Teorema Heine–Borel - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:09:18Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.09
Baris 2:		Baris 2:

	== Sejarah dan Motivasi ==		== Sejarah dan Motivasi ==
	Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real. Inti dari teori ini adalah konsep [[kontinu seragam]] dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap [[fungsi kontinu]] pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam. [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya. Dirichlet menggunakan pembuktian ini pada kuliah tahun 1852 yang ia selenggarakan, yang baru dipublikasikan pada tahun 1904. [[Eduard Heine]], [[Karl Weierstrass]], dan [[Salvatore Pincherle]] kemudian menggunakan teknik serupa. Pada tahun 1895, [[Émile Borel]] adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel. Formulasi yang dia buat dibatasi hanya untuk [[peliput (topologi)\|peliput]] [[himpunan terhitung\|terhitung]]. Pierre Cousin (1895), [[Henri Léon Lebesgue]] (1898), dan [[Arthur Moritz Schoenflies]] (1900) memperumumnya untuk sembarang [[peliput (topologi)\|peliput]].		Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real. Inti dari teori ini adalah konsep [[kontinu seragam]] dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap [[fungsi kontinu]] pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam. [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya.<ref>Manya Raman-Sundström. [https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_august-september-2015_122_7/page/619 A Pedagogical History of Compactness]. ''American Mathematical Monthly''. August–September 2015. Vol. 122 (7). hlm. 619–635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619.</ref> Dirichlet menggunakan pembuktian ini pada kuliah tahun 1852 yang ia selenggarakan, yang baru dipublikasikan pada tahun 1904.<ref>Manya Raman-Sundström. [https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_august-september-2015_122_7/page/619 A Pedagogical History of Compactness]. ''American Mathematical Monthly''. August–September 2015. Vol. 122 (7). hlm. 619–635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619.</ref> [[Eduard Heine]], [[Karl Weierstrass]], dan [[Salvatore Pincherle]] kemudian menggunakan teknik serupa. Pada tahun 1895, [[Émile Borel]] adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel. Formulasi yang dia buat dibatasi hanya untuk [[peliput (topologi)\|peliput]] [[himpunan terhitung\|terhitung]]. Pierre Cousin (1895), [[Henri Léon Lebesgue]] (1898), dan [[Arthur Moritz Schoenflies]] (1900) memperumumnya untuk sembarang [[peliput (topologi)\|peliput]].<ref>Manya Raman Sundström. ''A pedagogical history of compactness''. 2010.</ref>

	== Bukti ==		== Bukti ==
Baris 64:		Baris 64:

	=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang metrik]] ===		=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang metrik]] ===
	Suatu ruang metrik <math>(X, \, d)</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel''' jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas pada <math>X</math> adalah himpunan kompak.		Suatu ruang metrik <math>(X, \, d)</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel''' jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas<ref>Suatu himpunan A pada ruang metrik (X, \, d) dikatakan ''terbatas'' jika A termuat pada suatu bola yang berjari-jari berhingga. Dengan kata lain, terdapat suatu c \in X dan r > 0 sedemikian sehingga A \subseteq \left\{ x \in X \mid d(x, \, c) \leq r \right\}</ref> pada <math>X</math> adalah himpunan kompak.

	Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik [[bilangan rasional]] (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika [[garis bilangan real]] tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.		Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik [[bilangan rasional]] (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika [[garis bilangan real]] tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.
Baris 71:		Baris 71:

	=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang vektor topologis]] ===		=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang vektor topologis]] ===
	Suatu [[ruang vektor topologis]] <math>X</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel''' jika setiap himpunan tertutup dan terbatas pada <math>X</math> adalah himpunan kompak (R. E. Edwards menggunakan istilah ''ruang kompak terbatas''). Tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), tetapi beberapa [[ruang Fréchet]] memilikinya. Misalnya, ruang <math>C^{\infty} (\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^n</math> dan ruang <math>H(\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{C}^n</math>.		Suatu [[ruang vektor topologis]] <math>X</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel''' jika setiap himpunan tertutup dan terbatas<ref>Suatu himpunan H pada ruang vektor topologis X dikatakan ''terbatas'' jika setiap persekitaran S dari vektor nol pada X , terdapat suatu skalar \lambda sedemikian sehingga berlaku H \subseteq \lambda \cdot S</ref> pada <math>X</math> adalah himpunan kompak<ref>Jika topologi dari suatu ruang vektor topologis X dibangkitkan dari suatu metrik d , definisi ini tidak ekuivalen dengan definisi dari sifat Heine-Borel pada X sebagai suatu ruang metrik, sebab konsep dari himpunan terbatas pada X sebagai suatu ruang metrik itu berbeda dengan konsep dari himpunan terbatas pada X sebagai suatu ruang topologis. Sebagai contoh, ruang \mathcal{C}^\infty \left[ 0, \, 1 \right] dari fungsi mulus pada selang \left[ 0, \, 1 \right] yang dilengkapi dengn metrik d(x, \, y) = \sum_{k \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \cdot \dfrac{\displaystyle \max_{t \, \in \, \left[ 0, \, 1 \right]} \left\| x^{(k)}(t) - y^{(k)}(t) \right\|}{1 + \displaystyle \max_{t \, \in \, \left[ 0, \, 1 \right]} \left\| x^{(k)}(t) - y^{(k)}(t) \right\|} (notasi x^{(k)} (t) menyatakan turunan ke- k dari fungsi x \in \mathcal{C}^\infty \left[ 0, \, 1 \right] ) memiliki sifat Heine-Borel sebagai ruang vektor topologis, tetapi sebagai ruang metrik, ruang tersebut tidak memiliki sifat Heine-Borel.</ref> (R. E. Edwards menggunakan istilah ''ruang kompak terbatas''). Tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), tetapi beberapa [[ruang Fréchet]] memilikinya. Misalnya, ruang <math>C^{\infty} (\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^n</math> dan ruang <math>H(\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{C}^n</math>.

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==
Baris 77:		Baris 77:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	* BookOfProofs: [http://www.bookofproofs.org/branches/heine-borel-property-defines-compact-subsets/ Sifat Heine-Borel]
	*
	*
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	*		*
	* [http://mathworld.wolfram.com/Heine-BorelTheorem.html Mathworld "Teorema Heine-Borel"]		* [http://mathworld.wolfram.com/Heine-BorelTheorem.html Mathworld "Teorema Heine-Borel"]
	* [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-analysis-of-the-first-proofs-of-the-heine-borel-theorem-lebesgues-proof "Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"]		* [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-analysis-of-the-first-proofs-of-the-heine-borel-theorem-lebesgues-proof "Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Heine%E2%80%93Borel&oldid=29587258 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29587258 (2026-08-16T07:48:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Heine%E2%80%93Borel&oldid=29587258 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29587258 (2026-08-16T07:48:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587258; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:48:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587258; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[analisis real]], '''teorema Heine–Borel''' menyatakan bahwa untuk sembarang [[bilangan asli]] <math>n</math>, suatu [[himpunan bagian]] <math>H</math> dari [[ruang Euklides]] <math>\mathbb{R}^n</math> adalah [[ruang kompak|himpunan kompak]] [[jika dan hanya jika]] <math>H</math> merupakan [[himpunan tertutup]] dan [[himpunan terbatas|terbatas]]. Teorema ini dinamai dari [[Eduard Heine]] and [[Émile Borel]].

== Sejarah dan Motivasi ==
Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real. Inti dari teori ini adalah konsep [[kontinu seragam]] dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap [[fungsi kontinu]] pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam. [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya. Dirichlet menggunakan pembuktian ini pada kuliah tahun 1852 yang ia selenggarakan, yang baru dipublikasikan pada tahun 1904. [[Eduard Heine]], [[Karl Weierstrass]], dan [[Salvatore Pincherle]] kemudian menggunakan teknik serupa. Pada tahun 1895, [[Émile Borel]] adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel. Formulasi yang dia buat dibatasi hanya untuk [[peliput (topologi)|peliput]] [[himpunan terhitung|terhitung]]. Pierre Cousin (1895), [[Henri Léon Lebesgue]] (1898), dan [[Arthur Moritz Schoenflies]] (1900) memperumumnya untuk sembarang [[peliput (topologi)|peliput]].

== Bukti ==
=== Implikasi "hanya jika" ===
Diambil sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math>. Diketahui <math>H \subset \mathbb{R}^n</math> adalah [[ruang kompak|himpunan kompak]]. Dengan kata lain, setiap peliput [[Himpunan terbuka|buka]] dari <math>H</math> memiliki subliput berhingga. Misalkan <math>B_r (a) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \mid d(x, \, a) < r \right\}</math> menyatakan bola berjari-jari <math>r</math> yang berpusat pada titik <math>a \in \mathbb{R}^n</math>.

==== Sifat keterbatasan ====
Akan dibuktikan bahwa <math>H</math> bersifat terbatas. Perhatikan bahwa <math>B_1 (a)</math> merupakan [[himpunan terbuka]] pada <math>\mathbb{R}^n</math>, dan
<math display="block">H \subset \bigcup_{a \, \in \, H} B_1 (a)</math>
Akibatnya, <math>\bigcup_{a \, \in \, H} B_1 (a)</math> adalah peliput buka dari <math>H</math>. Oleh karena <math>H</math> adalah [[ruang kompak|himpunan kompak]], maka terdapat suatu titik <math>a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_k \in H</math> sedemikian sehingga
<math display="block">H \subset \bigcup_{i \, = \, 1}^k B_1 (a_i) = B_1 (a_1) \cup B_1 (a_2) \cup B_1 (a_3) \cup \ldots \cup B_1 (a_k)</math>
Misalkan <math>M = \max_{i \, \neq \, j} \left\{ d(a_i, \, a_j) \right\}</math> dengan <math>i, \, j \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, k \right\}</math>. Diambil sembarang titik <math>x, \, y \in H</math>. Jika <math>P_x</math> menyatakan titik pusat dari bola yang memuat titik <math>x</math>, maka menurut [[pertidaksamaan segitiga]] :
<math display="block">d(x, \, y) \leq d(x, \, P_x) + d(P_x, \, P_y) + d(P_y, \, y) \leq 1 + M + 1</math>
Akibatnya, diameter dari <math>H</math> terbatas oleh <math>M + 2</math>

==== Sifat ketertutupan ====
Akan dibuktikan bahwa <math>H</math> bersifat tertutup melalui kontradiksi. Andaikan <math>H</math> merupakan himpunan kompak, tetapi bukan merupakan himpunan tertutup, maka terdapat suatu [[titik limit]] <math>a \not\in H</math>. Didefinisikan
<math display="block">C(r) = \left\{ x \in H \mid d(x, \, a) > r \right\}</math>
dengan <math>r > 0</math>. Perhatikan bahwa <math>C(r)</math> merupakan himpunan terbuka pada <math>H</math>, untuk sembarang <math>r > 0</math>, dan
<math display="block">\bigcup_{r \, > \, 0} C(r) = H</math>
Akibatnya, <math>\bigcup_{r \, > \, 0} C(r)</math> merupakan peliput buka dari himpunan <math>H</math>. Sekarang perhatikan sembarang subliput hingga dari peliput tersebut, yaitu
<math display="block">\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k) = C(r_1) \cup C(r_2) \cup C(r_3) \cup \ldots \cup C(r_n)</math>
[[Tanpa mengurangi keumuman]], diasumsikan bahwa <math>r_1 \leq r_2 \leq r_3 \leq \ldots \leq r_n</math>. Berdasarkan definisi dari <math>C(r)</math>, maka himpunan di atas dapat ditulis sebagai
<math display="block">\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k) = \left\{ x \in H \mid d(x, \, a) > r_n \geq r_{n - 1} \geq \ldots \geq r_2 \geq r_1 \right\} = C(r_1)</math>
Perhatikan bahwa
* di satu sisi, himpunan <math>\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k)</math> bersifat [[Himpunan saling lepas|saling lepas]] dengan suatu [[Persekitaran (matematika)|persekitaran]] dari titik <math>a</math>, yaitu <math>B_{\varepsilon} (a)</math>, dengan <math>\varepsilon = \dfrac{1}{3} \cdot \min \left\{ r_1, \, r_2, \, r_3, \, \ldots, \, r_n \right\}</math>. Dengan kata lain, <math display="block">\left( \bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k) \right) \cap \left( B_{\varepsilon} (a) \right) = \emptyset</math>
* di sisi lain, irisan dari himpunan <math>\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k)</math> dan himpunan <math>B_{\varepsilon} (a)</math> tidaklah kosong, sebab diketahui di awal bahwa titik <math>a</math> merupakan [[titik limit]].
Hal ini jelas mustahil terjadi, sebab suatu himpunan tidak mungkin kosong sekaligus tidak kosong. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan <math>H</math> bukan merupakan himpunan tertutup) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa <math>H</math> merupakan himpunan tertutup apabila <math>H</math> adalah himpunan kompak.

Dengan argumentasi serupa, maka dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan bagian kompak <math>S</math> dari suatu [[ruang Hausdorff|ruang topologis Hausdorff]] <math>X</math> bersifat tertutup pada <math>X</math>.

=== Implikasi "jika" ===
Diambil sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math> dan sembarang [[bilangan riil]] <math>k > 0</math>. Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math> merupakan himpunan [[ruang kompak|himpunan kompak]] melalui kontradiksi.

Andaikan <math>K</math> bukan merupakan himpunan kompak, maka terdapat suatu peliput buka
<math display="block">C = \bigcup_{i \, = \, 1}^{\infty} C_i</math>
dari <math>K</math> yang tidak memiliki subliput hingga. Himpunan <math>K</math> kemudian dipartisi menjadi <math>2^n</math> subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan <math>K</math>. Jika semua <math>2^n</math> subhimpunan dari himpunan <math>K</math> masing-masing dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math>, maka himpunan <math>K</math> juga dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math> (yaitu dengan menggabungkan semua subliput hingga dari masing-masing <math>2^n</math> subhimpunan yang telah dipartisi). Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi berdasarkan asumsi di awal (bahwasanya himpunan <math>K</math> bukan merupakan himpunan kompak). Akibatnya, setidaknya salah satu dari <math>2^n</math> subhimpunan dari himpunan <math>K</math> tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math>. Misalkan subhimpunan ini dinamai <math>K_1</math>.

Dengan proses serupa, himpunan <math>K_1</math> kemudian dipartisi menjadi <math>2^n</math> subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan <math>K_1</math>. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, hal ini mengakibatkan setidaknya salah satu dari <math>2^n</math> subhimpunan dari himpunan <math>K_1</math> tidak dapat diliput oleh suatu subliput berhingga dari <math>C</math>. Misalkan subhimpunan ini dinamai <math>K_2</math>. Proses ini terus dilanjutkan, sehingga terbentuk barisan
<math display="block">K \supset K_1 \supset K_2 \supset \ldots \supset K_p \supset \ldots</math>
Perhatikan bahwa ukuran diameter dari himpunan <math>K_p</math> ialah <math>(2k) \cdot 2^{-p}</math>, yang akan menuju 0 saat nilai <math>p</math> menuju tak hingga. Misalkan didefinisikan suatu barisan <math>\langle x_m \rangle</math> dengan sifat <math>x_m \in K_m</math>, untuk setiap <math>m \in \mathbb{N}</math>. Barisan ini adalah [[barisan Cauchy]], sehingga barisan ini akan konvergen ke suatu nilai limit <math>L</math>. Oleh karena <math>x_m \in K_p</math> untuk setiap <math>m \geq p</math> dan setiap himpunan <math>K_p</math> merupakan [[himpunan tertutup]], maka diperoleh <math>L \in K_p</math> untuk setiap <math>p \in \mathbb{N}</math>.

Berdasarkan definisi dari peliput suatu himpunan, maka berlaku <math>K \subseteq C</math>. Oleh karena <math>L \in K_p</math>, maka diperoleh <math>L \in C</math>. Dengan kata lain, himpunan <math>C = \bigcup_{i \, = \, 1}^{\infty} C_i</math> meliput titik <math>L</math>. Akibatnya, terdapat suatu <math>m \in \mathbb{N}</math> sedemikian sehingga <math>L \in \bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math>. Oleh karena <math>\bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math> adalah himpunan terbuka, maka terdapat suatu <math>\varepsilon > 0</math> sedemikian sehingga <math>B_{\varepsilon} (L) \subseteq \bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math>. Jika dipilih <math>p > \, ^2 \! \log \left( \dfrac{2k}{\varepsilon} \right)</math>, maka <math>(2k) \cdot 2^{-p} < \varepsilon</math>. Akibatnya, diperoleh
<math display="block">K_p \subset B_{\varepsilon} (L) \subset \bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t} \subset C</math>
Berdasarkan hasil di atas, himpunan <math>K_p</math> memiliki setidaknya satu peliput hingga, yaitu <math>\bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math>. Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab telah diperoleh sebelumnya bahwa setiap himpunan <math>K_p</math> tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math>. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan <math>K</math> bukan merupakan himpunan kompak) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math> merupakan himpunan [[ruang kompak|himpunan kompak]].

Diketahui bahwa himpunan <math>H</math> adalah [[himpunan tertutup]] dan [[himpunan terbatas|terbatas]]. Oleh karena himpunan <math>H</math> adalah himpunan terbatas, maka terdapat suatu <math>k > 0</math> sedemikian sehingga <math>H \subseteq \left[ -k, \, k \right]^n</math>. Misalkan <math>\mathcal{C}_H</math> adalah suatu peliput buka dari himpunan <math>H</math>. Oleh karena himpunan <math>H</math> adalah himpunan tertutup, maka <math>H^{\complement}</math> adalah himpunan tertutup, dan himpunan
<math display="block">\mathcal{C}_K = \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math>
adalah peliput buka dari himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math>, sebab untuk sembarang elemen <math>x \in K</math>
# Jika <math>x \in H</math>, maka <math>x \in \mathcal{C}_H</math>, sehingga diperoleh <math>x \in \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math> (sebab <math>H \subseteq \mathcal{C}_H \subset \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math>)
# Jika <math>x \not\in H</math>, maka <math>x \in H^{\complement}</math>, sehingga diperoleh <math>x \in \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math> (sebab <math>H^{\complement} \subset \mathcal{C}_H \cup H^c</math>)

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math> merupakan himpunan kompak. Akibatnya, peliput buka <math>\mathcal{C}_K</math> memiliki suatu subliput hingga <math>\mathcal{S}_K</math> yang sekaligus meliput himpunan <math>H</math>.
<math display="block">H \subseteq K \subseteq \mathcal{S}_K \subset \mathcal{C}_K</math>
Perhatikan bahwa setiap anggota pada himpunan <math>H^{\complement}</math> bukanlah anggota dari himpunan <math>H</math>. Akibatnya, himpunan <math>H</math> dapat diliput oleh
<math display="block">\mathcal{S}_H = \mathcal{S}_K \setminus H^{\complement}</math>
yang merupakan subliput hingga dari <math>\mathcal{C}_H</math>. Oleh karena <math>\mathcal{C}_H</math> adalah sembarang peliput buka dari himpunan <math>H</math>, maka terbukti bahwa himpunan <math>H</math> merupakan himpunan kompak.

== Sifat Heine–Borel ==
Teorema Heine-Borel tidak berlaku pada [[ruang vektor topologis]] dan [[ruang metrik]] secara umum, sehingga perlu adanya istilah khusus untuk menggambarkan ruang-ruang yang memenuhi proposisi ini. Ruang-ruang ini disebut memiliki '''sifat Heine-Borel'''.

=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang metrik]] ===
Suatu ruang metrik <math>(X, \, d)</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel''' jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas pada <math>X</math> adalah himpunan kompak.

Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik [[bilangan rasional]] (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika [[garis bilangan real]] tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.

Suatu ruang metrik <math>(X, \, d)</math> memiliki metrik Heine-Borel (yang identik lokal Cauchy dengan <math>d</math>) jika dan hanya jika ruang tersebut [[Ruang metrik lengkap|lengkap]], [[ruang kompak σ|kompak <math>\sigma</math>]], dan [[ruang kompak lokal|kompak lokal]].

=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang vektor topologis]] ===
Suatu [[ruang vektor topologis]] <math>X</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel''' jika setiap himpunan tertutup dan terbatas pada <math>X</math> adalah himpunan kompak (R. E. Edwards menggunakan istilah ''ruang kompak terbatas''). Tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), tetapi beberapa [[ruang Fréchet]] memilikinya. Misalnya, ruang <math>C^{\infty} (\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^n</math> dan ruang <math>H(\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{C}^n</math>.

== Lihat juga ==
* [[Teorema Bolzano–Weierstrass]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
* BookOfProofs: [http://www.bookofproofs.org/branches/heine-borel-property-defines-compact-subsets/ Sifat Heine-Borel]
*
*
*
*

== Pranala luar ==
*
*
* [http://mathworld.wolfram.com/Heine-BorelTheorem.html Mathworld "Teorema Heine-Borel"]
* [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-analysis-of-the-first-proofs-of-the-heine-borel-theorem-lebesgues-proof "Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Heine%E2%80%93Borel&oldid=29587258 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29587258 (2026-08-16T07:48:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.