Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:07:53Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.07
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], terutama dalam [[teori grup]], '''Subgrup Frattini''' <math>\Phi(G)</math> dari [[grup (matematika)\|grup]] adalah [[persimpangan (teori himpunan)\|persimpangan]] dari semua [[subgrup maksimal]] dari . Untuk kasus di mana tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya [[grup sepele]] {'' e ''} atau [[grup Prüfer]], ini ditentukan oleh <math>\Phi(G)=G</math>. Ini analog dengan [[Jacobson radikal]] dalam teori [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai [[Giovanni Frattini]], yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.		[[File:Dih4_subgroups_(cycle_graphs).svg\|thumb\|right\|280px\|Dih4 subgroups (cycle graphs)]]

			Dalam [[matematika]], terutama dalam [[teori grup]], '''Subgrup Frattini''' <math>\Phi(G)</math> dari [[grup (matematika)\|grup]] adalah [[persimpangan (teori himpunan)\|persimpangan]] dari semua [[subgrup maksimal]] dari . Untuk kasus di mana tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya [[grup sepele]] {'' e ''} atau [[grup Prüfer]], ini ditentukan oleh <math>\Phi(G)=G</math>. Ini analog dengan [[Jacobson radikal]] dalam teori [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai [[Giovanni Frattini]], yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.<ref>Giovanni Frattini. [http://www.advgrouptheory.com/GTArchivum/Frattini/FrattiniPaper1885Transl.pdf Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni]. ''Accademia dei Lincei, Rendiconti''. 1885. Vol. I. hlm. 281–285, 455–457.</ref>

	== Beberapa fakta ==		== Beberapa fakta ==
Baris 16:		Baris 18:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

	* (See Chapter 10, especially Section 10.4.)		== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+Frattini&oldid=29219470 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29219470 (2026-05-12T11:40:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
	~~== Sumber dan atribusi ==~~

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+Frattini&oldid=29219470 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29219470 (2026~~-05-~~12T11:40:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29219470; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:40:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29219470; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], terutama dalam [[teori grup]], '''Subgrup Frattini''' <math>\Phi(G)</math> dari [[grup (matematika)|grup]] adalah [[persimpangan (teori himpunan)|persimpangan]] dari semua [[subgrup maksimal]] dari . Untuk kasus di mana tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya [[grup sepele]] {'' e ''} atau [[grup Prüfer]], ini ditentukan oleh <math>\Phi(G)=G</math>. Ini analog dengan [[Jacobson radikal]] dalam teori [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai [[Giovanni Frattini]], yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.

== Beberapa fakta ==
* <math>\Phi(G)</math> sama dengan himpunan semua '''non-generator''' atau '''elemen non-penghasil''' dari . Elemen yang tidak menghasilkan adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari [[Menghasilkan himpunan grup|Menghasilkan himpunan]]; yaitu, elemen '' a '' dari sedemikian rupa sehingga setiap kali adalah himpunan penghasil yang berisi '' a '', <math>X \setminus \{a\}</math> juga merupakan himpunan pembangkit .
* <math>\Phi(G)</math> selalu merupakan [[subgrup karakteristik]] dari ; khususnya, ini selalu merupakan [[subgrup normal]] dari .
* Jika terbatas, maka <math>\Phi(G)</math> adalah [[grup nilpoten|nilpoten]].
* Jika adalah [[p-group|grup '' p '']], maka <math>\Phi(G)=G^p [G,G]</math>. Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) [[subgrup normal]] '' N '' sehingga [[grup hasil bagi]] <math>G/N</math> adalah [[grup abelian dasar]], yaitu [[Grup isomorfisme|isomorfik]] ke [[jumlah langsung grup abelian|jumlah langsung]] dari [[grup siklik]] dari [[Order (teori grup)|order]] '' p ''. Apalagi jika grup kecerdasan <math>G/\Phi(G)</math> (juga disebut '' hasil bagi Frattini '' dari ) memiliki urutan <math>p^k</math>, maka '' k '' adalah jumlah generator terkecil untuk (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk ). Secara khusus, grup '' p '' yang terbatas adalah siklik [[jika dan hanya jika]] hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan '' p ''). Grup '' p '' yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah [[grup sepele]], <math>\Phi(G)=\{e\}</math>.
* Jika dan terbatas, maka <math>\Phi(H\times K)=\Phi(H) \times \Phi(K)</math>.

Contoh grup dengan subgrup Frattini nontrivial adalah [[grup siklik]] order <math>p^2</math>, di mana '' p '' adalah bilangan prima, dihasilkan oleh '' a '', maka; <math>\Phi(G)=\left\langle a^p\right\rangle</math>.

== Lihat pula ==
* [[Subgrup Fiting]]
* [[Argumen Frattini]]
* [[Sokel (matematika)|Sokel]]

== Referensi ==

* (See Chapter 10, especially Section 10.4.)

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+Frattini&oldid=29219470 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29219470 (2026-05-12T11:40:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Subgrup Frattini - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29219470; atribusi sumber disertakan.