Subgrup komutator - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:00:23Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.00
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], lebih khusus lagi dalam [[aljabar abstrak]], '''subgrup komutator''' atau '''subgrup turunan''' dari [[grup (matematika)\|grup]] adalah [[subgrup (matematika)\|subgrup]] [[menghasilkan set grup\|dihasilkan]] oleh semua [[komutator]] grup.		Dalam [[matematika]], lebih khusus lagi dalam [[aljabar abstrak]], '''subgrup komutator''' atau '''subgrup turunan''' dari [[grup (matematika)\|grup]] adalah [[subgrup (matematika)\|subgrup]] [[menghasilkan set grup\|dihasilkan]] oleh semua [[komutator]] grup.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+komutator&oldid=26186389 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+komutator&oldid=26186389 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	Subgrup komutator penting karena merupakan [[sifat universal\|terkecil]] [[subgrup normal]] sedemikian rupa sehingga [[grup hasil bagi]] dari grup asli oleh subgrup ini adalah [[grup abelian\|abelian]]. Dengan kata lain, <math> G/N </math> adalah abelian [[jika dan hanya jika]] <math> N </math> berisi subgrup komutator dari <math> G </math>. Jadi dalam beberapa hal ini memberikan ukuran seberapa jauh grup tersebut dari menjadi abelian; semakin besar subgrup komutator, semakin "kurang abelian" grup tersebut.		Subgrup komutator penting karena merupakan [[sifat universal\|terkecil]] [[subgrup normal]] sedemikian rupa sehingga [[grup hasil bagi]] dari grup asli oleh subgrup ini adalah [[grup abelian\|abelian]]. Dengan kata lain, <math> G/N </math> adalah abelian [[jika dan hanya jika]] <math> N </math> berisi subgrup komutator dari <math> G </math>. Jadi dalam beberapa hal ini memberikan ukuran seberapa jauh grup tersebut dari menjadi abelian; semakin besar subgrup komutator, semakin "kurang abelian" grup tersebut.

	== Komutator ==		== Komutator ==

	Untuk elemen <math> g </math> dan <math> h </math> dari grup '' G '', [[komutator]] dari <math> g </math> dan <math> h </math> adalah <math>[g,h] = g^{-1}h^{-1}gh</math>. Komutator <math> [g,h] </math> sama dengan [[elemen identitas]] '' e '' jika dan hanya jika <math> gh = hg </math>, yaitu jika dan hanya jika <math> g </math> dan <math> h </math>. Secara umum, <math>gh = hg[g,h]</math>.		Untuk elemen <math> g </math> dan <math> h </math> dari grup '' G '', [[komutator]] dari <math> g </math> dan <math> h </math> adalah <math>[g,h] = g^{-1}h^{-1}gh</math>. Komutator <math> [g,h] </math> sama dengan [[elemen identitas]] '' e '' jika dan hanya jika <math> gh = hg </math>, yaitu jika dan hanya jika <math> g </math> dan <math> h </math>. Secara umum, <math>gh = hg[g,h]</math>.

Baris 19:		Baris 18:
	Identitas pertama dan kedua menyiratkan bahwa [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] dari komutator di '' G '' ditutup di bawah inversi dan konjugasi. Jika dalam identitas ketiga kita mengambil '' H '' = '' G '', kita mendapatkan bahwa himpunan komutator stabil di bawah [[endomorfisme]] dari '' G ''. Ini sebenarnya adalah generalisasi dari identitas kedua, karena kita dapat menganggap '' f '' sebagai konjugasi [[automorfisme]] pada ''G'', <math> x \mapsto x^s </math>, untuk mendapatkan identitas kedua.		Identitas pertama dan kedua menyiratkan bahwa [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] dari komutator di '' G '' ditutup di bawah inversi dan konjugasi. Jika dalam identitas ketiga kita mengambil '' H '' = '' G '', kita mendapatkan bahwa himpunan komutator stabil di bawah [[endomorfisme]] dari '' G ''. Ini sebenarnya adalah generalisasi dari identitas kedua, karena kita dapat menganggap '' f '' sebagai konjugasi [[automorfisme]] pada ''G'', <math> x \mapsto x^s </math>, untuk mendapatkan identitas kedua.

	Namun, produk dari dua atau lebih komutator tidak perlu berupa komutator. Contoh umum adalah [''a'',''b''][''c'',''d''] di [[grup bebas]] pada ''a'',''b'',''c'',''d''. Diketahui bahwa urutan terkecil dari sebuah [[grup hingga]] dimana terdapat dua komutator yang produknya bukan komutator adalah 96; sebenarnya ada dua grup nonisomorfik ordo 96 dengan sifat ini.		Namun, produk dari dua atau lebih komutator tidak perlu berupa komutator. Contoh umum adalah [''a'',''b''][''c'',''d''] di [[grup bebas]] pada ''a'',''b'',''c'',''d''. Diketahui bahwa urutan terkecil dari sebuah [[grup hingga]] dimana terdapat dua komutator yang produknya bukan komutator adalah 96; sebenarnya ada dua grup nonisomorfik ordo 96 dengan sifat ini.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+komutator&oldid=26186389 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	== Definisi ==		== Definisi ==
Baris 51:		Baris 50:
	Diberikan grup <math> G </math>, sebuah [[grup hasil bagi]] <math> G/N </math> adalah abelian jika dan hanya jika <math>[G, G]\leq N</math>.		Diberikan grup <math> G </math>, sebuah [[grup hasil bagi]] <math> G/N </math> adalah abelian jika dan hanya jika <math>[G, G]\leq N</math>.

	Hasil bagi <math> G/[G, G] </math> adalah grup abelian yang disebut '' 'abelianization' '' dari <math> G </math> atau <math> G </math> '''dibuat abelian'''. Biasanya dilambangkan dengan <math>G^{\operatorname{ab}}</math> atau <math>G_{\operatorname{ab}}</math>.		Hasil bagi <math> G/[G, G] </math> adalah grup abelian yang disebut '' 'abelianization' '' dari <math> G </math> atau <math> G </math> '''dibuat abelian'''.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+komutator&oldid=26186389 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Biasanya dilambangkan dengan <math>G^{\operatorname{ab}}</math> atau <math>G_{\operatorname{ab}}</math>.

	Ada interpretasi kategoris yang berguna dari peta <math>\varphi: G \rightarrow G^{\operatorname{ab}}</math>. Yaitu <math>\varphi</math> bersifat universal untuk homomorfisme dari <math> G </math> ke grup abelian <math> H </math>: untuk setiap grup abelian <math> H </math> dan homomorfisme grup <math>f: G \to H</math> ada homomorfisme unik <math>F: G^{\operatorname{ab}}\to H</math> such that <math>f = F \circ \varphi</math>. Seperti biasa untuk objek yang ditentukan oleh properti pemetaan universal, ini menunjukkan keunikan abelianisasi <math>G^{\operatorname{ab}}</math> hingga [[isomorfisme]] kanonik, sedangkan konstruksi eksplisit <math>G\to G/[G, G]</math> menunjukkan keberadaan.		Ada interpretasi kategoris yang berguna dari peta <math>\varphi: G \rightarrow G^{\operatorname{ab}}</math>. Yaitu <math>\varphi</math> bersifat universal untuk homomorfisme dari <math> G </math> ke grup abelian <math> H </math>: untuk setiap grup abelian <math> H </math> dan homomorfisme grup <math>f: G \to H</math> ada homomorfisme unik <math>F: G^{\operatorname{ab}}\to H</math> such that <math>f = F \circ \varphi</math>. Seperti biasa untuk objek yang ditentukan oleh properti pemetaan universal, ini menunjukkan keunikan abelianisasi <math>G^{\operatorname{ab}}</math> hingga [[isomorfisme]] kanonik, sedangkan konstruksi eksplisit <math>G\to G/[G, G]</math> menunjukkan keberadaan.
Baris 71:		Baris 70:

	=== Grup sempurna ===		=== Grup sempurna ===

	Kapanpun grup <math> G </math> telah menurunkan subgrup yang sama dengan dirinya sendiri, <math>G^{(1)} =G</math>, itu disebut '''grup sempurna'''. Ini termasuk non-abelian [[grup sederhana]] dan [[Grup linear khusus\|grup linier khusus]] <math>\text{GL}_n(k)</math> untuk bidang tetap <math>k</math>.		Kapanpun grup <math> G </math> telah menurunkan subgrup yang sama dengan dirinya sendiri, <math>G^{(1)} =G</math>, itu disebut '''grup sempurna'''. Ini termasuk non-abelian [[grup sederhana]] dan [[Grup linear khusus\|grup linier khusus]] <math>\text{GL}_n(k)</math> untuk bidang tetap <math>k</math>.

	== Contoh ==		== Contoh ==
	* Subgrup komutator dari [[grup abelian]] adalah [[Grup sepele\|sepele]].		* Subgrup komutator dari [[grup abelian]] adalah [[Grup sepele\|sepele]].
	* Subgrup komutator dari [[grup linear umum]] <math>GL_n(k)</math> di atas [[Bidang (matematika)\|bidang]] atau [[gelanggang pembagian]] '' k '' sama dengan [[grup linear khusus]] <math>SL_n(k)</math> dengan ketentuan <math>n \ne 2</math> atau '' k '' bukan [[bidang hingga\|bidang dengan dua elemen]].		* Subgrup komutator dari [[grup linear umum]] <math>GL_n(k)</math> di atas [[Bidang (matematika)\|bidang]] atau [[gelanggang pembagian]] '' k '' sama dengan [[grup linear khusus]] <math>SL_n(k)</math> dengan ketentuan <math>n \ne 2</math> atau '' k '' bukan [[bidang hingga\|bidang dengan dua elemen]].<ref>Suprunenko. ''Matrix groups''. American Mathematical Society. 1976., Theorem II.9.4</ref>
	* Subgrup komutator dari [[alternating group]] '' A ''<sub> 4 </sub> adalah [[Klein four group]].		* Subgrup komutator dari [[alternating group]] '' A ''<sub> 4 </sub> adalah [[Klein four group]].
	* Subgrup komutator dari [[grup simetris]] '' S<sub> n </sub> '' adalah [[alternatif grup]] ''A<sub>n</sub>''.		* Subgrup komutator dari [[grup simetris]] '' S<sub> n </sub> '' adalah [[alternatif grup]] ''A<sub>n</sub>''.
Baris 91:		Baris 89:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	*
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+komutator&oldid=26186389 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26186389 (2024-08-19T04:00:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+komutator&oldid=26186389 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26186389 (2024-08-19T04:00:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26186389; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:22:17Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26186389; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], lebih khusus lagi dalam [[aljabar abstrak]], '''subgrup komutator''' atau '''subgrup turunan''' dari [[grup (matematika)|grup]] adalah [[subgrup (matematika)|subgrup]] [[menghasilkan set grup|dihasilkan]] oleh semua [[komutator]] grup.

Subgrup komutator penting karena merupakan [[sifat universal|terkecil]] [[subgrup normal]] sedemikian rupa sehingga [[grup hasil bagi]] dari grup asli oleh subgrup ini adalah [[grup abelian|abelian]]. Dengan kata lain, <math> G/N </math> adalah abelian [[jika dan hanya jika]] <math> N </math> berisi subgrup komutator dari <math> G </math>. Jadi dalam beberapa hal ini memberikan ukuran seberapa jauh grup tersebut dari menjadi abelian; semakin besar subgrup komutator, semakin "kurang abelian" grup tersebut.

== Komutator ==

Untuk elemen <math> g </math> dan <math> h </math> dari grup '' G '', [[komutator]] dari <math> g </math> dan <math> h </math> adalah <math>[g,h] = g^{-1}h^{-1}gh</math>. Komutator <math> [g,h] </math> sama dengan [[elemen identitas]] '' e '' jika dan hanya jika <math> gh = hg </math>, yaitu jika dan hanya jika <math> g </math> dan <math> h </math>. Secara umum, <math>gh = hg[g,h]</math>.

Namun, notasinya agak sewenang-wenang dan ada definisi varian yang tidak setara untuk komutator yang memiliki invers di sisi kanan persamaan: <math>[g,h] = ghg^{-1}h^{-1}</math> dalam hal ini <math>gh \neq hg[g,h]</math> melainkan <math>gh = [g,h]hg</math>.

Elemen '' G '' dengan bentuk <math> [g,h] </math> untuk beberapa '' g '' dan '' h '' disebut komutator. Elemen identitas ''e'' = [''e'',''e''] adalah komutator, dan itu adalah satu-satunya komutator jika dan hanya jika '' G '' adalah abelian.

Berikut adalah beberapa identitas komutator yang sederhana namun berguna, berlaku untuk setiap elemen '' s '', '' g '', '' h '' dari grup '' G '':

* <math>[g,h]^{-1} = [h,g],</math>
* <math>[g,h]^s = [g^s,h^s],</math> dimana <math>g^s = s^{-1}gs</math> (atau, masing-masing, <math> g^s = sgs^{-1}</math>) adalah [[komutator#Identitas|konjugasi]] dari <math>g</math> ke <math>s,</math>
* untuk setiap [[Homomorfisme grup|homomorfisme]] <math>f: G \to H </math>, <math>f([g, h]) = [f(g), f(h)].</math>

Identitas pertama dan kedua menyiratkan bahwa [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dari komutator di '' G '' ditutup di bawah inversi dan konjugasi. Jika dalam identitas ketiga kita mengambil '' H '' = '' G '', kita mendapatkan bahwa himpunan komutator stabil di bawah [[endomorfisme]] dari '' G ''. Ini sebenarnya adalah generalisasi dari identitas kedua, karena kita dapat menganggap '' f '' sebagai konjugasi [[automorfisme]] pada ''G'', <math> x \mapsto x^s </math>, untuk mendapatkan identitas kedua.

Namun, produk dari dua atau lebih komutator tidak perlu berupa komutator. Contoh umum adalah [''a'',''b''][''c'',''d''] di [[grup bebas]] pada ''a'',''b'',''c'',''d''. Diketahui bahwa urutan terkecil dari sebuah [[grup hingga]] dimana terdapat dua komutator yang produknya bukan komutator adalah 96; sebenarnya ada dua grup nonisomorfik ordo 96 dengan sifat ini.

== Definisi ==
Ini memotivasi definisi dari '''subgrup komutator''' <math>[G, G]</math> (juga disebut '''subgrup turunan''', dan dilambangkan dengan <math>G'</math> atau <math>G^{(1)}</math>) dari '' G '': ini adalah subgrup [[menghasilkan himpunan grup|dihasilkan]] oleh semua komutator.

Properti komutator mengikuti bahwa setiap elemen <math> [G, G] </math> adalah dalam bentuk

:<math>[g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n] </math>

untuk beberapa [[bilangan asli]] <math> n </math>, di mana ''g''''i'' dan ''h''''i'' adalah elemen '' G ''. Selain itu, karena untuk setiap '' s '' di '' G '' yang kita miliki <math>([g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n])^s = [g_1^s,h_1^s] \cdots [g_n^s,h_n^s]</math>, subgrup komutator normal di '' G ''. Untuk homomorfisme ''f'': ''G'' → ''H'',

:<math>f([g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n]) = [f(g_1),f(h_1)] \cdots [f(g_n),f(h_n)]</math>,

Jadi <math>f([G,G]) \leq [H,H]</math>.

Hal ini menunjukkan bahwa subgrup komutator dapat dilihat sebagai [[functor]] pada [[kategori kelompok]], beberapa implikasinya dieksplorasi di bawah ini. Selain itu, mengambil '' G '' = '' H '' itu menunjukkan bahwa subkelompok komutator stabil di bawah setiap endomorfisme '' G '': artinya, ['' G '', '' G ''] adalah [[subgrup yang memiliki karakteristik lengkap]] dari '' G '', sebuah properti yang jauh lebih kuat daripada normalitas.

Subgrup komutator juga dapat didefinisikan sebagai himpunan elemen '' g '' dari grup yang memiliki ekspresi sebagai produk ''g'' = ''g''1 ''g''2 ... ''g''''k'' yang dapat diatur ulang untuk memberikan identitas.

=== Deret turunan ===
Konstruksi ini dapat diulang:
:<math>G^{(0)} := G</math>
:<math>G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \mathbf{N}</math>
The groups <math>G^{(2)}, G^{(3)}, \ldots</math> disebut '''subgrup turunan kedua''', '''subgrup turunan ketiga''', dan seterusnya, dan turunan [[deret normal]]
:<math>\cdots \triangleleft G^{(2)} \triangleleft G^{(1)} \triangleleft G^{(0)} = G</math>
disebut '''deret turunan'''. Ini tidak boleh disamakan dengan '''[[deret tengah bawah]]''', yang suku-suku nya adalah <math>G_n := [G_{n-1},G]</math>.

Untuk grup terbatas, deret turunan berakhir dalam [[grup sempurna]], yang mungkin sepele atau tidak. Untuk grup tak hingga, deret turunan tidak perlu berhenti pada tahap berhingga, dan seseorang dapat melanjutkannya hingga [[bilangan ordinal]] tak hingga melalui [[rekursi transfinite]], dengan demikian memperoleh '''deret turunan transfinite''', yang akhirnya berakhir di [[inti sempurna]] grup.

=== Abelianisasi ===
Diberikan grup <math> G </math>, sebuah [[grup hasil bagi]] <math> G/N </math> adalah abelian jika dan hanya jika <math>[G, G]\leq N</math>.

Hasil bagi <math> G/[G, G] </math> adalah grup abelian yang disebut '' 'abelianization' '' dari <math> G </math> atau <math> G </math> '''dibuat abelian'''. Biasanya dilambangkan dengan <math>G^{\operatorname{ab}}</math> atau <math>G_{\operatorname{ab}}</math>.

Ada interpretasi kategoris yang berguna dari peta <math>\varphi: G \rightarrow G^{\operatorname{ab}}</math>. Yaitu <math>\varphi</math> bersifat universal untuk homomorfisme dari <math> G </math> ke grup abelian <math> H </math>: untuk setiap grup abelian <math> H </math> dan homomorfisme grup <math>f: G \to H</math> ada homomorfisme unik <math>F: G^{\operatorname{ab}}\to H</math> such that <math>f = F \circ \varphi</math>. Seperti biasa untuk objek yang ditentukan oleh properti pemetaan universal, ini menunjukkan keunikan abelianisasi <math>G^{\operatorname{ab}}</math> hingga [[isomorfisme]] kanonik, sedangkan konstruksi eksplisit <math>G\to G/[G, G]</math> menunjukkan keberadaan.

Functor abelianisasi adalah [[adjoint functor|luar adjoint]] dari fungsi inklusi dari [[kategori grup abelian]] ke kategori grup. Adanya fungsi abelianization '''Grp''' → '''Ab''' membuat kategori '''Ab''' menjadi [[subkategori reflektif]] dari kategori grup, yang didefinisikan sebagai subkategori lengkap yang fungsi penyertaannya memiliki adjoint kiri.

Interpretasi penting lainnya dari <math>G^{\operatorname{ab}}</math> adalah <math>H_1(G, \mathbb{Z})</math>, [[homologi grup|grup homologi]] pertama dari <math> G </math> dengan koefisien integral.

=== Kelas kelompok ===
Grup <math> G </math> adalah '''[[grup abelian]]''' jika dan hanya jika grup turunannya sepele: [''G'',''G''] = {''e''}. Sama halnya, jika dan hanya jika grup tersebut sama dengan abelianisasinya. Lihat di atas untuk definisi abelianisasi grup.

Grup <math> G </math> adalah '''[[grup sempurna]]''' jika dan hanya jika grup turunan sama dengan grup itu sendiri: [''G'',''G''] = ''G''. Demikian pula, jika dan hanya jika abelianisasi grup itu sepele. Ini "berlawanan" dengan abelian.

Grup dengan <math>G^{(n)}=\{e\}</math> untuk beberapa '' n '' dalam '''N''' disebut '''[[grup solvabel]]'''; ini lebih lemah dari abelian, yaitu kasus '' n '' = 1.

Grup dengan <math>G^{(n)} \neq \{e\}</math> untuk semua '' n '' dalam '''N''' disebut '''grup yang tidak dapat dipecahkan'''.

Grup dengan <math>G^{(\alpha)}=\{e\}</math> untuk beberapa [[nomor urut]], mungkin tak terbatas, disebut '''[[radikal sempurna|kelompok hipoabelian]]'''; ini lebih lemah dari solvable, yang mana kasus '' α '' terbatas (bilangan asli).

=== Grup sempurna ===

Kapanpun grup <math> G </math> telah menurunkan subgrup yang sama dengan dirinya sendiri, <math>G^{(1)} =G</math>, itu disebut '''grup sempurna'''. Ini termasuk non-abelian [[grup sederhana]] dan [[Grup linear khusus|grup linier khusus]] <math>\text{GL}_n(k)</math> untuk bidang tetap <math>k</math>.

== Contoh ==
* Subgrup komutator dari [[grup abelian]] adalah [[Grup sepele|sepele]].
* Subgrup komutator dari [[grup linear umum]] <math>GL_n(k)</math> di atas [[Bidang (matematika)|bidang]] atau [[gelanggang pembagian]] '' k '' sama dengan [[grup linear khusus]] <math>SL_n(k)</math> dengan ketentuan <math>n \ne 2</math> atau '' k '' bukan [[bidang hingga|bidang dengan dua elemen]].
* Subgrup komutator dari [[alternating group]] '' A '' 4 adalah [[Klein four group]].
* Subgrup komutator dari [[grup simetris]] '' S n '' adalah [[alternatif grup]] ''An''.
* Subgrup komutator dari [[grup hasil bagi]] ''Q'' = {1, −1, ''i'', −''i'', ''j'', −''j'', ''k'', −''k''} adalah [''Q'',''Q''] = {1, −1}.
* Subgrup komutator dari [[grup fundamental]] π1(''X'') dari [[path-connected]] [[topological space]] '' X '' adalah [[Kernel (aljabar)|kernel]] dari homomorfisme natural ke dalam singular pertama [[grup homology]] ''H''1(''X'').

=== Peta dari Out ===
Karena subkelompok turunan adalah [[Karakteristik subkelompok|karakteristik]], setiap automorfisme dari '' G '' menyebabkan automorfisme abelianisasi. Karena abelianisasinya adalah abelian, [[automorfisme dalam]] bertindak sepele, maka ini menghasilkan peta
:<math>\mbox{Out}(G) \to \mbox{Aut}(G^{\mbox{ab}})</math>

== Lihat pula ==
* [[Grup sovabel]]
* [[Grup nilpoten]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
*
*

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgrup+komutator&oldid=26186389 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26186389 (2024-08-19T04:00:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.