Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:04:34Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.04
Baris 1:		Baris 1:
	'''''Tanpa mengurangi keumuman''''' (, sering kali [[Singkatan\|disingkat]] '''WLOG''' atau '''WOLOG''') adalah kalimat yang cukup sering digunakan dalam [[matematika]]. Istilah tersebut digunakan untuk menyatakan bahwa asumsi yang digunakan telah dipilih secara sembarang (sehingga [[premis]]nya menjadi sebuah kasus khusus yang lebih mudah diselesaikan), tetapi hal tersebut tidak mengubah validitas [[Pembuktian matematika\|pembuktiannya]] secara keseluruhan. Jika terdapat kasus lain, maka pengerjaannya kurang lebih dapat ditangani dengan cara serupa seperti apa yang telah dipaparkan sebelumnya. Akibatnya, setelah suatu kasus terbukti kebenarannya, maka sangat mudah untuk mengadaptasinya untuk membuktikan kesimpulan di semua kasus lainnya.		'''''Tanpa mengurangi keumuman''''' (, sering kali [[Singkatan\|disingkat]] '''WLOG''' atau '''WOLOG''')<ref>[https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Without_loss_of_generality Without Loss of Generality]. ''Art of Problem Solving''.</ref> adalah kalimat yang cukup sering digunakan dalam [[matematika]]. Istilah tersebut digunakan untuk menyatakan bahwa asumsi yang digunakan telah dipilih secara sembarang (sehingga [[premis]]nya menjadi sebuah kasus khusus yang lebih mudah diselesaikan), tetapi hal tersebut tidak mengubah validitas [[Pembuktian matematika\|pembuktiannya]] secara keseluruhan. Jika terdapat kasus lain, maka pengerjaannya kurang lebih dapat ditangani dengan cara serupa seperti apa yang telah dipaparkan sebelumnya.<ref>Gary Chartrand. [https://archive.org/details/mathematicalproo0000gary Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics]. Pearson/Addison Wesley. 2008. hlm. [https://archive.org/details/mathematicalproo0000gary/page/80 80]–81. ISBN 978-0-321-39053-0.</ref> Akibatnya, setelah suatu kasus terbukti kebenarannya, maka sangat mudah untuk mengadaptasinya untuk membuktikan kesimpulan di semua kasus lainnya.

	Dalam banyak kasus, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" dimungkinkan akibat adanya suatu [[simetri]]. Sebagai contoh, diketahui <math>x</math> dan <math>y</math> adalah suatu [[bilangan riil]] yang memenuhi suatu sifat <math>P(x, \, y)</math> (misalnya, <math>P(x, \, y)</math> adalah [[proposisi]] <math>\max (x, \, y) - \min (x, \, y) = \left\| x - y \right\|</math>). Jika <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris (atau dengan kata lain, <math>P(x, \, y)</math> ekuivalen dengan <math>P(y, \, x)</math>), maka untuk membuktikan sifat <math>P(x, \, y)</math> yang akan berlaku untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math> dan <math>y</math>, dapat diasumsikan bahwa <math>x \leq y</math>. Asumsi ini dapat dilakukan, sebab jika kasus <math>x \leq y</math> telah terbukti, kasus lainnya dapat diselesaikan dengan menukar label <math>x</math> dan <math>y</math>. Oleh karena <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris, maka terbukti bahwa sifat <math>P(x, \, y)</math> berlaku untuk setiap kasus.		Dalam banyak kasus, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" dimungkinkan akibat adanya suatu [[simetri]].<ref>Edsger W. Dijkstra. [https://www.cs.utexas.edu/~EWD/ewd12xx/EWD1223.PDF Mathematical Methods in Program Development]. Springer. 1997. Vol. 158. hlm. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.</ref> Sebagai contoh, diketahui <math>x</math> dan <math>y</math> adalah suatu [[bilangan riil]] yang memenuhi suatu sifat <math>P(x, \, y)</math> (misalnya, <math>P(x, \, y)</math> adalah [[proposisi]] <math>\max (x, \, y) - \min (x, \, y) = \left\| x - y \right\|</math>). Jika <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris (atau dengan kata lain, <math>P(x, \, y)</math> ekuivalen dengan <math>P(y, \, x)</math>), maka untuk membuktikan sifat <math>P(x, \, y)</math> yang akan berlaku untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math> dan <math>y</math>, dapat diasumsikan bahwa <math>x \leq y</math>. Asumsi ini dapat dilakukan, sebab jika kasus <math>x \leq y</math> telah terbukti, kasus lainnya dapat diselesaikan dengan menukar label <math>x</math> dan <math>y</math>. Oleh karena <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris, maka terbukti bahwa sifat <math>P(x, \, y)</math> berlaku untuk setiap kasus.

	Di sisi lain, jika tidak terdapat sifat simetri (atau bentuk ekuivalen lainnya), maka penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" tidak dibenarkan dan dapat mengarah kepada [[pembuktian menggunakan contoh]] – suatu [[kesesatan formal\|kesesatan logika]] dalam membuktikan sebuah klaim dengan membuktikan suatu contoh yang tidak representatif.		Di sisi lain, jika tidak terdapat sifat simetri (atau bentuk ekuivalen lainnya), maka penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" tidak dibenarkan dan dapat mengarah kepada [[pembuktian menggunakan contoh]] – suatu [[kesesatan formal\|kesesatan logika]] dalam membuktikan sebuah klaim dengan membuktikan suatu contoh yang tidak representatif.<ref>[https://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/AcyclicInequalityInThreeVariables.shtml An Acyclic Inequality in Three Variables]. ''www.cut-the-knot.org''.</ref>

	== Contoh ==		== Contoh ==

	Perhatikan [[teorema]] berikut (yang merupakan contoh penerapan [[prinsip rumah burung]]) :		Perhatikan [[teorema]] berikut (yang merupakan contoh penerapan [[prinsip rumah burung]]) :


	dengan bukti sebagai berikut:		dengan bukti sebagai berikut:


	Argumen di atas termasuk valid, sebab alasan yang sama persis dapat diterapkan jika digunakan asumsi alternatif (yaitu, objek pertama dicat biru), atau bisa juga penggunaan kata "merah" dan "biru" ditukar dalam kalimat pembuktiannya. Sehingga, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" termasuk valid dalam kasus ini.		Argumen di atas termasuk valid, sebab alasan yang sama persis dapat diterapkan jika digunakan asumsi alternatif (yaitu, objek pertama dicat biru), atau bisa juga penggunaan kata "merah" dan "biru" ditukar dalam kalimat pembuktiannya. Sehingga, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" termasuk valid dalam kasus ini.
Baris 18:		Baris 15:
	* [[Up to]] (belum tahu terjemahannya)		* [[Up to]] (belum tahu terjemahannya)
	* [[Glosarium Matematika]]		* [[Glosarium Matematika]]

	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	* [http://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/papers/wlog.pdf "Without Loss of Generality"] (tanpa mengurangi keumuman) karya John Harrison - Diskusi mengenai proses memformalkan argumen yang menggunakan "tanpa mengurangi keumuman" pada ''automated theorem prover'' (pembukti teorema otomatis).		* [http://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/papers/wlog.pdf "Without Loss of Generality"] (tanpa mengurangi keumuman) karya John Harrison - Diskusi mengenai proses memformalkan argumen yang menggunakan "tanpa mengurangi keumuman" pada ''automated theorem prover'' (pembukti teorema otomatis).

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tanpa+mengurangi+keumuman&oldid=29457573 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29457573 (2026-07-14T11:25:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tanpa+mengurangi+keumuman&oldid=29457573 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29457573 (2026-07-14T11:25:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29457573; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:32:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29457573; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''''Tanpa mengurangi keumuman''''' (, sering kali [[Singkatan|disingkat]] '''WLOG''' atau '''WOLOG''') adalah kalimat yang cukup sering digunakan dalam [[matematika]]. Istilah tersebut digunakan untuk menyatakan bahwa asumsi yang digunakan telah dipilih secara sembarang (sehingga [[premis]]nya menjadi sebuah kasus khusus yang lebih mudah diselesaikan), tetapi hal tersebut tidak mengubah validitas [[Pembuktian matematika|pembuktiannya]] secara keseluruhan. Jika terdapat kasus lain, maka pengerjaannya kurang lebih dapat ditangani dengan cara serupa seperti apa yang telah dipaparkan sebelumnya. Akibatnya, setelah suatu kasus terbukti kebenarannya, maka sangat mudah untuk mengadaptasinya untuk membuktikan kesimpulan di semua kasus lainnya.

Dalam banyak kasus, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" dimungkinkan akibat adanya suatu [[simetri]]. Sebagai contoh, diketahui <math>x</math> dan <math>y</math> adalah suatu [[bilangan riil]] yang memenuhi suatu sifat <math>P(x, \, y)</math> (misalnya, <math>P(x, \, y)</math> adalah [[proposisi]] <math>\max (x, \, y) - \min (x, \, y) = \left| x - y \right|</math>). Jika <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris (atau dengan kata lain, <math>P(x, \, y)</math> ekuivalen dengan <math>P(y, \, x)</math>), maka untuk membuktikan sifat <math>P(x, \, y)</math> yang akan berlaku untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math> dan <math>y</math>, dapat diasumsikan bahwa <math>x \leq y</math>. Asumsi ini dapat dilakukan, sebab jika kasus <math>x \leq y</math> telah terbukti, kasus lainnya dapat diselesaikan dengan menukar label <math>x</math> dan <math>y</math>. Oleh karena <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris, maka terbukti bahwa sifat <math>P(x, \, y)</math> berlaku untuk setiap kasus.

Di sisi lain, jika tidak terdapat sifat simetri (atau bentuk ekuivalen lainnya), maka penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" tidak dibenarkan dan dapat mengarah kepada [[pembuktian menggunakan contoh]] – suatu [[kesesatan formal|kesesatan logika]] dalam membuktikan sebuah klaim dengan membuktikan suatu contoh yang tidak representatif.

== Contoh ==

Perhatikan [[teorema]] berikut (yang merupakan contoh penerapan [[prinsip rumah burung]]) :

dengan bukti sebagai berikut:

Argumen di atas termasuk valid, sebab alasan yang sama persis dapat diterapkan jika digunakan asumsi alternatif (yaitu, objek pertama dicat biru), atau bisa juga penggunaan kata "merah" dan "biru" ditukar dalam kalimat pembuktiannya. Sehingga, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" termasuk valid dalam kasus ini.

== Lihat juga ==
* [[Up to]] (belum tahu terjemahannya)
* [[Glosarium Matematika]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==
*
* [http://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/papers/wlog.pdf "Without Loss of Generality"] (tanpa mengurangi keumuman) karya John Harrison - Diskusi mengenai proses memformalkan argumen yang menggunakan "tanpa mengurangi keumuman" pada ''automated theorem prover'' (pembukti teorema otomatis).

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tanpa+mengurangi+keumuman&oldid=29457573 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29457573 (2026-07-14T11:25:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Tanpa mengurangi keumuman - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29457573; atribusi sumber disertakan.