Supermanifold - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T17:57:38Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 17.57
Baris 13:		Baris 13:

	== Definisi ==		== Definisi ==
			Tiga definisi yang berbeda dari supermanifold sedang digunakan. Salah satu definisinya adalah sebagai berkas di atas ruang bercincin, ini terkadang disebut "pendekatan aljabar-geometri".<ref>Alice Rogers, ''Supermanifolds: Theory and Applications'', World Scientific, (2007) ''(Lihat [http://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/1878/suppl_file/1878_chap01.pdf Chapter 1])''</ref> Pendekatan ini memiliki keanggunan matematis, tetapi bisa belum tentu dalam berbagai perhitungan dan pemahaman berdasarkan intuisi. Pendekatan yang kedua bisa disebut "pendekatan konkret";<ref>Alice Rogers, ''Supermanifolds: Theory and Applications'', World Scientific, (2007) ''(Lihat [http://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/1878/suppl_file/1878_chap01.pdf Chapter 1])''</ref> karena mampu dengan sederhana dan tentu saja menggeneralisasikan sebuah kelas konsep yang luas dari matematika biasa. Hal itu membutuhkan penggunaan dari sebuah bilangan tak terhingga dari generator supersimetris dalam definisi tersebut; bagaimanapun, semua kecuali bilangan terbatas dari generator tidak membawa konten, seperti pendekatan konkret membutuhkan penggunaan dari topologi kasar yang membuat hampir semua dari mereka ekuivalen. Dengan heran, kedua definisi ini, salah satunya dengan bilangan terbatas dari generator supersimetris, dan salah satunya dengan bilangan tak terbatas dari generator ekuivalen.

	Tiga definisi yang berbeda dari supermanifold sedang digunakan. Salah satu definisinya adalah sebagai berkas di atas ruang bercincin, ini terkadang disebut "pendekatan aljabar-geometri". Pendekatan ini memiliki keanggunan matematis, tetapi bisa belum tentu dalam berbagai perhitungan dan pemahaman berdasarkan intuisi. Pendekatan yang kedua bisa disebut "pendekatan konkret"; karena mampu dengan sederhana dan tentu saja menggeneralisasikan sebuah kelas konsep yang luas dari matematika biasa. Hal itu membutuhkan penggunaan dari sebuah bilangan tak terhingga dari generator supersimetris dalam definisi tersebut; bagaimanapun, semua kecuali bilangan terbatas dari generator tidak membawa konten, seperti pendekatan konkret membutuhkan penggunaan dari topologi kasar yang membuat hampir semua dari mereka ekuivalen. Dengan heran, kedua definisi ini, salah satunya dengan bilangan terbatas dari generator supersimetris, dan salah satunya dengan bilangan tak terbatas dari generator ekuivalen.		Pendekatan ketiga mendeskripsikan supermanifold sebagai [[topos dasar]] dari [[superpoin]]. Pendekatan ini masih menjadi topik penelitian aktif.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Supermanifold&oldid=28431618 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	Pendekatan ketiga mendeskripsikan supermanifold sebagai [[topos dasar]] dari [[superpoin]]. Pendekatan ini masih menjadi topik penelitian aktif.

	=== Aljabar-geometriː sebagai ikatan ===		=== Aljabar-geometriː sebagai ikatan ===
Baris 30:		Baris 29:
	Sebuah definisi lainnya menggambarkan supermanifold dengan cara yang mirip dengan [[Lipatan terdiferensialkan\|lipatan terdiferensial]], kecuali bahwa ruang model <math>\mathbb{R}^p </math> telah diganti oleh ''superruang model'' <math>\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a</math>.		Sebuah definisi lainnya menggambarkan supermanifold dengan cara yang mirip dengan [[Lipatan terdiferensialkan\|lipatan terdiferensial]], kecuali bahwa ruang model <math>\mathbb{R}^p </math> telah diganti oleh ''superruang model'' <math>\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a</math>.

	Untuk membenarkan definisi ini, sangat sulit untuk menjelaskan apa itu <math>\mathbb{R}_c</math> dan <math>\mathbb{R}_c</math><math>\mathbb{R}_c</math>. Ini diberikan sebagai subruang real genap dan ganjil dari ruang satu dimensi dari [[bilangan Grassmann]],, yang menurut konvensi, dihasilkan oleh bilangan terhitung tak terbatas dari variabel antikomutatif, yaitu ruang satu dimensi yang diberikan oleh <math>\mathbb{C}\otimes\Lambda(V)</math>, di mana <math>V</math> adalah tak terbatas dimensi. Sebuah anggota <math>z</math> diistilahkan ''real'' jika <math>z=z^*</math>; anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan genap dari generator Grassmann membentuk ruang <math>\mathbb{R}_c</math> dari ''bilangan-c'', sementara anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan ganjil dari generator Grassmann membentuk ruang <math>\mathbb{R}_c</math> dari ''bilangan-a''. Catatan bahwa bilangan-c komutatif, sementara bilangan-a antikomutatif. Ruang <math>\mathbb{R}^p_c</math> dan <math>\mathbb{R}^q_a </math> yang kemudian didefinisikan sebagai produk Kartesius lipatan-<math>p</math> dan lipatan-<math>q</math> dari <math>\mathbb{R}_c</math> dan <math>\mathbb{R}_a</math>.		Untuk membenarkan definisi ini, sangat sulit untuk menjelaskan apa itu <math>\mathbb{R}_c</math> dan <math>\mathbb{R}_c</math><math>\mathbb{R}_c</math>. Ini diberikan sebagai subruang real genap dan ganjil dari ruang satu dimensi dari [[bilangan Grassmann]],, yang menurut konvensi, dihasilkan oleh bilangan terhitung tak terbatas dari variabel antikomutatif, yaitu ruang satu dimensi yang diberikan oleh <math>\mathbb{C}\otimes\Lambda(V)</math>, di mana <math>V</math> adalah tak terbatas dimensi. Sebuah anggota <math>z</math> diistilahkan ''real'' jika <math>z=z^*</math>; anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan genap dari generator Grassmann membentuk ruang <math>\mathbb{R}_c</math> dari ''bilangan-c'', sementara anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan ganjil dari generator Grassmann membentuk ruang <math>\mathbb{R}_c</math> dari ''bilangan-a''. Catatan bahwa bilangan-c komutatif, sementara bilangan-a antikomutatif. Ruang <math>\mathbb{R}^p_c</math> dan <math>\mathbb{R}^q_a </math> yang kemudian didefinisikan sebagai produk Kartesius lipatan-<math>p</math> dan lipatan-<math>q</math> dari <math>\mathbb{R}_c</math> dan <math>\mathbb{R}_a</math>.<ref>Bryce DeWitt, ''Supermanifolds'', (1984) Cambridge University Press ''(Lihat chapter 2.)''</ref>

	Sama seperti kasus dari manifold biasa, supermanifold kemudian didefinisikan sebagai kumpulan dari diagram yang direkatkan dengan fungsi transisi yang berbeda. Definisi ini dalam diagram membutuhkan bahwa fungsi transisi memiliki [[struktur mulus]] dan [[Matriks dan determinan Jacobian\|Jacobian]] bukan nol. Ini bisa hanya diselesaikan jika diagram individual menggunakan [[topologi]] yang jauh lebih kasar daripada ruang vektor topologi di aljabar Grassmann. Topologi ini diperoleh <math>\mathbb{R}^p_c </math> ke <math>\mathbb{R}^p</math> dan kemudian menggunakan topologi biasa dengan itu. Hasil topologi ''bukan'' [[ruang Hausdorff]], tetapi bisa disebut "proyektif Hausdorff".		Sama seperti kasus dari manifold biasa, supermanifold kemudian didefinisikan sebagai kumpulan dari diagram yang direkatkan dengan fungsi transisi yang berbeda.<ref>Bryce DeWitt, ''Supermanifolds'', (1984) Cambridge University Press ''(Lihat chapter 2.)''</ref> Definisi ini dalam diagram membutuhkan bahwa fungsi transisi memiliki [[struktur mulus]] dan [[Matriks dan determinan Jacobian\|Jacobian]] bukan nol. Ini bisa hanya diselesaikan jika diagram individual menggunakan [[topologi]] yang jauh lebih kasar daripada ruang vektor topologi di aljabar Grassmann. Topologi ini diperoleh <math>\mathbb{R}^p_c </math> ke <math>\mathbb{R}^p</math> dan kemudian menggunakan topologi biasa dengan itu. Hasil topologi ''bukan'' [[ruang Hausdorff]], tetapi bisa disebut "proyektif Hausdorff".<ref>Bryce DeWitt, ''Supermanifolds'', (1984) Cambridge University Press ''(Lihat chapter 2.)''</ref>

	Definisi ini ekuivalen untuk yang pertama tidak semuanya jelas; bagaimanapun, ini adalah penggunaan dari topologi kasar yang membuatnya seperti itu, dengan menerjemahkan sebagian besar "poin" identik. Yaitu,<math>\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a </math> dengan topologi kasar pada dasarnya isomorfik ke <math>\mathbb{R}^p\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)</math>.		Definisi ini ekuivalen untuk yang pertama tidak semuanya jelas; bagaimanapun, ini adalah penggunaan dari topologi kasar yang membuatnya seperti itu, dengan menerjemahkan sebagian besar "poin" identik. Yaitu,<math>\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a </math> dengan topologi kasar pada dasarnya isomorfik<ref>Alice Rogers, ''Supermanifolds: Theory and Applications'', World Scientific, (2007) ''(Lihat [http://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/1878/suppl_file/1878_chap01.pdf Chapter 1])''</ref><ref>Rogers, ''Op. Cit.'' ''(See Chapter 8.)''</ref> ke <math>\mathbb{R}^p\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)</math>.

	Menurut sejarah, pendekatan ini berhubungan dengan [[Alice Rogers]], [[Bryce DeWitt]] dan dikerjakan oleh Kadczyk dan Pilch.		Menurut sejarah, pendekatan ini berhubungan dengan [[Alice Rogers]], [[Bryce DeWitt]] dan dikerjakan oleh Kadczyk dan Pilch.
Baris 46:		Baris 45:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	* Misalkan <math>M </math> adalah manifold, ''Bundel tangen ganjil'' <math>\Pi T M</math> adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas <math>\Omega(M)</math> dari pembentukan diferensial di <math>M </math>.		* Misalkan <math>M </math> adalah manifold, ''Bundel tangen ganjil'' <math>\Pi T M</math> adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas <math>\Omega(M)</math> dari pembentukan diferensial di <math>M </math>.
	* Lebih umum, misalkan <math>E \to M</math> menjadi [[bundel vektor]]. Lalu <math>\Pi E</math> adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas <math>\Gamma(\Lambda E^*)</math>. Faktanya, <math>\Pi</math> adalah functor dari kategori dari bundel vektor ke kategori dari supermanifold.		* Lebih umum, misalkan <math>E \to M</math> menjadi [[bundel vektor]]. Lalu <math>\Pi E</math> adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas <math>\Gamma(\Lambda E^*)</math>. Faktanya, <math>\Pi</math> adalah functor dari kategori dari bundel vektor ke kategori dari supermanifold.
Baris 57:		Baris 55:

	== Struktur simplektis ganjil ==		== Struktur simplektis ganjil ==

	=== Bentuk simplektis ganjil ===		=== Bentuk simplektis ganjil ===
	Dalam berbagai penerapan fisika dan geometri, supermanifold dilengkapi dengan [[Manifold simplektis\|struktur simplektis]] ganjil Grassmann. Semua objek geometris di supermanifold bertingkat. Secara khusus, bundel dari dua bentuk dilengkapi dengan penilaian. Sebuah bentuk simplektis ganjil <math>\omega</math> di supermanifold tertutup, bentuk ganjil, menginduksikan pasangan nondegenerasi pada <math>TM</math>. Seperti supermanifold yang disebut [[manifold-P]]. Dimensi bertingkatnya diperlukan <math>(n,n)</math>, karena bentuk simplektis ganjil menginduksikan sebuah pasangan dari variabel ganjil dan genap. Ada versi dari teorema Darboux untuk manifold-P, yang memperkenankan salah satunya untuk melengkapi manifold-P secara lokal dengan sebuah kumpulan dari koordinat-koordinat di mana bentuk simplektis ganjil <math>\omega</math> ditulis sebagai		Dalam berbagai penerapan fisika dan geometri, supermanifold dilengkapi dengan [[Manifold simplektis\|struktur simplektis]] ganjil Grassmann. Semua objek geometris di supermanifold bertingkat. Secara khusus, bundel dari dua bentuk dilengkapi dengan penilaian. Sebuah bentuk simplektis ganjil <math>\omega</math> di supermanifold tertutup, bentuk ganjil, menginduksikan pasangan nondegenerasi pada <math>TM</math>. Seperti supermanifold yang disebut [[manifold-P]]. Dimensi bertingkatnya diperlukan <math>(n,n)</math>, karena bentuk simplektis ganjil menginduksikan sebuah pasangan dari variabel ganjil dan genap. Ada versi dari teorema Darboux untuk manifold-P, yang memperkenankan salah satunya untuk melengkapi manifold-P secara lokal dengan sebuah kumpulan dari koordinat-koordinat di mana bentuk simplektis ganjil <math>\omega</math> ditulis sebagai
Baris 104:		Baris 101:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Superruang]]		* [[Superruang]]
	* [[Supersimetri]]		* [[Supersimetri]]
Baris 110:		Baris 106:
	* [[Manifold bertingkat]]		* [[Manifold bertingkat]]
	* [[Formalisme Batalin-Vilkovisky]]		* [[Formalisme Batalin-Vilkovisky]]

	~~== Referensi ==~~


	* Joseph Bernstein, "[http://www.math.ias.edu/QFT/fall/ Lectures on Supersymmetry (notes by Dennis Gaitsgory)]", ''Quantum Field Theory program at IAS: Fall Term''
	* A. Schwarz, "[[arxiv:hep-th/9205088\|Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization]]", ArXiv hep-th/9205088
	* C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, ''The Geometry of Supermanifolds'' (Kluwer, 1991)
	* L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, ''Connections in Classical and Quantum Field Theory'' (World Scientific, 2000) ()

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Super_manifolds:_an_incomplete_survey Super manifolds: an incomplete survey] at the Manifold Atlas.		* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Super_manifolds:_an_incomplete_survey Super manifolds: an incomplete survey] at the Manifold Atlas.

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Supermanifold&oldid=28431618 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431618 (2025-11-12T14:30:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Supermanifold&oldid=28431618 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431618 (2025-11-12T14:30:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28431618; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:18:17Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28431618; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[fisika]] dan [[matematika]], '''supermanfiold''' adalah generalisasi dari konsep [[Lipatan (matematika)|lipatan]] berdasarkan ide yang berasal dari [[Supersimetris|supersimetri]]. Beberapa definisi sedang digunakan, beberapa di antaranya dinyatakan di bawah ini.

== Definisi informal ==
Sebuah definisi informal umumnya digunakan di catatan fisika dan pengenalan kuliah. Itu mendefinisikan '''supermanifold''' sebagai sebuah [[Lipatan (matematika)|lipatan]] dengan koordinasi [[boson]]ik dan [[fermion]]ik. Secara lokal, itu tersusun dari [[Atlas (topologi)|grafik koordinat]] yang membuatnya terlihat seperti "datar", [[superruang]] Euklidean. Koordinat-koordinat lokal ini sering kali dilambangkan dengan

: <math>(x,\theta,\bar{\theta})</math>

Di mana <math>x </math> adalah (bernilai bilangan real) koordinat [[ruang waktu]], <math>\theta</math> dan <math>\bar{\theta}</math> adalah "arah" spasial [[nilai Grassmann]].

Interpretasi fisik dari koordinat nilai Grassmann merupakan subjek dari diskusi; eksperimen eksplisit mencari untuk [[Supersimteris|supersimetri]] tidak memberikan hasil yang positif. Bagaimanapun, penggunaan variabel Grassmann memperkenankan untuk penyederhanaan yang besar dari sebuah bilangan dari hasil matematis yang penting. Ini termasuk, diantaranya definisi yang padat dari [[integral fungsional]], perawatan yang tepat dari hantu-hantu dalam [[kuantisasi BRST]], pembatalan ketakterhinggaan dalam [[teori medan kuantum]]. Karya tulis pada [[teori indeks Atiyah-Singer]], dan penggunaan terbaru untuk [[simetri cermin]].

Penggunaan dari koordinat nilai Grassmann telah muncul bidang dari [[supermatematika]], di mana sebagian besar geometri bisa digeneralisasikan menjadi superekuivalen, termasuk [[geometri Riemann]] dan sebagian besar teori dari [[grup Lie]] dan [[aljabar Lie]] (seperti superaljabar Lie, dan sebagainya). Bagaimanapun, masalah pun tetap, termasuk ekstensi yang tepat dari [[kohomologi deRham]] ke supermanifold.

== Definisi ==

Tiga definisi yang berbeda dari supermanifold sedang digunakan. Salah satu definisinya adalah sebagai berkas di atas ruang bercincin, ini terkadang disebut "pendekatan aljabar-geometri". Pendekatan ini memiliki keanggunan matematis, tetapi bisa belum tentu dalam berbagai perhitungan dan pemahaman berdasarkan intuisi. Pendekatan yang kedua bisa disebut "pendekatan konkret"; karena mampu dengan sederhana dan tentu saja menggeneralisasikan sebuah kelas konsep yang luas dari matematika biasa. Hal itu membutuhkan penggunaan dari sebuah bilangan tak terhingga dari generator supersimetris dalam definisi tersebut; bagaimanapun, semua kecuali bilangan terbatas dari generator tidak membawa konten, seperti pendekatan konkret membutuhkan penggunaan dari topologi kasar yang membuat hampir semua dari mereka ekuivalen. Dengan heran, kedua definisi ini, salah satunya dengan bilangan terbatas dari generator supersimetris, dan salah satunya dengan bilangan tak terbatas dari generator ekuivalen.

Pendekatan ketiga mendeskripsikan supermanifold sebagai [[topos dasar]] dari [[superpoin]]. Pendekatan ini masih menjadi topik penelitian aktif.

=== Aljabar-geometriː sebagai ikatan ===
Meskipun supermanifold merupakan kasus spesial dari [[manifold nonkomutatif]], struktur lokalnya membuat mereka lebih cocok untuk mempelajari dengan alat dari standar [[geometri diferensial]] dan [[ruang bercincin lokal]]

Sebuah supermanifold <math>\mathbf{M} </math> dari dimensi <math>(p,q) </math> adalah sebuah [[ruang topologi]] <math>M</math> dengan sebuah berkas dari [[superaljabar]], biasanya dilambangkan <math>O_\mathbf{M} </math> atau <math>C^{\infty}(\mathbf{M}) </math>, yang secara lokal isomorfik <math>C^\infty(\mathbb{R}^p)\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)</math>, di mana yang terakhir adalah aljabar Grassmann dari generator <math>q</math>.

Sebuah supermanifold <math>\mathbf{M} </math> dari dimensi <math>(1,1) </math> terkadang disebut [[permukaan super-Riemann]].

Menurut sejarah, pendekatanini berhubungan dengan [[Felix Berezin]], [[Dimitry Leites]], dan [[Bertram Kostant]].

=== Konkretː sebagai lipatan mulus ===
Sebuah definisi lainnya menggambarkan supermanifold dengan cara yang mirip dengan [[Lipatan terdiferensialkan|lipatan terdiferensial]], kecuali bahwa ruang model <math>\mathbb{R}^p </math> telah diganti oleh ''superruang model'' <math>\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a</math>.

Untuk membenarkan definisi ini, sangat sulit untuk menjelaskan apa itu <math>\mathbb{R}_c</math> dan <math>\mathbb{R}_c</math><math>\mathbb{R}_c</math>. Ini diberikan sebagai subruang real genap dan ganjil dari ruang satu dimensi dari [[bilangan Grassmann]],, yang menurut konvensi, dihasilkan oleh bilangan terhitung tak terbatas dari variabel antikomutatif, yaitu ruang satu dimensi yang diberikan oleh <math>\mathbb{C}\otimes\Lambda(V)</math>, di mana <math>V</math> adalah tak terbatas dimensi. Sebuah anggota <math>z</math> diistilahkan ''real'' jika <math>z=z^*</math>; anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan genap dari generator Grassmann membentuk ruang <math>\mathbb{R}_c</math> dari ''bilangan-c'', sementara anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan ganjil dari generator Grassmann membentuk ruang <math>\mathbb{R}_c</math> dari ''bilangan-a''. Catatan bahwa bilangan-c komutatif, sementara bilangan-a antikomutatif. Ruang <math>\mathbb{R}^p_c</math> dan <math>\mathbb{R}^q_a </math> yang kemudian didefinisikan sebagai produk Kartesius lipatan-<math>p</math> dan lipatan-<math>q</math> dari <math>\mathbb{R}_c</math> dan <math>\mathbb{R}_a</math>.

Sama seperti kasus dari manifold biasa, supermanifold kemudian didefinisikan sebagai kumpulan dari diagram yang direkatkan dengan fungsi transisi yang berbeda. Definisi ini dalam diagram membutuhkan bahwa fungsi transisi memiliki [[struktur mulus]] dan [[Matriks dan determinan Jacobian|Jacobian]] bukan nol. Ini bisa hanya diselesaikan jika diagram individual menggunakan [[topologi]] yang jauh lebih kasar daripada ruang vektor topologi di aljabar Grassmann. Topologi ini diperoleh <math>\mathbb{R}^p_c </math> ke <math>\mathbb{R}^p</math> dan kemudian menggunakan topologi biasa dengan itu. Hasil topologi ''bukan'' [[ruang Hausdorff]], tetapi bisa disebut "proyektif Hausdorff".

Definisi ini ekuivalen untuk yang pertama tidak semuanya jelas; bagaimanapun, ini adalah penggunaan dari topologi kasar yang membuatnya seperti itu, dengan menerjemahkan sebagian besar "poin" identik. Yaitu,<math>\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a </math> dengan topologi kasar pada dasarnya isomorfik ke <math>\mathbb{R}^p\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)</math>.

Menurut sejarah, pendekatan ini berhubungan dengan [[Alice Rogers]], [[Bryce DeWitt]] dan dikerjakan oleh Kadczyk dan Pilch.

== Sifat-sifat ==
Tidak seperti manifold biasa, supermanifold tidak sepenuhnya tersusun dari satu titik. Sebagai gantinya, salah satu mengambil dua sudut pandang yang struktur dari supermanifold <math>\mathbf{M} </math> yang terdapat di dalam berkas <math>O_\mathbf{M}</math> dari "fungsi mulus". Dalam dua sudut pandang, sebuah pemetaan injektif berkorespondensi ke injeksi dari berkas.

Pendekatan alternatif untuk kedua sudut pandang menggunakan [[Functor diwakili oleh skema|pengarah tujuan]].

Jika <math>\mathbf{M} </math> adalah sebuah supermanifold dari dimensi <math>(p,q) </math>, maka ruang yang mendasari <math>M </math> mewarisi struktur dari [[Lipatan terdiferensialkan|lipatan diferensial]] yang berkas dari fungsi mulus adalah <math>O_\mathbf{M}/I</math>, di mana <math>I</math> adalah ideal yang dihasilkan oleh semua fungsi ganjil. Demikian juga <math>M </math> adalah submanifold dari <math>\mathbf{M} </math>.

== Contoh ==

* Misalkan <math>M </math> adalah manifold, ''Bundel tangen ganjil'' <math>\Pi T M</math> adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas <math>\Omega(M)</math> dari pembentukan diferensial di <math>M </math>.
* Lebih umum, misalkan <math>E \to M</math> menjadi [[bundel vektor]]. Lalu <math>\Pi E</math> adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas <math>\Gamma(\Lambda E^*)</math>. Faktanya, <math>\Pi</math> adalah functor dari kategori dari bundel vektor ke kategori dari supermanifold.
* [[Supergrup (fisika)|Supergrup Lie]] merupakan contoh dari supermanifold.

== Teorema Batchelor ==
Teorema Batchelor menyatakan bahwa setiap supermanifold isomorfik nonkanonik ke supermanifold dari bentuk <math>\Pi E </math>. Kata "nonkanonis" mencegah salah satu dari kesimpulan bahwa supermanifold hanya dimuliakan bundel vektor; meskipun functor peta surjektif <math>\Pi </math> ke kelas isomorfis dari supermanifold, ini tidak bertentangan dari kategori. Ini dipublikasikan oleh Marjorie Batchelor dalam 1979.

Bukti dari teorema Batchelor mengandalkan cara penting pada keberadaan [[partisi dari persatuan]], jadi ini tidak berlaku untuk supermanifold analisis real atau kompleks.

== Struktur simplektis ganjil ==

=== Bentuk simplektis ganjil ===
Dalam berbagai penerapan fisika dan geometri, supermanifold dilengkapi dengan [[Manifold simplektis|struktur simplektis]] ganjil Grassmann. Semua objek geometris di supermanifold bertingkat. Secara khusus, bundel dari dua bentuk dilengkapi dengan penilaian. Sebuah bentuk simplektis ganjil <math>\omega</math> di supermanifold tertutup, bentuk ganjil, menginduksikan pasangan nondegenerasi pada <math>TM</math>. Seperti supermanifold yang disebut [[manifold-P]]. Dimensi bertingkatnya diperlukan <math>(n,n)</math>, karena bentuk simplektis ganjil menginduksikan sebuah pasangan dari variabel ganjil dan genap. Ada versi dari teorema Darboux untuk manifold-P, yang memperkenankan salah satunya untuk melengkapi manifold-P secara lokal dengan sebuah kumpulan dari koordinat-koordinat di mana bentuk simplektis ganjil <math>\omega</math> ditulis sebagai

: <math>\omega = \sum_{i} d\xi_i \wedge dx_i , </math>

di mana <math>x_i</math> adalah koordinat-koordinat genap, dan <math>\xi_i</math> adalah koordinat-koordinat ganjil. (Sebuah bentuk simplektis ganjil jangan bingung dengan sebuah [[Manifold simplektis|bentuk simplektis]] genap Grassmann pada sebuah supermanifold. Sebaliknya, versi Darboux dari sebuah bentuk simplektis genap adalah

: <math>\sum_i dp_i \wedge dq_i+\sum_j \frac{\varepsilon_j}{2}(d\xi_j)^2, </math>

di mana <math>p_i , q_i</math> adalah koordinat-koordinat genap, <math>\xi_i</math> adalah koordinat-koordinat ganjil dan <math>\varepsilon_j</math> adalah <math>+1</math> atau <math>-1</math>.)

=== Antikurung ===
Diberikan 2-bentuk simplektis ganjil <math>\omega </math> didefinisikan [[kurung Poisson]] dikenal sebagai '''antikurung''' dari dua fungsi <math>F</math> dan <math>G</math> pada sebuah supermanifold oleh

:: <math>\{F,G\}=\frac{\partial_rF}{\partial z^i}\omega^{ij}(z)\frac{\partial_lG}{\partial z^j}.</math>

Di sini <math>\partial_r</math> dan <math>\partial_l</math> adalah [[turunan]] kanan dan kiri masing-masing dan <math>z </math> adalah koordinat-koordinat dari supermanifold. Dilengkapi dengan tanda kurung ini, aljabar dari fungsi pada supermanifold menjadi sebuah [[aljabar antikurung]].

Sebuah [[Sistem koordinat|transformasi koordinat]] bahwa mempertahankan antikurung disebut [[transformasi-P]]. Jika [[Berezinian]] dari transformasi-P.sama dengan satu maka itu disebut transformasi-SP.

=== Manifold-P dan SP ===
Menggunakan [[teorema Darboux]] untuk bentuk simplektis ganjil bisa menunjukkan bahwa manifold-P dibangun untuk himpunan terbuka dari superruang <math>\mathcal{R}^{n | n}</math> direkatkan bersama oleh transformasi-P. Manifold dikatakan [[manifold-SP]] jika fungsi transisi ini bisa dipilih menjadi transformasi-SP. Dengan jelas, salah satu mendefinisikan manifold-SP sebagai supermanifold dengan 2-bentuk ganjil non-degenerasi <math>\omega </math> dan [[Fungsi kepekatan probabilitas|fungsi densitas]] <math>\rho</math> yang setiap pengatur koordinat ada [[koordinat Darboux]] di mana <math>\rho </math> secara identik sama dengan satu.

=== Laplacian ===
Salah satunya mungkin mendefinisikan [[operator Laplacian]] dari manifold-SP sebagai operator yang mengambil fungsi <math>H</math> ke satu setengah [[divergensi]] dari lapangan vektor Hamiltonian yang sesuai. Secara eksplisit salah satunya mendefinisikan

::: <math>\Delta H=\frac{1}{2\rho}\frac{\partial_r}{\partial z^a}\left(\rho\omega^{ij}(z)\frac{\partial_l H}{\partial z^j}\right)</math>.

Dalam koordinat Darboux definisi ini diturunkan menjadi

:::: <math>\Delta=\frac{\partial_r}{\partial x^a}\frac{\partial_l}{\partial \theta_a}</math>

di mana <math>x^a</math> dan <math>\theta_a</math> adalah koordinat genap dan ganjil yang di mana

:::: <math>\omega=dx^a\wedge d\theta_a</math>.

Laplacian adalah nol dan nilpoten

:::: <math>\Delta^2=0</math>.

Salah satunya mendefinisikan [[kohomologi]] dari fungsi <math>H </math> terhadap Laplacian. Dalam [[arxiv:hep-th/9205088|Geometry dari kuantisasi Batalin-Vikovisky]], [[Albert Schwarz]] telah membuktikan bahwa integral dari sebuah fungsi <math>H </math> melalui submanifold Lagrangian <math>L</math> yang bergantung hanya pada kelas kohomologi dari <math>H </math> dan pada kelas [[Homologi (matematika)|homologi]] dari bagian dari <math>L</math> dalam bagian dari supermanifold sekelilingnya.

== SUSI ==
Struktur sebelum SUSI pada sebuah supermanifold dari dimensi <math>(n,m) </math> adalah distribusi dimensi-<math>m</math> ganjil <math>P \subset TM</math>. Dengan seperti distribusi salah satu mengaitkan tensor Frobenius <math>S^2 P \mapsto TM/P </math> (ketika <math>P</math> ganjil, simetris miring tensor Frobenius adalah sebuah operator simetris). Jika tensor ini nondegenerasi, misalnya terletak di lintasan terbuka dari <math>GL(P)\times GL\left(\frac{TM}{P}\right)</math>, <math>M </math> disebut ''manfiold-SUSI''. struktur SUSI dalam dimensi <math>(1,k)</math> sama dengan [[Geometri kontak|struktur kontak]].

== Lihat pula ==

* [[Superruang]]
* [[Supersimetri]]
* [[Supergeometri]]
* [[Manifold bertingkat]]
* [[Formalisme Batalin-Vilkovisky]]

== Referensi ==

* Joseph Bernstein, "[http://www.math.ias.edu/QFT/fall/ Lectures on Supersymmetry (notes by Dennis Gaitsgory)]", ''Quantum Field Theory program at IAS: Fall Term''
* A. Schwarz, "[[arxiv:hep-th/9205088|Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization]]", ArXiv hep-th/9205088
* C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, ''The Geometry of Supermanifolds'' (Kluwer, 1991)
* L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, ''Connections in Classical and Quantum Field Theory'' (World Scientific, 2000) ()

== Pranala luar ==

* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Super_manifolds:_an_incomplete_survey Super manifolds: an incomplete survey] at the Manifold Atlas.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Supermanifold&oldid=28431618 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431618 (2025-11-12T14:30:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.