Struktur aljabar - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:09:37Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.09
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], lebih spesifiknya dalam [[aljabar abstrak]] dan [[aljabar semesta]], sebuah '''struktur aljabar''' terdiri dari sebuah [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] ''A'', sekumpulan [[operasi (matematika)\|operasi]] pada ''A'' dengan [[aritas]] terhingga (biasanya [[operasi biner]]), dan sebuah himpunan terhingga yang terdiri atas [[identitas (matematika)\|identitas-identitas]], disebut sebagai [[aksioma]], yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Sebagian struktur aljabar juga melibatkan himpunan lain (yang disebut '''himpunan skalar''').		Dalam [[matematika]], lebih spesifiknya dalam [[aljabar abstrak]] dan [[aljabar semesta]], sebuah '''struktur aljabar''' terdiri dari sebuah [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] ''A'', sekumpulan [[operasi (matematika)\|operasi]] pada ''A'' dengan [[aritas]] terhingga (biasanya [[operasi biner]]), dan sebuah himpunan terhingga yang terdiri atas [[identitas (matematika)\|identitas-identitas]], disebut sebagai [[aksioma]], yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Sebagian struktur aljabar juga melibatkan himpunan lain (yang disebut '''himpunan skalar''').

	Dalam konteks [[aljabar universal]], himpunan ''A'' dengan [[Struktur (logika matematika)\|struktur]] seperti ini disebut sebuah ''aljabar'', sementara, dalam konteks lain, itu (secara ambigu) disebut ''struktur aljabar'', karena istilah ''aljabar'' digunakan untuk struktur aljabar spesifik yang merupakan [[ruang vektor]] di atas sebuah [[medan (matematika)\|medan]] atau [[modul (teori gelanggang)\|modul]] di atas sebuah [[gelanggang komutatif]].		Dalam konteks [[aljabar universal]], himpunan ''A'' dengan [[Struktur (logika matematika)\|struktur]] seperti ini disebut sebuah ''aljabar'',<ref>P.M. Cohn. (1981) ''Universal Algebra'', Springer, p. 41.</ref> sementara, dalam konteks lain, itu (secara ambigu) disebut ''struktur aljabar'', karena istilah ''aljabar'' digunakan untuk struktur aljabar spesifik yang merupakan [[ruang vektor]] di atas sebuah [[medan (matematika)\|medan]] atau [[modul (teori gelanggang)\|modul]] di atas sebuah [[gelanggang komutatif]].

	Contoh struktur aljabar dengan satu himpunan adalah [[grup (matematika)\|grup]], [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], [[medan (matematika)\|medan]], dan [[Kekisi (tatanan)\|kekisi]]. Contoh struktur aljabar dengan dua himpunan di antaranya adalah [[ruang vektor]], [[Modul (matematika)\|modul]], dan [[Aljabar (teori gelanggang)\|aljabar]].		Contoh struktur aljabar dengan satu himpunan adalah [[grup (matematika)\|grup]], [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], [[medan (matematika)\|medan]], dan [[Kekisi (tatanan)\|kekisi]]. Contoh struktur aljabar dengan dua himpunan di antaranya adalah [[ruang vektor]], [[Modul (matematika)\|modul]], dan [[Aljabar (teori gelanggang)\|aljabar]].
Baris 8:		Baris 8:

	== Pengantar ==		== Pengantar ==

	Penjumlahan dan perkalian pada bilangan adalah contoh operasi prototipikal yang menggabungkan dua elemen himpunan untuk menghasilkan elemen ketiga dari himpunan. Operasi ini mematuhi beberapa hukum aljabar. Sebagai contoh, dan sebagai ''hukum asosiatif''. Juga dan sebagai ''hukum komutatif''. Banyak sistem yang dipelajari oleh matematikawan memiliki operasi yang mematuhi beberapa, tetapi tidak harus semua, hukum aritmetika biasa. Misalnya, rotasi suatu objek dalam ruang tiga dimensi dapat digabungkan dengan, contohnya, melakukan rotasi pertama pada objek dan kemudian menerapkan rotasi kedua di atasnya dalam orientasi baru yang dibuat oleh rotasi sebelumnya. Rotasi sebagai operasi mematuhi hukum asosiatif, tetapi dapat gagal memenuhi hukum komutatif.		Penjumlahan dan perkalian pada bilangan adalah contoh operasi prototipikal yang menggabungkan dua elemen himpunan untuk menghasilkan elemen ketiga dari himpunan. Operasi ini mematuhi beberapa hukum aljabar. Sebagai contoh, dan sebagai ''hukum asosiatif''. Juga dan sebagai ''hukum komutatif''. Banyak sistem yang dipelajari oleh matematikawan memiliki operasi yang mematuhi beberapa, tetapi tidak harus semua, hukum aritmetika biasa. Misalnya, rotasi suatu objek dalam ruang tiga dimensi dapat digabungkan dengan, contohnya, melakukan rotasi pertama pada objek dan kemudian menerapkan rotasi kedua di atasnya dalam orientasi baru yang dibuat oleh rotasi sebelumnya. Rotasi sebagai operasi mematuhi hukum asosiatif, tetapi dapat gagal memenuhi hukum komutatif.

Baris 32:		Baris 31:
	* [[Grup Abelian]]: grup di mana operasi binernya adalah [[komutatif]].		* [[Grup Abelian]]: grup di mana operasi binernya adalah [[komutatif]].
	* [[Semikisi]]: semigrup di mana operasi [[idempotensi\|idempoten]] dan komutatif. Operasi biner dapat disebut [[bertemu (matematika)\|bertemu]] atau [[bergabung (matematika)\|bergabung]].		* [[Semikisi]]: semigrup di mana operasi [[idempotensi\|idempoten]] dan komutatif. Operasi biner dapat disebut [[bertemu (matematika)\|bertemu]] atau [[bergabung (matematika)\|bergabung]].
	* [[Grup semu]]: magma yang menggunakan sifat persegi Latin. Grup semu dapat direpresentasikan menggunakan tiga operasi biner.		* [[Grup semu]]: magma yang menggunakan sifat persegi Latin. Grup semu dapat direpresentasikan menggunakan tiga operasi biner.<ref>Jonathan D. H. Smith. [https://books.google.com/books?id=NfWlUZSOwSkC&q=quasigroups An Introduction to Quasigroups and Their Representations]. Chapman & Hall. 15 November 2006. ISBN 9781420010633.</ref>

	* [[Loop (matematika)\|Loop]]: grup semu dengan [[Elemen identitas\|identitas]].		* [[Loop (matematika)\|Loop]]: grup semu dengan [[Elemen identitas\|identitas]].
Baris 48:		Baris 47:
	* [[aljabar-]]: gelanggang dengan operasi uner tambahan () yang menggunakan sifat tambahan.		* [[aljabar-]]: gelanggang dengan operasi uner tambahan () yang menggunakan sifat tambahan.

	'''Struktur kisi''': '''dua''' atau lebih operasi biner, termasuk operasi yang disebut [[bertemu dan bergabung]], dihubungkan dengan [[hukum absorpsi]].		'''Struktur kisi''': '''dua''' atau lebih operasi biner, termasuk operasi yang disebut [[bertemu dan bergabung]], dihubungkan dengan [[hukum absorpsi]].<ref>Gelanggangoid dan kisi dapat dibedakan dengan jelas meskipun keduanya memiliki dua operasi biner yang menentukan. Dalam kasus ringoids, dua operasi dihubungkan oleh hukum distributif; dalam kasus kisi, mereka dihubungkan oleh hukum absorpsi. Ringoid juga cenderung memiliki model numerik, sedangkan kisi cenderung memiliki model teori himpunan.</ref>

	* [[Kisi kompleks]]: kisi di mana [[bertemu dan bergabung]] arbitrer ada.		* [[Kisi kompleks]]: kisi di mana [[bertemu dan bergabung]] arbitrer ada.
Baris 90:		Baris 89:

	== Struktur hibrida ==		== Struktur hibrida ==

	Struktur aljabar juga dapat hidup berdampingan dengan struktur tambahan yang bersifat non-aljabar, seperti [[Himpunan berurutan sebagian#Definisi formal\|Urutan sebagian]] atau [[topologi]]. Struktur tambahan harus sesuai, dalam arti tertentu, dengan struktur aljabar.		Struktur aljabar juga dapat hidup berdampingan dengan struktur tambahan yang bersifat non-aljabar, seperti [[Himpunan berurutan sebagian#Definisi formal\|Urutan sebagian]] atau [[topologi]]. Struktur tambahan harus sesuai, dalam arti tertentu, dengan struktur aljabar.

Baris 104:		Baris 102:

	== Teori kategori ==		== Teori kategori ==

	[[Teori kategori]] adalah alat lain untuk mempelajari struktur aljabar (lihat, misalnya, Mac Lane 1998). Kategori adalah kumpulan objek ''yang terkait dengan morfisme.'' Setiap struktur aljabar memiliki pengertiannya sendiri tentang [[homomorfisme]], yaitu setiap [[fungsi (matematika)\|fungsi]] yang kompatibel dengan operasi yang mendefinisikan struktur tersebut. Dengan cara ini, setiap struktur aljabar memunculkan [[kategori (matematika)\|kategori]]. Misalnya, [[kategori grup]] memiliki semua [[Grup (matematika)\|grup]] sebagai objek dan semua [[homomorfisme grup]] sebagai morfisme. [[Kategori konkret]] ini dapat dilihat sebagai [[kategori himpunan]] dengan struktur teori kategori yang ditambahkan. Demikian juga, kategori [[grup topologi]] (yang morfismenya merupakan homomorfisme grup kontinu) adalah [[kategori ruang topologi]] dengan struktur ekstra. Sebuah [[fungsi pelupa]] antara kategori struktur aljabar "melupakan" sebagian dari struktur.		[[Teori kategori]] adalah alat lain untuk mempelajari struktur aljabar (lihat, misalnya, Mac Lane 1998). Kategori adalah kumpulan objek ''yang terkait dengan morfisme.'' Setiap struktur aljabar memiliki pengertiannya sendiri tentang [[homomorfisme]], yaitu setiap [[fungsi (matematika)\|fungsi]] yang kompatibel dengan operasi yang mendefinisikan struktur tersebut. Dengan cara ini, setiap struktur aljabar memunculkan [[kategori (matematika)\|kategori]]. Misalnya, [[kategori grup]] memiliki semua [[Grup (matematika)\|grup]] sebagai objek dan semua [[homomorfisme grup]] sebagai morfisme. [[Kategori konkret]] ini dapat dilihat sebagai [[kategori himpunan]] dengan struktur teori kategori yang ditambahkan. Demikian juga, kategori [[grup topologi]] (yang morfismenya merupakan homomorfisme grup kontinu) adalah [[kategori ruang topologi]] dengan struktur ekstra. Sebuah [[fungsi pelupa]] antara kategori struktur aljabar "melupakan" sebagian dari struktur.

Baris 117:		Baris 114:

	== Arti berbeda dari "struktur" ==		== Arti berbeda dari "struktur" ==

	Dalam sedikit [[penyalahgunaan notasi]], kata "struktur" juga dapat merujuk pada operasi pada struktur, bukan pada himpunan dasarnya itu sendiri. Misalnya, kalimat, "Kami telah menetapkan ''struktur'' gelanggang pada himpunan <math> A </math>," berarti kita telah mendefinisikan [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]] ''operasi'' pada himpunan <math> A </math>. Untuk contoh lain, grup <math>(\mathbb Z, +)</math> bisa dilihat sebagai satu himpunan <math>\mathbb Z</math> yang dilengkapi dengan ''struktur aljabar'', yaitu ''operasi'' <math>+</math>.		Dalam sedikit [[penyalahgunaan notasi]], kata "struktur" juga dapat merujuk pada operasi pada struktur, bukan pada himpunan dasarnya itu sendiri. Misalnya, kalimat, "Kami telah menetapkan ''struktur'' gelanggang pada himpunan <math> A </math>," berarti kita telah mendefinisikan [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]] ''operasi'' pada himpunan <math> A </math>. Untuk contoh lain, grup <math>(\mathbb Z, +)</math> bisa dilihat sebagai satu himpunan <math>\mathbb Z</math> yang dilengkapi dengan ''struktur aljabar'', yaitu ''operasi'' <math>+</math>.

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Objek bebas]]		* [[Objek bebas]]
	* [[Daftar struktur aljabar]]		* [[Daftar struktur aljabar]]
Baris 128:		Baris 123:
	* [[Signature (logika)]]		* [[Signature (logika)]]
	* [[Struktur (logika matematika)]]		* [[Struktur (logika matematika)]]

	~~== Catatan kaki ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
Baris 137:		Baris 129:
	* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: [http://plato.stanford.edu/entries/algebra/ Algebra] oleh [[Vaughan Pratt]].		* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: [http://plato.stanford.edu/entries/algebra/ Algebra] oleh [[Vaughan Pratt]].

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Struktur+aljabar&oldid=28740625 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28740625 (2025-12-26T03:07:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Struktur+aljabar&oldid=28740625 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28740625 (2025-12-26T03:07:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28740625; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:49:13Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28740625; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], lebih spesifiknya dalam [[aljabar abstrak]] dan [[aljabar semesta]], sebuah '''struktur aljabar''' terdiri dari sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''A'', sekumpulan [[operasi (matematika)|operasi]] pada ''A'' dengan [[aritas]] terhingga (biasanya [[operasi biner]]), dan sebuah himpunan terhingga yang terdiri atas [[identitas (matematika)|identitas-identitas]], disebut sebagai [[aksioma]], yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Sebagian struktur aljabar juga melibatkan himpunan lain (yang disebut '''himpunan skalar''').

Dalam konteks [[aljabar universal]], himpunan ''A'' dengan [[Struktur (logika matematika)|struktur]] seperti ini disebut sebuah ''aljabar'', sementara, dalam konteks lain, itu (secara ambigu) disebut ''struktur aljabar'', karena istilah ''aljabar'' digunakan untuk struktur aljabar spesifik yang merupakan [[ruang vektor]] di atas sebuah [[medan (matematika)|medan]] atau [[modul (teori gelanggang)|modul]] di atas sebuah [[gelanggang komutatif]].

Contoh struktur aljabar dengan satu himpunan adalah [[grup (matematika)|grup]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[medan (matematika)|medan]], dan [[Kekisi (tatanan)|kekisi]]. Contoh struktur aljabar dengan dua himpunan di antaranya adalah [[ruang vektor]], [[Modul (matematika)|modul]], dan [[Aljabar (teori gelanggang)|aljabar]].

Sifat dari suatu struktur aljabar dipelajari di aljabar abstrak. Teori umum mengenai aljabar abstrak telah diformalkan dalam aljabar universal. Bahasa [[teori kategori]] digunakan untuk menggambarkan dan mempelajari hubungan antara jenis objek aljabar dan non-aljabar yang berbeda. Ini karena terkadang bisa ditemukan hubungan yang kuat antara beberapa jenis objek, meskipun kelihatannya berbeda. Contohnya, [[teori Galois]] menetapkan hubungan antara medan dan grup tertentu: dua struktur aljabar yang berbeda.

== Pengantar ==

Penjumlahan dan perkalian pada bilangan adalah contoh operasi prototipikal yang menggabungkan dua elemen himpunan untuk menghasilkan elemen ketiga dari himpunan. Operasi ini mematuhi beberapa hukum aljabar. Sebagai contoh, dan sebagai ''hukum asosiatif''. Juga dan sebagai ''hukum komutatif''. Banyak sistem yang dipelajari oleh matematikawan memiliki operasi yang mematuhi beberapa, tetapi tidak harus semua, hukum aritmetika biasa. Misalnya, rotasi suatu objek dalam ruang tiga dimensi dapat digabungkan dengan, contohnya, melakukan rotasi pertama pada objek dan kemudian menerapkan rotasi kedua di atasnya dalam orientasi baru yang dibuat oleh rotasi sebelumnya. Rotasi sebagai operasi mematuhi hukum asosiatif, tetapi dapat gagal memenuhi hukum komutatif.

Matematikawan memberi nama pada himpunan dengan satu atau lebih operasi yang mematuhi kumpulan hukum tertentu, dan mempelajarinya secara abstrak sebagai struktur aljabar. Jika soal baru dapat ditunjukkan mengikuti hukum salah satu struktur aljabar ini, semua pekerjaan yang telah dilakukan pada kategori itu di masa lalu dapat diterapkan ke soal baru.

Secara umum penuh, struktur aljabar mungkin melibatkan sejumlah himpunan dan operasi sembarang yang dapat menggabungkan lebih dari dua elemen ([[aritas]]nya lebih dari dua), tetapi artikel ini berfokus pada operasi biner. Contoh di sini sama sekali bukan daftar lengkap, tetapi dimaksudkan sebagai daftar perwakilan dan mencakup struktur yang paling umum. Daftar struktur aljabar yang lebih panjang dapat ditemukan di tautan luar dan di dalam ''[[:Kategori:Struktur aljabar]].'' Struktur terdaftar dalam urutan perkiraan untuk meningkatkan kompleksitas.

== Contoh ==
=== Satu himpunan dengan operasi ===
'''Struktur sederhana''': yang '''bukan''' termasuk [[operasi biner]]:

* [[Himpunan (matematika)|Himpunan]]: struktur aljabar ''H'' tidak memiliki operasi.
* [[Himpunan lonjong]]: ''H'' memiliki satu atau lebih elemen yang dapat dibedakan, sering kali 0, 1, atau keduanya.
* Sistem uner: ''H'' dan satu [[operasi uner]] di atas ''H''.
* : sistem uner dengan ''H'' himpunan lonjong.

'''Struktur dengan grup''': '''satu operasi biner'''. Operasi biner dapat ditunjukkan dengan simbol apa saja, atau tanpa simbol (penjajaran) untuk perkalian bilangan riil biasa.

* [[Magma (aljabar)|Magma atau grupoid]]: ''S'' dan operasi biner tunggal di atas ''S''.
* [[Semigrup]]: magma [[asosiatif]].
* [[Monoid]]: sebuah semigrup dengan [[elemen identitas]].
* [[Grup (matematika)|Grup]]: sebuah monoid dengan operasi uner (invers) adalah [[elemen invers]].
* [[Grup Abelian]]: grup di mana operasi binernya adalah [[komutatif]].
* [[Semikisi]]: semigrup di mana operasi [[idempotensi|idempoten]] dan komutatif. Operasi biner dapat disebut [[bertemu (matematika)|bertemu]] atau [[bergabung (matematika)|bergabung]].
* [[Grup semu]]: magma yang menggunakan sifat persegi Latin. Grup semu dapat direpresentasikan menggunakan tiga operasi biner.

* [[Loop (matematika)|Loop]]: grup semu dengan [[Elemen identitas|identitas]].

'''Struktur dengan gelanggang''' atau '''Gelanggangoid''': '''dua operasi biner''', disebut [[penjumlahan]] dan [[perkalian]], dengan perkalian [[distribusi]] di atas penjumlahan.

* [[Semigelanggang]]: gelanggangoid sedemikian rupa ''S'' adalah monoid di bawah setiap operasi. Penjumlahan biasanya diasumsikan komutatif dan asosiatif, dan produk monoid diasumsikan terdistribusi selama penjumlahan di kedua sisi, dan identitas aditif 0 adalah [[elemen penyerap]] dalam arti bahwa 0''x'' = 0 untuk semua ''x''.
* [[Gelanggang dekat]]: sebuah semigelanggang di mana monoid aditifnya adalah grup (non-abelian).
* [[Gelanggang (matematika)|Gelanggang]]: sebuah semigelanggang di mana monoid aditifnya merupakan grup abelian.
* [[Gelanggang Lie]]: gelanggangoid di mana monoid aditifnya merupakan grup abelian, tetapi operasi perkaliannya menggunakan [[identitas Jacobi]] dari asosiatif.
* [[Gelanggang komutatif]]: gelanggang di mana operasi perkalian bersifat komutatif.
* [[Gelanggang Boolean]]: gelanggang komutatif dengan operasi perkalian idempoten.
* [[Medan (matematika)|Medan]]: gelanggang komutatif yang menggunakan pembalikan perkalian untuk setiap elemen bukan nol.
* [[Aljabar Kleene]]: semigelanggang dengan penambahan idempoten dan operasi uner, [[Bintang Kleene]], menggunakan sifat tambahan.
* [[aljabar-*]]: gelanggang dengan operasi uner tambahan (*) yang menggunakan sifat tambahan.

'''Struktur kisi''': '''dua''' atau lebih operasi biner, termasuk operasi yang disebut [[bertemu dan bergabung]], dihubungkan dengan [[hukum absorpsi]].

* [[Kisi kompleks]]: kisi di mana [[bertemu dan bergabung]] arbitrer ada.
* [[Kisi berbatas]]: kisi dengan [[elemen terbesar]] dan elemen terkecil.
* [[Kisi komplementer]]: kisi berbatas dengan operasi unary, komplementasi, dilambangkan dengan [[notasi Polandia revers|postfiks]] <sup>[[⊥]]</sup>. Gabungan elemen dengan komplemennya adalah elemen terbesar, dan pertemuan kedua elemen adalah elemen terkecil.
* [[Kisi modular]]: kisi di mana elemennya menggunakan ''identitas modular'' tambahan.
* [[Kisi distributif]]: kisi di mana bertemu dan bergabung [[kisi distributif|mendistribusikan]] di atas yang lain. Kisi distributif bersifat modular, tetapi kebalikannya tidak berlaku.
* [[Aljabar Boolean (struktur)|Aljabar Boolean]]: kisi distributif yang dilengkapi. Salah satu dari bertemu atau bergabung dapat didefinisikan dalam istilah yang lain. Diperlihatkan setara dengan struktur gelanggang dengan nama yang sama di atas.
* [[Aljabar Heyting]]: kisi distributif berbatas dengan operasi biner tambahan, [[kompleks semu relatif]], dilambangkan dengan [[infiks]] →, dan diatur oleh aksioma''x'' → ''x'' = 1, ''x'' (''x'' → ''y'') = ''x y'', ''y'' (''x'' → ''y'') = ''y'', ''x'' → (''y z'') = (''x'' → ''y'') (''x'' → ''z'').

'''Aritmetika''': '''dua''' [[operasi biner]], penjumlahan dan perkalian. ''S'' adalah [[himpunan tak hingga]]. Aritmetika adalah sistem uner, di mana [[operasi uner]] adalah [[injeksi]] [[fungsi penerus|penerus]], dan dengan elemen yang dibedakan 0.

* [[Aritmetika Robinson]]. Penjumlahan dan perkalian adalah [[Rekursi|secara rekursif]] ditentukan dengan menggunakan penerus. 0 adalah elemen identitas untuk penjumlahan, dan memusnahkan perkalian. Aritmetika Robinson sebagai kedekatannya dengan aritmetika Peano.
* [[Aritmetika Peano]]. Aritmetika Robinson dengan [[skema aksioma]] dari [[induksi matematika|induksi]]. Kebanyakan aksioma gelanggang dan medan yang mengacu pada sifat penjumlahan dan perkalian adalah teorema aritmetika Peano atau ekstensi yang tepat daripadanya.

=== Dua himpunan dengan operasi ===
'''Struktuk-[[modul (matematika)|Modul]]:''' sistem komposit yang melibatkan dua himpunan dan menggunakan setidaknya dua operasi biner.

* [[Grup dengan operasi]]: grup ''G'' dengan himpunan Ω dan operasi biner Ω × ''G'' → ''G'' menggunakan aksioma tertentu.
* [[modul (matematika)|Modul]]: grup abelian ''M'' dan gelanggang ''R'' sebagai operator pada ''M''. Anggota ''R'' kadang-kadang disebut [[skalar (matematika)|skalar]], dan operasi biner dari ''perkalian skalar'' adalah fungsi ''R'' × ''M'' → ''M'', menggunakan beberapa aksioma. Menghitung operasi gelanggang, sistem tersebut memiliki setidaknya tiga operasi.
* [[Ruang vektor]]: modul di mana gelanggang ''R'' adalah [[gelanggang pembagian]] atau [[bidang (matematika)|bidang]].
* [[Ruang kuadrat]]: ruang vektor ''V'' di atas bidang ''F'' dengan [[bentuk kuadrat]] di ''V'' yang mengambil nilai dalam ''F''.

'''Struktur-[[aljabar (teori gelanggang)|Aljabar]]''': sistem komposit yang ditentukan dalam dua himpunan, gelanggang ''R'' dan modul-''R'' dengan ''M'' operasi yang disebut perkalian. Sebagai sistem dengan lima operasi biner: dua operasi pada ''R'', dari dua ''M'' dan satu yang melibatkan ''R'' dan ''M''.

* [[Aljabar di atas gelanggang]] (atau ''Aljabar-R''): modul di atas [[gelanggang komutatif]] ''R'', pula operasi perkalian yang kompatibel dengan struktur modul. Distribusi atas penjumlahan dan [[Peta bilinear|linearitas]] sehubungan dengan perkalian dengan elemen ''R''. Teori suatu [[aljabar di atas suatu bidang]] berkembang dengan sangat baik.
* [[Aljabar asosiatif]]: aljabar di atas gelanggang sehingga perkaliannya adalah [[sifat asosiatif|asosiatif]].
* [[Aljabar non-asosiatif]]: modul di atas cincin komutatif, dilengkapi dengan operasi perkalian gelanggang yang belum tentu asosiatif. Sering kali asosiatif diganti dengan identitas yang berbeda, seperti [[aljabar alternatif|alternasi]], [[identitas Jacobi]], atau [[identitas Yordania]].
* [[Koaljabar]]: ruang vektor dengan "koperkalian" yang didefinisikan secara ganda dengan aljabar asosiatif.
* [[Aljabar Lie]]: jenis khusus dari aljabar non-asosiatif yang produknya memenuhi [[identitas Jacobi]].
* [[Koaljabar Lie]]: ruang vektor dengan "koperkalian" yang didefinisikan secara ganda dengan Lie aljabar.
* [[Aljabar bertingkat]]: ruang vektor bertingkat dengan struktur aljabar yang kompatibel dengan penilaian. Idenya adalah jika nilai dua elemen ''a'' dan ''b'' diketahui, kemudian kelas ''ab'' diketahui, dan lokasi produk ''ab'' ditentukan dalam dekomposisi.
* [[Ruang hasil kali dalam]]: ruang vektor ''F'' ''V'' dengan [[bentuk definisi bilinear]] .

'''Empat ''' atau lebih operasi biner:

* [[Bialjabar]]: aljabar asosiatif dengan struktur koaljabar yang kompatibel.
* [[Bialjabar Lie]]: aljabar Lie dengan struktur bialjabar yang kompatibel.
* [[Aljabar Hopf]]: sebuah bialjabar dengan aksioma koneksi (antipode).
* [[Aljabar Clifford]]: aljabar asosiatif bertingkat dengan [[produk eksterior]] dari beberapa kemungkinan produk dalam. [[Aljabar eksterior]] dan [[aljabar geometris]] adalah kasus khusus dari konstruksi ini.

== Struktur hibrida ==

Struktur aljabar juga dapat hidup berdampingan dengan struktur tambahan yang bersifat non-aljabar, seperti [[Himpunan berurutan sebagian#Definisi formal|Urutan sebagian]] atau [[topologi]]. Struktur tambahan harus sesuai, dalam arti tertentu, dengan struktur aljabar.

* [[Grup topologi]]: grup dengan topologi yang kompatibel dengan operasi grup.
* [[Grup Lie]]: grup topologi dengan struktur halus [[manifold]] yang kompatibel.
* [[Grup terurut]], [[gelanggang terurut]] dan [[bidang terurut]]: setiap jenis struktur dengan [[urutan parsial]] yang kompatibel.
* [[Grup Archimedean]]: grup berurutan linier yang dipegang oleh [[sifat Archimedean]].
* [[Ruang vektor topologis]]: ruang vektor dengan ''M'' yang memiliki topologi yang kompatibel.
* [[Ruang vektor bernorma]]: ruang vektor dengan [[norma (matematika)|norma]] yang kompatibel. Jika ruang seperti itu [[ruang metrik lengkap|lengkap]] (sebagai ruang metrik) maka itu disebut [[Ruang Banach]].
* [[Ruang Hilbert]]: suatu ruang hasil kali dalam di atas bilangan real atau kompleks yang hasil kali dalamnya memunculkan struktur ruang Banach.
* [[Aljabar operator verteks]]
* [[Aljabar Von Neumann]]: *-aljabar operator pada ruang Hilbert dilengkapi dengan [[topologi operator lemah]].

== Teori kategori ==

[[Teori kategori]] adalah alat lain untuk mempelajari struktur aljabar (lihat, misalnya, Mac Lane 1998). Kategori adalah kumpulan objek ''yang terkait dengan morfisme.'' Setiap struktur aljabar memiliki pengertiannya sendiri tentang [[homomorfisme]], yaitu setiap [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang kompatibel dengan operasi yang mendefinisikan struktur tersebut. Dengan cara ini, setiap struktur aljabar memunculkan [[kategori (matematika)|kategori]]. Misalnya, [[kategori grup]] memiliki semua [[Grup (matematika)|grup]] sebagai objek dan semua [[homomorfisme grup]] sebagai morfisme. [[Kategori konkret]] ini dapat dilihat sebagai [[kategori himpunan]] dengan struktur teori kategori yang ditambahkan. Demikian juga, kategori [[grup topologi]] (yang morfismenya merupakan homomorfisme grup kontinu) adalah [[kategori ruang topologi]] dengan struktur ekstra. Sebuah [[fungsi pelupa]] antara kategori struktur aljabar "melupakan" sebagian dari struktur.

Ada berbagai konsep dalam teori kategori yang mencoba menangkap karakter aljabar dari suatu konteks, misalnya

* [[kategori aljabar]]
* [[kategori aljabar assential]]
* [[kategori persentabel]]
* [[kategori ditampilkan secara lokal]]
* [[Monad (teori kategori)|monadik]]
* [[sifat universal]].

== Arti berbeda dari "struktur" ==

Dalam sedikit [[penyalahgunaan notasi]], kata "struktur" juga dapat merujuk pada operasi pada struktur, bukan pada himpunan dasarnya itu sendiri. Misalnya, kalimat, "Kami telah menetapkan ''struktur'' gelanggang pada himpunan <math> A </math>," berarti kita telah mendefinisikan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] ''operasi'' pada himpunan <math> A </math>. Untuk contoh lain, grup <math>(\mathbb Z, +)</math> bisa dilihat sebagai satu himpunan <math>\mathbb Z</math> yang dilengkapi dengan ''struktur aljabar'', yaitu ''operasi'' <math>+</math>.

== Lihat pula ==

* [[Objek bebas]]
* [[Daftar struktur aljabar]]
* [[Struktur matematika]]
* [[Garis besar struktur aljabar]]
* [[Signature (logika)]]
* [[Struktur (logika matematika)]]

== Catatan kaki ==

== Pranala luar ==
* [http://math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php Struktur aljabar Jipsen,] mengandung banyak struktur yang tidak disebutkan di halaman ini.
* [http://mathworld.wolfram.com/topics/Algebra.html Halaman Mathworld] mengenai aljabar abstrak.
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: [http://plato.stanford.edu/entries/algebra/ Algebra] oleh [[Vaughan Pratt]].

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Struktur+aljabar&oldid=28740625 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28740625 (2025-12-26T03:07:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.