Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:11:36Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587278; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:54:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587278; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[kalkulus vektor]], dan lebih umum lagi [[geometri diferensial]], '''teorema Stokes''' rampat (terkadang dieja '''teorema Stokes''', dan juga disebut '''teorema Stokes–Cartan''') adalah pernyataan tentang [[Integral|integrasi]] dari [[bentuk diferensial]] pada [[manifold]], yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa [[teorema]] dari [[kalkulus vektor]]. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial di atas [[Batas lipatan|batas]] dari beberapa [[Orientasi (ruang vektor)#Orientasi pada lipatan|berorientasi]] lipatan sama dengan integral [[turunan luar]] di seluruh , yaitu:

: <math>\int_{\partial \Omega}\omega=\int_\Omega d\omega\,.</math>

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh [[Élie Cartan]] pada tahun 1945, mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh [[Vito Volterra]], [[Édouard Goursat]], dan [[Henri Poincaré]].

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari [[Teorema#Kelvin–Stokes|hasil klasik]] yang ditentukan oleh [[William Thomson, 1 Baron Kelvin|Lord Kelvin]] dikomunikasikan kepada [[Sir George Stokes, Baronet ke-1|George Stokes]] dalam surat tertanggal 2 Juli 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 [[Smith's Prize]] exam, which led to the result bearing his name. It was first published by [[Hermann Hankel]] in 1861. [[Kelvin–Stokes teorema]] klasik tersebut menghubungkan [[integral permukaan]] dari [[Curl (matematika)|curl]] dari [[bidang vektor]] di atas permukaan (yaitu, [[fluks]] dari ) di Euclidean tiga ruang ke [[integral garis]] dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

'''Contoh analisis vektor klasik sederhana'''

Mari menjadi [[sedikit demi sedikit]] mulus [[Kurva Jordan|kurva bidang Jordan]]. [[Teorema kurva Yordania]] menyiratkan hal itu membagi menjadi dua komponen, satu [[Ruang kompak|kompak]] satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh dan misalkan halus, dengan . Jika adalah [[kurva spasi]] yang ditentukan oleh dan adalah bidang vektor mulus pada , kemudian:

: <math>\oint_\Gamma \mathbf{F}\, \cdot\, d{\mathbf{\Gamma}} = \iint_S \nabla\times\mathbf{F}\, \cdot\, d\mathbf{S} </math>

Pernyataan klasik ini, bersama dengan [[teorema divergensi]] klasik, [[teorema dasar kalkulus]], dan [[Teorema Green]] hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.

== Pengantar ==
[[Teorema dasar kalkulus]] menyatakan bahwa [[integral]] dari suatu fungsi selama [[Interval (matematika)|interval]] dapat dihitung dengan mencari [[antiturunan]] of :

: <math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,.</math>

Teorema Stokes adalah rampatan yang luas dari teorema ini dalam pengertian.
Jadi, sama seperti seseorang dapat menemukan nilai integral () di atas manifold 1 dimensi () dengan mempertimbangkan anti turunan () di batas 0-dimensi (), seseorang dapat menggeneralisasi teorema dasar kalkulus, dengan beberapa peringatan tambahan, untuk menangani nilai integral () di atas -manifold dimensional () dengan mempertimbangkan antiturunan () pada -batas dimensi () dari manifold tersebut.

Jadi teorema fundamental berbunyi:

: <math>\int_{[a, b]} f(x)\,dx = \int_{[a, b]} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a)\,.</math>

== Formulasi untuk lipatan halus dengan batas ==
Jadi menjadi berorientasi [[lipatan halus]] dengan batas [[dimensi]] dan biarkan jadi [[Fungsi polos|polos]] -[[bentuk diferensial]] yaitu [[Dukungan (matematika)#Dukungan kompak|didukung secara kompak]] aktif . Pertama, anggap saja didukung secara kompak dalam domain tunggal, [[Orientasi (matematika)|berorientasi]] [[diagram koordinat]] . Dalam kasus ini, kami mendefinisikan integral dari atas sebagai

: <math>\int_\Omega \alpha = \int_{\varphi(U)} \left(\varphi^{-1}\right)^* \alpha\,,</math>

yaitu, melalui [[Halangan (geometri diferensial)|pullback]] dari ke .

Secara umum, integral dari di atas didefinisikan sebagai berikut: biar menjadi [[partisi kesatuan]] terkait dengan [[Koleksi terbatas lokal|terbatas lokal]] [[Sampul (topologi)|sampul]] dari bagan koordinat (berorientasi konsisten), lalu tentukan integralnya

: <math>\int_\Omega \alpha \equiv \sum_i \int_{U_i} \psi_i \alpha\,,</math>

di mana setiap suku dalam penjumlahan dievaluasi dengan menarik kembali ke seperti dijelaskan di atas. Kuantitas ini didefinisikan dengan baik; artinya, ini tidak bergantung pada pilihan bagan koordinat, atau pembagian kesatuan.

Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:

Secara konvensional, <math display="inline">\int_{\partial\Omega} i^*\omega</math> disingkat sebagai <math display="inline">\int_{\partial\Omega} \omega</math>, karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: <math>i^*\omega=\omega|_{\partial\Omega}</math>. Saat <math>d</math> adalah [[turunan eksterior]], yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai <math display="inline">\oint_{\partial\Omega} \omega</math> untuk menekankan fakta bahwa <math>(n-1)</math>-manifold <math>\partial\Omega</math> tidak memiliki batasan. (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu <math>n</math>-berjenis dimensi <math>\Omega</math>, penerapan teorema dua kali memberi <math display="inline">\int_{\partial(\partial \Omega)}\omega=\int_\Omega d(d\omega)=0</math> untuk apapun <math>(n-2)</math>-bentuk <math>\omega</math>, yang menyiratkan itu <math>\partial(\partial\Omega)=\emptyset</math>.) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).

The theorem is often used in situations where <math>\Omega</math> is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often <math>\mathbf{R}^k</math>, on which the form <math>\omega</math> is defined.

== Pendahuluan topologi; integral melalui rantai ==

Maka menjadi [[lipatan halus]]. [[Simpleks | Simpleks-]] dengan didefinisikan sebagai peta dari simplekd standar pada ke . Grup dari singular [[Kaidah (topologi aljabar)|kaidah]]- pada didefinisikan sebagai [[grup abelian bebas]] pada himpunan singular sederhana dalam . Grup ini, dengan peta batas, , mendefinisikan [[kompleks kaidah]]. Grup homologi (resp. Kohomologi) yang sesuai adalah isomorfik dari grup [[homologi tunggal]] biasa (resp. grup [[kohomologi tunggal]] ), didefinisikan menggunakan kesederhanaan berkelanjutan dari .

Di sisi lain, bentuk diferensial, dengan turunan eksterior, , sebagai peta penghubung, membentuk kompleks cochain, yang mendefinisikan grup [[kohomologi de Rham]] .

== Prinsip pendasar ==

Untuk menyederhanakan argumen topologis ini, ada baiknya untuk memeriksa prinsip yang mendasari dengan mempertimbangkan contoh untuk dimensi . Ide esensial dapat dipahami dengan diagram di sebelah kiri, yang menunjukkan bahwa, dalam petak berorientasikan manifold, jalur interior dilintasi dalam arah yang berlawanan; kontribusi mereka ke integral jalan sehingga membatalkan satu sama lain secara berpasangan. Akibatnya, hanya kontribusi dari batas yang tersisa. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan teorema Stokes untuk kemiringan yang cukup halus (atau, setara, [[Simpleks|sederhana]]), yang biasanya tidak sulit.

== Rampat himpunan kasar ==

Rumus di atas, di mana adalah lipatan halus dengan batas, tidak mencukupi dalam banyak aplikasi. Misalnya, jika domain integrasi didefinisikan sebagai bidang bidang antara dua koordinat dan grafik dari dua fungsi, akan sering terjadi bahwa domain tersebut memiliki sudut. Dalam kasus, titik sudut berarti bahwa bukan lipatan halus dengan batas, sehingga pernyataan teorema Stokes yang diberikan di atas tidak berlaku. Namun demikian, kesimpulan dari teorema Stokes. Ini karena dan batasnya berperilaku baik menjauh dari sekumpulan kecil titik (himpunan [[mengukur nol]]).

== Lihat pula ==
*[[Chandrasekhar–lemma Wentzel]]
*[[:Portal:Matematika/Intro/Gambar]]
*[[:Portal:Matematika/Templat halaman]]

== Catatan kaki ==

== Catatan penting ==

==Referensi==

==Bacaan lebih lanjut==
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

==Pranala luar==
*
* [http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/hugheshallett/0471484822/theory/hh_focusontheory_sectionm.pdf Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem]
* [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcIII/stokestheorem.aspx Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu] – an expository explanation

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Stokes+rampat&oldid=29587278 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29587278 (2026-08-16T07:55:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema Stokes rampat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29587278; atribusi sumber disertakan.