Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:57:22Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.57
Baris 3:		Baris 3:
	<math display="block">a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>		<math display="block">a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>

	Pada tahun 1736, [[Leonhard Euler]] menerbitkan bukti dari [[teorema kecil Fermat]] (yang dikemukakan oleh [[Pierre de Fermat\|Fermat]] tetapi tanpa bukti), yang merupakan [[kasus khusus]] dari teorema Euler ketika <math>n</math> merupakan [[bilangan prima]]. Euler kemudian memberikan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada paper tahun 1763 miliknya, di mana ia membuktikan perumuman untuk kasus <math>n</math> bukan bilangan prima.		Pada tahun 1736, [[Leonhard Euler]] menerbitkan bukti dari [[teorema kecil Fermat]]<ref>Lihat: * Leonhard Euler. [https://books.google.com/books?id=-ssVAAAAYAAJ&pg=RA1-PA141 Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio]. ''Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae''. Vol. 8. hlm. 141–146. * Untuk informasi lebih lanjut mengenai paper ini, termasuk terjemahan bahasa Inggris, lihat: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/54/ The Euler Archive].</ref> (yang dikemukakan oleh [[Pierre de Fermat\|Fermat]] tetapi tanpa bukti), yang merupakan [[kasus khusus]] dari teorema Euler ketika <math>n</math> merupakan [[bilangan prima]]. Euler kemudian memberikan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada paper tahun 1763 miliknya, di mana ia membuktikan perumuman untuk kasus <math>n</math> bukan bilangan prima.<ref>Lihat: * Leonhard Euler. [https://books.google.com/books?id=5uEAAAAAYAAJ&pg=PA74#v=onepage&q&f=false Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata]. ''Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae''. 1763. Vol. 8. hlm. 74–104. Teorema Euler muncul sebagai "Teorema 11" pada halaman 102. Paper ini pertama kali dipresentasikan ke Akademi Berlin pada 8 Juni 1758 dan ke Akademi St. Petersburg pada 15 Oktober 1759. Dalam paper ini, fungsi totient Euler, \varphi(n) , tidak dinamai tetapi disebut sebagai "numerus partium ad N primarum" (banyaknya bagian prima dengan N ; yaitu, banyaknya bilangan asli yang kurang dari N dan relatif prima dengan N ) * Untuk informasi lebih lanjut mengenai makalah ini, lihat: [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E271.html The Euler Archive]. * Untuk ulasan pekerjaan Euler selama bertahun-tahun yang mengarah ke teorema Euler, lihat: Ed Sandifer. [http://people.wcsu.edu/sandifere/History/Preprints/Talks/Rowan%202005%20Euler's%20three%20proofs.pdf Euler's proof of Fermat's little theorem]. 2005.</ref>

	[[Konvers (logika)\|Konvers]] dari teorema Euler juga berlaku: jika berlaku kekongruenan di atas, maka <math>a</math> haruslah relatif prima dengan <math>n</math>.		[[Konvers (logika)\|Konvers]] dari teorema Euler juga berlaku: jika berlaku kekongruenan di atas, maka <math>a</math> haruslah relatif prima dengan <math>n</math>.
Baris 23:		Baris 23:

	=== Teori grup ===		=== Teori grup ===
	Teorema Euler dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep dari [[grup (matematika)\|teori grup]]:		Teorema Euler dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep dari [[grup (matematika)\|teori grup]]:<ref>Ireland & Rosen, corr. 1 to prop 3.3.2</ref>


	=== Bukti langsung ===		=== Bukti langsung ===
	Teorema Euler juga dapat dibuktikan secara langsung:		Teorema Euler juga dapat dibuktikan secara langsung:<ref>G. H. Hardy. [https://archive.org/details/introductiontoth00hard An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition)]. Oxford University Press. 1980. hlm. 63. ISBN 978-0-19-853171-5.</ref><ref>Edmund Landau. ''Elementary Number Theory''. Chelsea. 1966. hlm. 50.</ref>

	&\equiv 1 \cdot \cancel{x_1} \cdot \cancel{x_2} \cdot \cancel{x_3} \cdot \ldots \cdot \cancel{x_{\varphi (n)}} \pmod{n} \\		&\equiv 1 \cdot \cancel{x_1} \cdot \cancel{x_2} \cdot \cancel{x_3} \cdot \ldots \cdot \cancel{x_{\varphi (n)}} \pmod{n} \\
Baris 40:		Baris 39:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari [[bahasa Latin]] Ciceronian Gauss ke dalam [[bahasa Inggris]] dan [[Jerman]]. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari [[timbal balik kuadratik]], penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

	*
	*
	*
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Euler&oldid=27941283 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27941283 (2025-10-08T17:12:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Euler&oldid=27941283 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27941283 (2025-10-08T17:12:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27941283; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:18:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27941283; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori bilangan]], '''teorema Euler''' (dikenal juga sebagai '''teorema Fermat–Euler''' atau '''teorema totien Euler''') menyatakan bahwa jika <math>a</math> dan <math>n</math> merupakan [[bilangan asli]] yang [[koprima (bilangan)|saling prima]], maka <math>a^{\varphi (n)}</math> akan kongruen dengan <math>1</math> dalam [[aritmetika modular|modulo]] <math>n</math>, dengan <math>\varphi(n)</math> menyatakan [[fungsi phi Euler]]. Secara simbolis, maka hal ini dapat dinyatakan sebagai

<math display="block">a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>

Pada tahun 1736, [[Leonhard Euler]] menerbitkan bukti dari [[teorema kecil Fermat]] (yang dikemukakan oleh [[Pierre de Fermat|Fermat]] tetapi tanpa bukti), yang merupakan [[kasus khusus]] dari teorema Euler ketika <math>n</math> merupakan [[bilangan prima]]. Euler kemudian memberikan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada paper tahun 1763 miliknya, di mana ia membuktikan perumuman untuk kasus <math>n</math> bukan bilangan prima.

[[Konvers (logika)|Konvers]] dari teorema Euler juga berlaku: jika berlaku kekongruenan di atas, maka <math>a</math> haruslah relatif prima dengan <math>n</math>.

Teorema Euler dapat diperumum lebih lanjut dengan [[Fungsi Carmichael#Teorema Carmichael|teorema Carmichael]].

Teorema Euler dapat digunakan untuk menyederhanakan nilai pangkat yang besar pada modulo <math>n</math>. Misalnya, untuk mencari digit terakhir dari <math>7^{222}</math> (atau dengan kata lain, mencari nilai dari <math>7^{222}</math> dalam modulo <math>10</math>), perhatikan bahwa nilai <math>\varphi(10) = 4</math>, dan pasangan bilangan 7 dan 10 saling koprima. Berdasarkan teorema Euler, maka didapatkan <math>7^4 \equiv 1 \pmod{10}</math>. Akibatnya,

<math display="block">7^{222} \equiv 7^{4 \times 55 + 2} \equiv (7^4)^{55} \times 7^2 \equiv 1^{55} \times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}</math>

Secara umum, saat menyederhanakan nilai pangkat dari <math>a</math> pada modulo <math>n</math> (dengan <math>a</math> koprima dengan <math>n</math>), maka cukup bekerja pada modulo <math>\varphi(n)</math> dari perpangkatan <math>a</math>:

: jika <math>x \equiv y \pmod{\varphi (n)}</math>, maka <math>a^x \equiv a^y \pmod{n}</math>.

Teorema Euler menjadi dasar [[RSA|kriptosistem RSA]], yang banyak digunakan dalam komunikasi di [[internet]]. Dalam kriptosistem ini, teorema Euler digunakan dengan memilih bilangan <math>n</math> sebagai hasil kali dari dua [[bilangan prima]] besar. Tingkat keamanan dari sistem ini didasarkan pada tingkat kesulitan dari proses [[faktorisasi bilangan bulat|pemfaktoran]] bilangan <math>n</math>.

== Bukti ==
Terdapat beberapa cara untuk membuktikan Teorema Euler, berikut dua diantaranya.

=== Teori grup ===
Teorema Euler dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep dari [[grup (matematika)|teori grup]]:

=== Bukti langsung ===
Teorema Euler juga dapat dibuktikan secara langsung:

&\equiv 1 \cdot \cancel{x_1} \cdot \cancel{x_2} \cdot \cancel{x_3} \cdot \ldots \cdot \cancel{x_{\varphi (n)}} \pmod{n} \\
a^{\varphi (n)} &\equiv 1 \pmod{n}
\end{align}</math>}}

== Lihat pula ==
* [[Bilangan Carmichael]]
* [[Kriteria Euler]]
* [[Teorema kecil Fermat]]
* [[Teorema Wilson]]

== Catatan ==

== Referensi ==
''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari [[bahasa Latin]] Ciceronian Gauss ke dalam [[bahasa Inggris]] dan [[Jerman]]. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari [[timbal balik kuadratik]], penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

*
*
*
*
*

== Pranala luar ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Euler&oldid=27941283 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27941283 (2025-10-08T17:12:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema Euler - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27941283; atribusi sumber disertakan.