oleh
: <math>\begin{align}
x &= r \sin\theta \, \cos\varphi, \\
y &= r \sin\theta \, \sin\varphi, \\
z &= r \cos\theta.
\end{align}</math>

== Sistem Koordinat Tabung ==

----
: <math>\begin{align}
r &= \sqrt{\rho^2 + z^2}, \\
\theta &= \arctan\frac{\rho}{z} = \arccos\frac{z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}, \\
\varphi &= \varphi.
\end{align}</math>

----

: <math>\begin{align}
\rho &= r \sin \theta, \\
\varphi &= \varphi, \\
z &= r \cos \theta.
\end{align}</math>
----

== Koordinat bola yang dimodifikasi ==

Kemungkinan cara modifikasi pada [[elipsoid]] adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.

Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level
: <math>ax^2 + by^2 + cz^2 = d.</math>

Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai oleh karena itu rumusnya adalah:

: <math>\begin{align}
x &= \frac{1}{\sqrt{a}} r \sin\theta \, \cos\varphi, \\
y &= \frac{1}{\sqrt{b}} r \sin\theta \, \sin\varphi, \\
z &= \frac{1}{\sqrt{c}} r \cos\theta, \\
r &= ax^2 + by^2 + cz^2.
\end{align}</math>

Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh:

: <math>
\mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| =
\frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi =
\frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega.
</math>

Faktor [[akar kuadrat]] yang berasal dari properti [[determinan]] yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom:

: <math>
\begin{vmatrix}
ka & b & c \\
kd & e & f \\
kg & h & i
\end{vmatrix} =
k \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}.
</math>

== Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola ==
- Dalam pengembangan -

== Jarak dalam Koordinat Bulat ==
- Dalam pengembangan -

== Kinematika ==
- Dalam pengembangan -

== Lihat pula ==

* [[Sistem koordinat]]
* [[Sistem koordinat Cartesius]]
* [[Sistem koordinat ekliptika|Sistem koordinat]] [[Sistem koordinat ekliptika|Ekliptika]]
* [[Sistem koordinat ekuator|Sistem koordinat Ekuator]]
* [[Sistem koordinat geografi|Sistem koordinat Geografi]]
* [[Sistem koordinat polar|Sistem koordinat Polar]]
* [[Sistem koordinat silinder|Sistem koordinat]] [[Sistem koordinat silinder|Silinder]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem+koordinat+bola&oldid=28078866 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28078866 (2025-10-17T18:37:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.