Teorema Rolle - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:10:47Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.10
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Rolle's_theorem.svg\|thumb\|right\|280px\|Rolle's theorem]]

	Dalam [[kalkulus]], '''teorema Rolle''' pada dasarnya menyatakan [[fungsi terdiferensialkan]] dan [[fungsi kontinu\|kontinu]], yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki [[titik stasioner]] yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien [[garis singgung]] terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.		Dalam [[kalkulus]], '''teorema Rolle''' pada dasarnya menyatakan [[fungsi terdiferensialkan]] dan [[fungsi kontinu\|kontinu]], yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki [[titik stasioner]] yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien [[garis singgung]] terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.

	== Versi standar ==		== Versi standar ==

	Bila sebuah fungsi [[bilangan riil\|riil]] [[fungsi kontinu\|kontinu]] pada selang tertutup , [[turunan\|terdiferensialkan]] pada selang terbuka , dan , maka ada bilangan dalam selang terbuka sedemikian sehingga		Bila sebuah fungsi [[bilangan riil\|riil]] [[fungsi kontinu\|kontinu]] pada selang tertutup , [[turunan\|terdiferensialkan]] pada selang terbuka , dan , maka ada bilangan dalam selang terbuka sedemikian sehingga

Baris 12:		Baris 13:
	Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil di selang tertutup dengan . Bila, untuk setiap di selang terbuka , dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan pada selang terbuka sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap '''', maka limit ini sama pada khususnya untuk . Jadi turunan ada pada dan sama dengan nol.		Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil di selang tertutup dengan . Bila, untuk setiap di selang terbuka , dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan pada selang terbuka sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap '''', maka limit ini sama pada khususnya untuk . Jadi turunan ada pada dan sama dengan nol.

	Bila adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak [[Fungsi menaik\|menaik secara monoton]]:<math display="block">f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-)</math>dengan <math>x < y</math>.		Bila adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak [[Fungsi menaik\|menaik secara monoton]]:<ref>Emil Artin. [https://archive.org/details/gammafunction0000arti The Gamma Function]. Holt, Rinehart and Winston. 1964. hlm. [https://archive.org/details/gammafunction0000arti/page/3 3]–4.</ref><math display="block">f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-)</math>dengan <math>x < y</math>.

	=== Pembuktian ===		=== Pembuktian ===
Baris 20:		Baris 21:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	===Contoh pertama===		===Contoh pertama===

	Untuk jari-jari , misalkan terdapat fungsi<math display="block">f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].</math>[[Grafik fungsi]] tersebut menggambarkan [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di selang tertutup dan terdiferensialkan dalam selang terbuka , tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir dan . Karena , maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari sama dengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam selang terbuka.		Untuk jari-jari , misalkan terdapat fungsi<math display="block">f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].</math>[[Grafik fungsi]] tersebut menggambarkan [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di selang tertutup dan terdiferensialkan dalam selang terbuka , tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir dan . Karena , maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari sama dengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam selang terbuka.


	===Contoh kedua===		===Contoh kedua===

	Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi [[nilai mutlak]]<math display="block">f(x) = \|x\|,\qquad x\in[-1,1],</math>maka . Akan tetapi, tidak ada nilai di antara −1 dan 1 pada nilai yang sama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai , walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari mengubah tandanya di , tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai di selang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi akan tetap memiliki [[Titik kritis (matematika)\|titik kritis]] di selang terbuka , tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.		Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi [[nilai mutlak]]<math display="block">f(x) = \|x\|,\qquad x\in[-1,1],</math>maka . Akan tetapi, tidak ada nilai di antara −1 dan 1 pada nilai yang sama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai , walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari mengubah tandanya di , tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai di selang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi akan tetap memiliki [[Titik kritis (matematika)\|titik kritis]] di selang terbuka , tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.


	== Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi ==		== Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi ==

	Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa		Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa
	* fungsi [[Kemulusan#Kelas keterdiferensialan\|terdiferensialkan secara kontinu]] sebanyak kali di selang tertutup , dan terdapat turunan ke- di selang terbuka ; serta		* fungsi [[Kemulusan#Kelas keterdiferensialan\|terdiferensialkan secara kontinu]] sebanyak kali di selang tertutup , dan terdapat turunan ke- di selang terbuka ; serta
Baris 40:		Baris 35:
	=== Pembuktian ===		=== Pembuktian ===
	Perumuman ini [[Pembuktian melalui induksi\|dibuktikan melalui induksi]]. Misalkan , maka akan memperlihatkan versi standar teorema Rolle. Untuk , anggap bahwa perumuman tersebut benar untuk . Agar ingin membuktikannya untuk , asumsi fungsi memenuhi [[hipotesis]] teorema. Berdasarkan versi standar, untuk setiap [[bilangan bulat]] yang berawal dari 1 ke , terdapat suatu di selang terbuka sehingga . Oleh karena itu, turunan pertama memenuhi asumsi di selang tertutup . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hipotesis melalui induksi, terdapat suatu sehingga turunan ke- dari di sama dengan nol.		Perumuman ini [[Pembuktian melalui induksi\|dibuktikan melalui induksi]]. Misalkan , maka akan memperlihatkan versi standar teorema Rolle. Untuk , anggap bahwa perumuman tersebut benar untuk . Agar ingin membuktikannya untuk , asumsi fungsi memenuhi [[hipotesis]] teorema. Berdasarkan versi standar, untuk setiap [[bilangan bulat]] yang berawal dari 1 ke , terdapat suatu di selang terbuka sehingga . Oleh karena itu, turunan pertama memenuhi asumsi di selang tertutup . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hipotesis melalui induksi, terdapat suatu sehingga turunan ke- dari di sama dengan nol.

	~~== Catatan kaki ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/MVT.shtml Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata] pada [[cut-the-knot]]		* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/MVT.shtml Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata] pada [[cut-the-knot]]

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Rolle&oldid=29413211 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29413211 (2026-07-03T05:35:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Rolle&oldid=29413211 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29413211 (2026~~-07-~~03T05:35:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29413211; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:49:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29413211; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[kalkulus]], '''teorema Rolle''' pada dasarnya menyatakan [[fungsi terdiferensialkan]] dan [[fungsi kontinu|kontinu]], yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki [[titik stasioner]] yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien [[garis singgung]] terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.

== Versi standar ==

Bila sebuah fungsi [[bilangan riil|riil]] [[fungsi kontinu|kontinu]] pada selang tertutup , [[turunan|terdiferensialkan]] pada selang terbuka , dan , maka ada bilangan dalam selang terbuka sedemikian sehingga

:<math>f'(c) = 0.\,</math>

Versi teorema Rolle ini digunakan untuk membuktikan [[teorema nilai purata]], yang merupakan kasus umum dari teorema Rolle.

== Perumuman ==
Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil di selang tertutup dengan . Bila, untuk setiap di selang terbuka , dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan pada selang terbuka sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap '''', maka limit ini sama pada khususnya untuk . Jadi turunan ada pada dan sama dengan nol.

Bila adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak [[Fungsi menaik|menaik secara monoton]]:<math display="block">f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-)</math>dengan <math>x < y</math>.

=== Pembuktian ===
Tujuan pembuktian ini bahwa bila , maka harus mencapai nilai [[Maksimum dan minimum|maksimum atau minimum]] di suatu titik di antara dan , katakanlah titik tersebut diberi lambang . Fungsi tersebut juga harus berubah dari fungsi menaik hingga menurun (atau sebaliknya) di . Secara khusus, bila turunannya ada, maka nilainya harus nol di .

Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa kontinu di , dan menurut [[teorema nilai ekstrem]], mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di . Bila keduanya tercapai di titik batas , maka adalah [[fungsi konstan]] di , dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di . Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di [[titik dalam]] di selang (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada <math>-f</math>), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu bilangan real sehingga ada di , nilai lebih kecil atau sama dengan , sebab mencapai nilai maksimumnya di . Karena itu, untuk setiap ,<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dan karena itu,<math display="block">f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap , tanda [[pertidaksamaan]] tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dan karena itu<math display="block">f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila terdiferensialkan, maka turunan dari di haruslah nol.

== Contoh ==

===Contoh pertama===

Untuk jari-jari , misalkan terdapat fungsi<math display="block">f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].</math>[[Grafik fungsi]] tersebut menggambarkan [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di selang tertutup dan terdiferensialkan dalam selang terbuka , tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir dan . Karena , maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari sama dengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam selang terbuka.

===Contoh kedua===

Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi [[nilai mutlak]]<math display="block">f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1],</math>maka . Akan tetapi, tidak ada nilai di antara −1 dan 1 pada nilai yang sama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai , walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari mengubah tandanya di , tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai di selang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi akan tetap memiliki [[Titik kritis (matematika)|titik kritis]] di selang terbuka , tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.

== Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi ==

Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa
* fungsi [[Kemulusan#Kelas keterdiferensialan|terdiferensialkan secara kontinu]] sebanyak kali di selang tertutup , dan terdapat turunan ke- di selang terbuka ; serta
* terdapat selang yang dinyatakan dengan di sehingga untuk setiap nilai yang berawal dari 1 hingga nilai .
Maka, terdapat suatu bilangan di turunan ke- dari dengan nilai sama dengan nol.

=== Pembuktian ===
Perumuman ini [[Pembuktian melalui induksi|dibuktikan melalui induksi]]. Misalkan , maka akan memperlihatkan versi standar teorema Rolle. Untuk , anggap bahwa perumuman tersebut benar untuk . Agar ingin membuktikannya untuk , asumsi fungsi memenuhi [[hipotesis]] teorema. Berdasarkan versi standar, untuk setiap [[bilangan bulat]] yang berawal dari 1 ke , terdapat suatu di selang terbuka sehingga . Oleh karena itu, turunan pertama memenuhi asumsi di selang tertutup . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hipotesis melalui induksi, terdapat suatu sehingga turunan ke- dari di sama dengan nol.

== Catatan kaki ==

== Pranala luar ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/MVT.shtml Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata] pada [[cut-the-knot]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Rolle&oldid=29413211 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29413211 (2026-07-03T05:35:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.