Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:58:09Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587257; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:19:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587257; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori bilangan]], '''teorema Euclid''' menyatakan bahwa terdapat [[Himpunan takhingga|takhingga]] banyaknya [[bilangan prima]]. Pernyataan tersebut pertama kali dibuktikan oleh [[Euclid]] dalam karya miliknya, ''[[Elemen Euklides|Elements]]''. Terdapat setidaknya 200 bukti dari teorema ini.

== Bukti ==
=== Bukti Euclid ===
Euclid memberikan bukti yang diterbitkan dalam karya ''[[Elemen Euklides|Elements]]'' miliknya (Buku IX, Proposisi 20), yang akan [[parafrasa|diparafrase]] dalam artikel ini.

Pada karya orisinalnya, Euclid menulis sembarang himpunan berhingga bilangan prima sebagai <math>A</math>, <math>B</math>, <math>\Gamma</math>

==== Variasi ====
Terdapat beberapa variasi dari bukti Euclid, salah satunya ialah sebagai berikut:

=== Bukti Euler ===
Bukti dari matematikawan [[Swiss]] [[Leonhard Euler]] mengandalkan [[teorema dasar aritmetika]], yaitu setiap [[bilangan asli]] selain 1 memiliki [[faktorisasi prima]] yang bersifat tunggal.

\dfrac{1}{1 - \tfrac{1}{p}} = \prod_{p \; \text{prima}} \dfrac{p}{p - 1} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \ldots}{1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 16 \cdot 18 \cdot 22 \cdot \ldots}</math>

Dengan menggunakan rumus [[deret geometrik]] beserta sifat distributif, maka
<math display="block">\begin{align}
\prod_{p \; \text{prima}} \dfrac{1}{1 - \tfrac{1}{p}} &= \prod_{p \; \text{prima}} \left( 1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \dfrac{1}{p^3} + \dfrac{1}{p^4} + \ldots \right) \\
&= \left( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} + \ldots \right) \; \times \\
&\phantom{=,} \left( 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{3^4} + \ldots \right) \; \times \\
&\phantom{=,} \left( 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \dfrac{1}{5^4} + \ldots \right) \; \times \\
&\phantom{=,} \left( 1 + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \dfrac{1}{7^3} + \dfrac{1}{7^4} + \ldots \right) \; \times \; \ldots \\
&= 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \ldots \\
&= \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{1}{n}
\end{align}</math>

Saat menjabarkan darab dari [[deret (matematika)|deret takhingga]] pada baris kedua, hasil penjabarannya ialah faktorisasi prima dari <math>\tfrac{1}{n}</math>. Berdasarkan [[teorema dasar aritmetika]], maka setiap bilangan asli <math>n</math> selain 1 akan memiliki faktorisasi prima yang bersifat tunggal. Akibatnya, setiap <math>\tfrac{1}{n}</math> akan muncul tepat satu kali, sehingga dapat disimpulkan bahwa
<math display="block">\prod_{p \; \text{prima}} \dfrac{1}{1 - \tfrac{1}{p}} = \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{1}{n}</math>
yang dikenal sebagai rumus [[darab Euler]] [[Bukti rumus darab Euler untuk fungsi zeta Riemann|untuk fungsi zeta Riemann]].

Andaikan hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan prima, maka hasil [[darab]] pada [[Ruas dari suatu persamaan|ruas kiri]] memiliki nilai yang berhingga. Akan tetapi, [[Deret harmonik (matematika)#Kedivergenan|telah dibuktikan sebelumnya]] bahwa [[deret (matematika)|deret]] pada [[Ruas dari suatu persamaan|ruas kanan]] bersifat [[deret divergen|divergen]]. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal paragraf inibahwa hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan primatidaklah benar, sehingga dapat disimpulkan bahwa banyaknya bilangan prima adalah takhingga.}}

= \prod_{n \, = \, 2}^{\infty} \dfrac{n^2}{n^2 - 1} = \dfrac{4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36 \cdot \ldots}{3 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 24 \cdot 35 \cdot \ldots}</math>

[[deret konvergen|konvergen]] ke bilangan 2, maka terdapat lebih banyak bilangan prima daripada [[bilangan persegi]]. Dengan kata lain, untuk bilangan asli <math>N</math> yang cukup besar, terdapat lebih banyak bilangan prima pada [[selang (matematika)|selang]] <math>\left[ 1, \, N \right]</math> daripada banyaknya bilangan persegi pada selang yang sama. }}

Pada paper yang sama, Euler menggunakan persamaan
<math display="block">\prod_{p \; \text{prima}} \dfrac{1}{1 - \tfrac{1}{p}} = \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{1}{n}</math>
untuk membuktikan teorema yang jauh lebih kuat dan belum diketahui sebelum Euler, yaitu deret

<math display="block">\sum_{p \; \text{prima}} \dfrac{1}{p}</math>

bersifat [[Kedivergenan dari jumlah timbal balik bilangan prima|divergen]].

=== Bukti Erdős ===
[[Paul Erdős]] memberikan bukti yang juga bergantung pada [[teorema dasar aritmetika]].

=== Bukti Furstenberg ===

Pada tahun 1955, [[Hillel Furstenberg]] memberikan [[pembuktian melalui kontradiksi]] menggunakan [[topologi umum]].

</math> merupakan [[himpunan hingga]]. Akibatnya, <math>S</math> bukan merupakan [[himpunan tertutup]].
Oleh karena terjadi [[kontradiksi]], maka asumsi bahwa <math>P</math> merupakan himpunan hingga bernilai salah, sehingga <math>P</math> haruslah [[himpunan takhingga]].}}

=== Bukti menggunakan prinsip inklusi–eksklusi ===
Pada tahun 2009, Juan Pablo Pinasco memberikan [[pembuktian melalui kontradiksi]] menggunakan [[prinsip inklusi–eksklusi]].

=== Bukti menggunakan rumus Legendre ===

Pada tahun 2010, Junho Peter Whang menerbitkan [[pembuktian melalui kontradiksi]] menggunakan [[rumus Legendre]].

p^{f(p, \, n)}</math>
dengan
<math display="block">f(p, \, n) = \left\lfloor \dfrac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{p^3} \right\rfloor + \ldots</math>

Perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
f(p, \, n) &\leq \dfrac{n}{p} + \dfrac{n}{p^2} + \dfrac{n}{p^2} + \dfrac{n}{p^3} + \ldots \\
&= \dfrac{n}{p - 1} \\
&\leq n
\end{align}</math>
Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
f(p, \, n) &\leq n \\
p^{f(p, \, n)} &\leq p^{n} \\
\prod_{p \; \text{prima}} p^{f(p, \, n)} &\leq \prod_{p \; \text{prima}} p^{n} \\
n! &\leq \left( \prod_{p \; \text{prima}} p \right)^{n} \\
1 &\leq \dfrac{1}{n!} \left( \prod_{p \; \text{prima}} p \right)^{n}
\end{align}</math>

Jika hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan prima, maka
<math display="block">\lim_{n \, \to \, \infty} \dfrac{1}{n!} \left( \prod_{p \; \text{prima}} p \right)^{n} = \lim_{n \, \to \, \infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0 \qquad \qquad \text{untuk suatu konstanta} \; a > 0</math>
yang menimbulkan kontradiksi dengan pertidaksamaan
<math display="block">\dfrac{1}{n!} \left( \prod_{p \; \text{prima}} p \right)^{n} \geq 1</math>
yang berlaku untuk setiap <math>n \in \mathbb{N}</math>.}}

=== Pembuktian melalui kontruksi ===
Filip Saidak memberikan [[bukti konstruktif|pembuktian melalui konstruksi]], yang tidak menggunakan [[reductio ad absurdum]] maupun [[lema Euclides]] (yaitu, jika bilangan prima <math>p</math> habis membagi <math>ab</math>, maka <math>p</math> habis membagi <math>a</math> atau <math>p</math> habis membagi <math>b</math>).

=== Bukti menggunakan argumen ganjil-genap ===
Romeo Meštrović menggunakan argumen ganjil-genap untuk menunjukkan bahwa jika banyaknya bilangan prima itu berhingga, maka 3 adalah bilangan prima terbesar.

== Pernyataan yang lebih kuat ==
[[Teorema|Teorema-teorema]] pada bagian ini mengakibatkan kebenaran teorema Euclid (beserta hasil-hasil lainnya).

=== Teorema Dirichlet mengenai barisan aritmetika ===

Teorema Dirichlet menyatakan bahwa untuk setiap dua bilangan asli <math>a</math> dan <math>b</math> yang [[koprima (bilangan)|saling prima]], terdapat takhingga banyaknya [[bilangan prima]] dengan bentuk umum <math>a + nb</math>, dengan <math>n</math> adalah suatu bilangan asli. Dengan kata lain, terdapat takhingga banyaknya bilangan prima yang [[Relasi kekongruenan|kongruen]] dengan <math>a</math> [[Aritmetika modular|modulo]] <math>b</math>.

=== Teorema bilangan prima ===

Misalkan <math>\pi (x)</math> menyatakan [[fungsi pencacahan bilangan prima]]yang memberikan banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan <math>x</math>untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math>. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa fungsi <math>\tfrac{x}{\ln (x)}</math> merupakan hampiran yang bagus untuk <math>\pi (x)</math>, dalam artian bahwa [[Limit fungsi|limit]] dari [[hasil bagi]] dari dua [[fungsi (matematika)|fungsi]] <math>\pi (x)</math> dan <math>\tfrac{x}{\ln (x)}</math> saat nilai <math>x</math> meningkat tanpa batas ialah <math>1</math>. Secara simbolis, maka

<math display="block">\lim_{x \, \to \, \infty} \dfrac{\pi (x)}{x / \ln (x)} = 1</math>

Dengan menggunakan [[notasi O besar|notasi asimtotik]], maka hasil ini dapat dinyatakan sebagai

<math display="block">\pi (x) \sim \dfrac{x}{\ln x}</math>

Teorema bilangan prima mengakibatkan kebenaran dari teorema Euclid, sebab <math>\displaystyle \lim_{x \, \to \, \infty} \dfrac{x}{\ln x} = \infty</math>.

=== Teorema Bertrand–Chebyshev ===

Dalam [[teori bilangan]], [[postulat Bertrand]] adalah [[teorema]] yang menyatakan bahwa untuk setiap [[bilangan asli]] <math>n</math>, terdapat setidaknya satu [[bilangan prima]] <math>p</math> sedemikian sehingga
<math display="block">n < p < 2n</math>
Hal ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa <math>\pi (x) - \pi (\tfrac{x}{2}) \geq 1</math> untuk setiap bilangan riil <math>x \geq 2</math>, dengan <math>\pi (x)</math> menyatakan [[fungsi pencacahan bilangan prima]]yaitu banyaknya bilangan prima yang nilainya kurang dari atau sama dengan <math>x</math>.

Pernyataan ini pertama kali [[konjektur|dikonjekturkan]] pada tahun 1845 oleh [[Joseph Bertrand]]. Bertrand sendiri memverifikasi pernyataan tersebut untuk setiap bilangan pada [[selang (matematika)|selang]] <math>\left[ 2, \, 3 \cdot 10^6 \right]</math>. Konjektur Bertrand berhasil [[Bukti postulat Bertrand|dibuktikan]] oleh [[Pafnuty Chebyshev|Chebyshev]] pada 1852 sehingga postulatnya juga dinamai sebagai '''teorema Bertrand–Chebyshev''' atau '''teorema Chebyshev'''.

== Catatan ==

== Referensi ==

== Pranala luar ==
*
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html Euclid's Elements, Buku IX, Prop. 20] (bukti Euclid, pada situs web David Joyce dari [[Universitas Clark]])

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Euclid&oldid=29587257 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29587257 (2026-08-16T07:48:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema Euclid - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587257; atribusi sumber disertakan.