Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:04:49Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.04
Baris 5:		Baris 5:

	Teorema Lagrange dapat dinyatakan ulang menggunakan [[aritmetika modular]] sebagai berikut:		Teorema Lagrange dapat dinyatakan ulang menggunakan [[aritmetika modular]] sebagai berikut:


	Jika <math>p</math> [[bilangan komposit\|bukan bilangan prima]], maka banyaknya penyelesaian dari kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> mungkin saja lebih dari <math>\operatorname{deg} (f)</math>. Misalnya, kekongruenan polinomial <math>x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{8}</math> memiliki 4 penyelesaian dalam <math>\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}</math> (yaitu <math>1</math>, <math>3</math>, <math>5</math>, dan <math>7</math>).		Jika <math>p</math> [[bilangan komposit\|bukan bilangan prima]], maka banyaknya penyelesaian dari kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> mungkin saja lebih dari <math>\operatorname{deg} (f)</math>. Misalnya, kekongruenan polinomial <math>x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{8}</math> memiliki 4 penyelesaian dalam <math>\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}</math> (yaitu <math>1</math>, <math>3</math>, <math>5</math>, dan <math>7</math>).
Baris 12:		Baris 11:

	== Bukti ==		== Bukti ==

	Diambil sembarang bilangan prima <math>p</math> dan misalkan <math>f \in \mathbb{Z}[x]</math> adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Didefinisikan <math>g \in (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})[x]</math> sebagai polinomial yang kongruen dengan <math>f(x)</math>, tetapi dengan koefisien bilangan bulat [[operasi modulus\|modulo]] <math>p</math>. Untuk setiap bilangan bulat <math>x</math>, perhatikan bahwa		Diambil sembarang bilangan prima <math>p</math> dan misalkan <math>f \in \mathbb{Z}[x]</math> adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Didefinisikan <math>g \in (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})[x]</math> sebagai polinomial yang kongruen dengan <math>f(x)</math>, tetapi dengan koefisien bilangan bulat [[operasi modulus\|modulo]] <math>p</math>. Untuk setiap bilangan bulat <math>x</math>, perhatikan bahwa

Baris 41:		Baris 39:
	f(x) &\equiv (x - a) \cdot h(x) &&\pmod{p}		f(x) &\equiv (x - a) \cdot h(x) &&\pmod{p}
	\end{align}</math> Dengan kata lain, mencari penyelesaian dari kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> sama saja dengan mencari penyelesaian dari kekongruenan <math>(x - a) \cdot h(x) \equiv 0 \pmod{p}</math>. Diketahui bahwa <math>p</math> merupakan bilangan prima, maka berdasarkan [[lema Euclides\|lema Euclid]], berlaku <math>x - a \equiv 0 \pmod{p}</math> atau <math>h(x) \equiv 0 \pmod{p}</math>. Berdasarkan hipotesis induktif, maka <math>h(x)</math> memiliki paling banyak <math>k - 1</math> penyelesaian. Akibatnya, <math>f(x)</math> memiliki paling banyak <math>(k - 1) + 1</math> penyelesaian dalam himpunan <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math>.		\end{align}</math> Dengan kata lain, mencari penyelesaian dari kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> sama saja dengan mencari penyelesaian dari kekongruenan <math>(x - a) \cdot h(x) \equiv 0 \pmod{p}</math>. Diketahui bahwa <math>p</math> merupakan bilangan prima, maka berdasarkan [[lema Euclides\|lema Euclid]], berlaku <math>x - a \equiv 0 \pmod{p}</math> atau <math>h(x) \equiv 0 \pmod{p}</math>. Berdasarkan hipotesis induktif, maka <math>h(x)</math> memiliki paling banyak <math>k - 1</math> penyelesaian. Akibatnya, <math>f(x)</math> memiliki paling banyak <math>(k - 1) + 1</math> penyelesaian dalam himpunan <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math>.

	~~== Referensi ==~~

	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Lagrange+%28teori+bilangan%29&oldid=28688688 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28688688 (2025-12-11T14:13:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Lagrange+%28teori+bilangan%29&oldid=28688688 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28688688 (2025-12-11T14:13:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28688688; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:37:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28688688; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori bilangan]], '''teorema Lagrange''' adalah teorema yang menyatakan seberapa sering suatu [[polinomial]] atas [[bilangan bulat]] menghasilkan kelipatan dari suatu konstanta [[bilangan prima|prima]] <math>p</math>. Lebih tepatnya, teorema ini menyatakan bahwa untuk setiap polinomial bilangan bulat <math>f \in \mathbb{Z}[x]</math>, maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut:
* setiap [[koefisien]] dari <math>f</math> merupakan [[pembagi#Definisi|kelipatan dari]] <math>p</math>, atau
* terdapat paling banyak <math>\operatorname{deg} (f)</math> nilai <math>x</math> pada himpunan <math>\left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, p \right\}</math> sedemikian sehingga <math>f(x)</math> merupakan kelipatan <math>p</math>,
dengan <math>\operatorname{deg} (f)</math> menyatakan [[derajat polinomial]] <math>f</math>.

Teorema Lagrange dapat dinyatakan ulang menggunakan [[aritmetika modular]] sebagai berikut:

Jika <math>p</math> [[bilangan komposit|bukan bilangan prima]], maka banyaknya penyelesaian dari kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> mungkin saja lebih dari <math>\operatorname{deg} (f)</math>. Misalnya, kekongruenan polinomial <math>x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{8}</math> memiliki 4 penyelesaian dalam <math>\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}</math> (yaitu <math>1</math>, <math>3</math>, <math>5</math>, dan <math>7</math>).

Teorema ini dinamai berdasarkan [[Joseph-Louis de Lagrange]].

== Bukti ==

Diambil sembarang bilangan prima <math>p</math> dan misalkan <math>f \in \mathbb{Z}[x]</math> adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Didefinisikan <math>g \in (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})[x]</math> sebagai polinomial yang kongruen dengan <math>f(x)</math>, tetapi dengan koefisien bilangan bulat [[operasi modulus|modulo]] <math>p</math>. Untuk setiap bilangan bulat <math>x</math>, perhatikan bahwa

<math display="block">f(x) \equiv 0 \pmod{p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad g(x) \equiv 0 \pmod{p}</math>

sehingga berdasarkan [[aritmetika modular#sifat dasar|sifat dasar]] dari aritmetika modular, maka berlaku

<math display="block">f(x) \equiv 0 \pmod{p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad f(x \bmod{p}) \equiv 0 \pmod{p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad g(x \bmod{p}) \equiv 0 \pmod{p}</math>

Akibatnya, kedua versi dari teorema Lagrange (yaitu atas himpunan <math>\mathbb{Z}</math> dan atas himpunan <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math>) [[kesetaraan logika|setara]]. Akan dibuktikan versi kedua dari teorema Lagrange menggunakan [[induksi matematika]] beserta [[pembuktian kasus demi kasus]].
* Diambil sembarang polinomial linier <math>c_0 + c_1 x</math>, dengan <math>c_0</math>, <math>c_1 \in \mathbb{Z}</math>. Oleh karena <math>p</math> adalah bilangan prima, maka akan ditinjau dua kasus berikut:
# Jika <math>\operatorname{FPB} (c_1, \, p) = p</math>, maka kekongruenan linier <math>c_0 + c_1 x \equiv 0 \pmod{p}</math> tidak memiliki penyelesaian. Akibatnya, [[trivialiti (matematika)|jelas bahwa]] pernyataan teorema Lagrange benar.
# Jika <math>\operatorname{FPB} (c_1, \, p) = 1</math>, maka berdasarkan [[identitas Bézout]], kekongruenan linier <math>c_0 + c_1 x \equiv 0 \pmod{p}</math> memiliki penyelesaian tunggal. Akibatnya, pernyataan teorema Lagrange juga benar.
* Asumsikan bahwa teorema Lagrange benar untuk setiap polinomial berderajat <math>k - 1</math>.
* Diambil sembarang polinomial berderajat <math>k</math>, yaitu <math display="block">f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_k x^k = \sum_{i \, = \, 0}^{k} c_i x^i</math> dengan <math>c_i \in \mathbb{Z}</math> untuk setiap <math>i \in \left\{ 0, \, 1, \, 2, \, \ldots, \, k \right\}</math>. Terdapat dua kasus yang perlu ditinjau:
# Jika kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> tidak memiliki penyelesaian, maka jelas bahwa pernyataan teorema Lagrange benar.
# Jika kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> memiliki setidaknya satu penyelesaian (sebut saja <math>a</math>, yang berarti bahwa <math>f(a) \equiv 0 \pmod{p}</math>), maka perhatikan bahwa <math display="block">\begin{align}
f(x) - f(a) &= \sum_{i \, = \, 0}^{k} c_i x^i - \sum_{i \, = \, 0}^{k} c_i a^i \\
&= \sum_{i \, = \, 0}^{k} (c_i x^i - c_i a^i) \\
&= \sum_{i \, = \, 0}^{k} c_i (x^i - a^i) \\
&= \sum_{i \, = \, 1}^{k} c_i (x^i - a^i) \\
&= \sum_{i \, = \, 1}^{k} c_i (x - a) (x^{i - 1} + a x^{i - 2} + a^2 x^{i - 3} + \ldots + a^{i - 2} x + a^{i - 1}) \\
&= (x - a) \cdot \sum_{i \, = \, 1}^{k} c_i (x^{i - 1} + a x^{i - 2} + a^2 x^{i - 3} + \ldots + a^{i - 2} x + a^{i - 1}) \\
&= (x - a) \cdot h(x)
\end{align}</math> Jelas bahwa <math>\operatorname{deg} (h) = k - 1</math>. Oleh karena <math>f(a) \equiv 0 \pmod{p}</math>, maka <math display="block">\begin{align}
f(x) - f(a) &= (x - a) \cdot h(x) \\
f(x) - f(a) &\equiv (x - a) \cdot h(x) &&\pmod{p} \\
f(x) &\equiv (x - a) \cdot h(x) &&\pmod{p}
\end{align}</math> Dengan kata lain, mencari penyelesaian dari kekongruenan <math>f(x) \equiv 0 \pmod{p}</math> sama saja dengan mencari penyelesaian dari kekongruenan <math>(x - a) \cdot h(x) \equiv 0 \pmod{p}</math>. Diketahui bahwa <math>p</math> merupakan bilangan prima, maka berdasarkan [[lema Euclides|lema Euclid]], berlaku <math>x - a \equiv 0 \pmod{p}</math> atau <math>h(x) \equiv 0 \pmod{p}</math>. Berdasarkan hipotesis induktif, maka <math>h(x)</math> memiliki paling banyak <math>k - 1</math> penyelesaian. Akibatnya, <math>f(x)</math> memiliki paling banyak <math>(k - 1) + 1</math> penyelesaian dalam himpunan <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math>.

== Referensi ==

*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Lagrange+%28teori+bilangan%29&oldid=28688688 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28688688 (2025-12-11T14:13:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema Lagrange (teori bilangan) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28688688; atribusi sumber disertakan.