Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28370366; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:48:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28370366; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika, khususnya di bidang [[teori grup hingga]], '''Teorema Sylow''' adalah kumpulan [[teorema]] yang dinamai menurut matematikawan Norwegia [[Peter Ludwig Mejdell Sylow | Peter Ludwig Sylow]] ([[#|1872]]) yang memberikan informasi rinci tentang jumlah [[subgrup]] dari [[urutan grup | urutan]] yang berisi [[grup hingga]] tertentu. Teorema Sylow membentuk bagian fundamental dari teori grup hingga dan memiliki aplikasi yang sangat penting dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].

Untuk [[bilangan prima]] ''p'', '''Sylow subgrup ''p''''' (terkadang '''Sylow subgrup ''p''''' dari grup '' G '' adalah maksimal subgrup '' p '' dari '' G '', yaitu, subgrup dari '' G '' yaitu [[grup-p |grup ''p'']] (sehingga [[urutan elemen grup | urutan]] dari setiap elemen grup adalah [[kekuatan (matematika) | kekuatan]] dari ''p'') itu bukan subgrup yang tepat dari '' p '' lainnya, subgrup dari '' G ''. Himpunan dari semua Sylow subgrup '' p '' untuk prima tertentu '' p '' terkadang ditulis Syl''p''(''G'').

Teorema Sylow menyatakan kebalikan parsial [[Teorema Lagrange (teori grup) | Teorema Lagrange]]. Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk setiap grup hingga '' G '' urutan (jumlah elemen) dari setiap subgrup '' G '' membagi urutan '' G ''. Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap [[faktor prima]] '' p '' dari urutan grup hingga '' G '', terdapat Sylow subgrup '' p '' order '' G '' ''pn'', pangkat tertinggi '' p '' yang membagi urutan '' G ''. Selain itu, setiap subgrup order ''pn'' adalah Sylow subgrup '' p '' dari '' G '', dan Sylow '' p '' - subgrup dari grup (untuk prime '' p '' tertentu) adalah [[kelas Konjugasi|konjugasi]] satu sama lain. Selanjutnya, jumlah Sylow subgrup '' p '' dari grup untuk prima '' p '' yang diberikan kongruen dengan

== Teorema ==

Kumpulan subgrup yang masing-masing maksimal dalam satu hal atau lainnya adalah hal biasa dalam teori grup. Hasil yang mengejutkan di sini adalah dalam kasus Syl''p''(''G''), semua anggota sebenarnya [[group isomorphism | isomorphic]] satu sama lain dan memiliki urutan terbesar: jika |''G''| = ''pnm'' dengan ''n'' > 0 dimana '' p '' tidak membagi '' m '', maka setiap Sylow subgrup '' p '' ,'' P '' memiliki urutan |''P''| = ''pn''. Artinya, '' P '' adalah grup '' p '' dan ''gcd''(|''G'' : ''P''|, ''p'') = 1. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menganalisis lebih lanjut struktur '' G ''.

Teorema berikut pertama kali diajukan dan dibuktikan oleh Ludwig Sylow pada tahun 1872, dan diterbitkan pada ''[[Mathematische Annalen]]''.

'''Teorema 1''': Untuk setiap [[faktor prima]] '' p '' dengan [[kelipatan faktor prima | kelipatan]] '' n '' dari urutan grup hingga '' G '', terdapat Sylow subgrup '' p '' dan '' G '', berurutan ''pn''.

Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh [[Augustin Louis Cauchy]], dan dikenal sebagai [[Teorema Cauchy (teori grup) | Teorema Cauchy]].

'''Korolari''': Diberikan kelompok terbatas '' G '' dan bilangan prima '' p '' membagi urutan '' G '', maka terdapat elemen (dan karenanya subgrup) berorde '' p '' pada ''G''.

'''Teorema 2''': Diberikan grup terbatas '' G '' dan bilangan prima '' p '', pada Sylow subgrup '' p '' dari '' G '' adalah [[kelas konjugasi | konjugasi]] satu sama lain, yaitu jika '' H '' dan '' K '' adalah Sylow subgrup '' p '' dari '' G '', maka terdapat elemen '' g '' di '' G '' dengan ''g''−1''Hg'' = ''K''.

'''Teorema 3''': Misalkan '' p '' menjadi faktor prima dengan kelipatan '' n '' dari urutan grup hingga '' G '', sehingga urutan '' G '' dapat dituliskan sebagai , dimana dan '' p '' tidak membagi '' m ''. Maka ''np'' jadilah jumlah Sylow subgrup '' p '' dari '' G ''. Kemudian penangguhan berikut:
* ''np'' membagi '' m '', yang merupakan [[indeks subkelompok | indeks]] dari Sylow subgrup '' p '' pada '' G ''.
* ''np'' ≡ 1 (mod ''p'').
* ''np'' = |''G'' : ''NG''(''P'')|, di mana '' P '' adalah sembarang Sylow subgrup '' p '' dari '' G '' dan ''NG'' menunjukkan [[penormal]].

=== Konsekuensi ===

Teorema Sylow menyiratkan bahwa untuk bilangan prima '' p '' setiap Sylow subgrup '' p '' memiliki urutan yang sama, ''pn''. Sebaliknya, jika subgrup memiliki urutan ''pn'', maka itu adalah Sylow subgrup '' p '', dan begitu juga isomorfik untuk setiap Sylow subgrup '' p ''. Karena kondisi maksimalitas, jika '' H '' adalah salah satu '' p '' - subgrup dari '' G '', maka '' H '' adalah subgrup dari subgrup '' p '' dari urutan ''pn''.

Konsekuensi yang sangat penting dari Teorema 2 adalah kondisi tersebut ''np'' = 1 setara dengan mengatakan bahwa Sylow subgrup '' p '', '' G '' adalah [[subgrup normal]]
(ada grup yang memiliki subgrup normal tetapi tidak ada subgrup Sylow normal, seperti ''S''4).

=== Teorema Sylow untuk grup tak hingga ===

Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas. Kami mendefinisikan Sylow subgrup '' p '' dalam grup tak terbatas menjadi subgrup '' p '' (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya '' p '') yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup '' p '' dalam grup. Subgrup semacam itu ada oleh [[lemma Zorn]].

'''Teorema''': Jika '' K '' adalah Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '', dan ''np'' = |Cl(''K'')| terbatas, maka setiap Sylow subgrup '' p '' dikonjugasikan menjadi '' K '', dan ''np'' ≡ 1 (mod ''p''), dimana Cl(''K'') menunjukkan kelas konjugasi '' K ''.

== Contoh ==

Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah [[kelompok dihedral]] dari ''n''-gon, ''D''2''n''. Untuk ''n'' ganjil, 2 = 21 adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow. Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat '' n '', dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.

Sebaliknya, jika '' n '' genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi. Ini terkait dengan [[automorfisme luar]], yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π / '' n '', setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.

Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari ''GL''2(''F''''q''), di mana '' p '' dan '' q '' adalah bilangan prima ≥ 3 dan ''p'' ≡ 1 (mod ''q'') , yang semuanya [[geup Abelian | abelian]]. Urutan ''GL''2(''F''''q'') is (''q''2 − 1)(''q''2 − ''q'') = (''q'')(''q'' + 1)(''q'' − 1)2. Maka ''q'' = ''p''''n''''m'' + 1, urutan ''GL''2(''F''''q'') = ''p''2''n'' ''m''′. Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow '' p '' adalah ''p''2''n''.

Salah satu subgrup '' P '', adalah himpunan matriks diagonal <math>\begin{bmatrix}x^{im} & 0 \\0 & x^{jm} \end{bmatrix}</math>, ''x'' adalah salah satu [[root modulo primitif n | akar primitif]] dari ''F''''q''. Karena urutan ''F''''q'' is ''q'' − 1, its primitive roots have order ''q'' − 1, which implies that ''x''(''q'' − 1)/''p''''n'' or ''x''''m'' dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan '' p ''. Jadi, '' P '' adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan ''p''. Jika ''pn'' pilihan untuk '' a '' dan '' b '', membuat |''P''| = ''p''2''n''. Ini berarti '' P '' adalah Sylow '' p '' - subkelompok, yang abelian, karena semua [[matriks diagonal]] bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup'' p '' berkonjugasi satu sama lain ''GL''2(''F''''q'') pada [[Grup Abelian|grup abelian]].

== Contoh aplikasi ==
Karena teorema Sylow memastikan keberadaan subgroup-p dari kelompok terbatas, ada baiknya mempelajari grup tatanan kekuatan utama lebih dekat. Sebagian besar contoh menggunakan teorema Sylow untuk membuktikan bahwa sekelompok urutan tertentu bukanlah [[Grup sederhana | sederhana]]. Untuk kelompok orde kecil, kondisi kesesuaian teorema Sylow sering kali cukup untuk memaksa keberadaan [[subgrup normal]].
;Contoh 1: Grup urutan '' pq '', '' p '' dan '' q '' dengan bilangan prima ''p'' < ''q''.
;Contoh-2: Urutan grup 30, urutan grup 20, urutan grup ''p''2''q'', ''p'' dan bilangan prima berbeda '' q '' adalah beberapa aplikasi.
; Contoh-3: (Grup ordo 60): Jika order |''G''| = 60 and ''G'' has more than one Sylow 5-subgroup, then ''G'' is simple.

=== Pesanan grup siklik ===
Beberapa bilangan prima '' n '' sedemikian rupa sehingga setiap kelompok orde '' n '' berbentuk siklik. Dapat ditunjukkan bahwa '' n '' = 15 adalah bilangan seperti itu dengan menggunakan teorema Sylow: Misalkan '' G '' adalah sekelompok berorde 15 = 3 · 5 dan ''n''3 menjadi jumlah Sylow 3-subgrup. Kemudian ''n''3 <math>\mid</math> 5 dan ''n''3 ≡ 1 (mod 3). Satu-satunya nilai yang memenuhi batasan ini adalah 1; oleh karena itu, hanya ada satu subgrup berorde 3, dan itu harus [[subgrup normal | normal]] (karena tidak memiliki konjugasi berbeda). Demikian pula, ''n''5 harus membagi 3, dan ''n''5 harus sama dengan 1 (mod 5); jadi ia juga harus memiliki satu subgrup normal berorde 5. Karena 3 dan 5 adalah [[coprime]], perpotongan kedua subgrup ini adalah trivial, dan jadi '' G '' haruslah [[produk langsung internal]] dari grup orde 3 dan 5, yaitu [[grup siklik]] orde 15. Jadi, hanya ada satu grup orde 15 ([[hingga (matematika)|hingga]] isomorfisme).

=== Grup kecil tidak sederhana ===
Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan [[grup sederhana]] terkecil yang bukan [[grup siklik | siklik]]. [[Teorema Burnside |Teorema Burnside ''pa qb'']] menyatakan bahwa jika orde suatu kelompok adalah hasil kali dari satu atau dua [[pangkat utama]] s, maka ia [[gugus terselesaikan | dapat dipecahkan]], sehingga kelompok tersebut tidak sederhana, atau merupakan orde utama dan berhubung dgn putaran. Ini mengesampingkan setiap grup hingga orde 30 .

Jika '' G '' sederhana, dan |''G''| = 30, kemudian ''n''3 must divide 10 ( = 2 · 5), dan ''n''3 harus sama dengan 1 (mod 3). Karena baik 4 maupun 7 tidak membagi 10, dan jika ''n''3 = 1 kemudian, seperti di atas, '' G '' akan memiliki subgrup normal berorde 3, dan tidak bisa sederhana. '' G '' kemudian memiliki 10 subgrup siklik berbeda dari orde 3, yang masing-masing memiliki 2 elemen orde 3 (indentitas penambahan). Ini berarti '' G '' memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.

Juga, '' n '' 5 = 6, karena '' n '' 5 harus membagi 6 (= 2 · 3), dan ''n''5 harus sama dengan 1 (mod 5). Jadi '' G '' juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5. Tapi orde '' G '' hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.

Selanjutnya, misalkan |''G''| = 42 = 2 · 3 · 7. Di sini '' n '' 7 harus membagi 6 ( = 2 · 3) dan ''n''7 harus sama dengan 1 (mod 7), jadi '' n '' 7 = 1. Jadi, seperti sebelumnya, '' G '' tidak bisa sederhana.

Di sisi lain, untuk |''G''| = 60 = 22 · 3 · 5, maka '' n '' 3 = 10 dan '' n '' 5 = 6 sangat mungkin. Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah ''A''5, [[grup bergantian]] lebih dari 5 elemen. Ia memiliki urutan 60, dan memiliki 24 [[permutasi siklik]] dari urutan 5, dan 20 dari urutan 3.

=== Teorema Wilson ===
Bagian dari [[Teorema Wilson]] menyatakan bahwa

:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p</math>

untuk setiap prima '' p ''. Seseorang dapat dengan mudah membuktikan teorema ini dengan teorema ketiga Sylow. Memang,
perhatikan bahwa bilangan ''np'' dari Sylow subgrup '' p ''
dalam grup simetris ''Sp'' is (''p'' − 2)!. Maka, ''n''''p'' ≡ 1 (mod ''p''). Karenanya, (''p'' − 2)! ≡ 1 (mod ''p''). So, (''p'' − 1)! ≡ −1 (mod ''p'').

=== Hasil fusi ===
[[Argumen Frattini]] menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan [[faktorisasi]] dari grup hingga. Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai '''Teorema fusi Burnside''' menyatakan Bahwa jika '' G '' adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup '' p '' dan dua himpunan bagian '' A '' dan '' B '' dinormalisasi oleh '' P '', lalu '' A '' dan '' B '' adalah konjugasi '' G '' [[jika dan hanya jika]] ada konjugasi ''NG''(''P''). Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika ''B''=''Ag'', maka penormal '' B '' tidak hanya berisi '' P '' tetapi juga ''Pg'' (karena ''Pg'' terkandung dalam penormal dari ''Ag''). Dengan teorema Sylow '' P '' dan ''Pg'' terkonjugasi tidak hanya dalam '' G '', tetapi dalam penormalisasi '' B ''. Karenanya ''gh''−1 menormalkan '' P '' untuk beberapa '' h '' yang menormalkan '' B '', lalu ''A''''gh''−1 = ''B''h−1 = ''B'', so that ''A'' dan '' B '' adalah konjugasi ''NG''(''P''). Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut [[produk setengah langsung]]: jika '' G '' adalah grup terbatas yang Sylow '' p '' - subkelompok '' P '' terdapat di tengah penormalnya, lalu '' G '' memiliki subgrup normal '' K '' dengan urutan coprime ke '' P '', ''G'' = ''PK'' and ''P''∩''K'' = {1}, yaitu, '' G '' adalah [[grup p-nilpotent | '' p '' nilpotent]].

Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk [[teorema subkelompok fokus]], yang mempelajari kontrol Sylow '' p '' - subkelompok dari [[subgrup turunan]] memiliki struktur keseluruhan. Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap [[klasifikasi grup sederhana hingga]], dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam [[Teorema Alperin – Brauer – Gorenstein]] yang mengklasifikasikan hingga [[grup sederhana]] yang subgrup Sylow 2-nya adalah [[grup kuasi-dihedral]]. Ini bergantung pada [[J. L. Alperin]] memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.

== Bukti teorema Sylow ==

Teorema Sylow telah dibuktikan dalam beberapa cara, dan sejarah pembuktian itu sendiri adalah subjek dari banyak makalah termasuk , , , , dan sampai batas tertentu .

Salah satu bukti teorema Sylow mengeksploitasi gagasan [[Tindakan grup (matematika) | tindakan grup]] dalam berbagai cara kreatif. Grup '' G '' bertindak pada dirinya sendiri atau pada himpunan '' p ''-subgrupnya dengan berbagai cara, dan setiap tindakan tersebut dapat dimanfaatkan untuk membuktikan salah satu teorema Sylow. Bukti berikut didasarkan pada argumen kombinatorial dari . Berikut ini, kami menggunakan '' a '' <math>\mid</math> ''b'' sebagai notasi untuk "a divides b" dan '' a '' <math>\nmid</math> '' b '' untuk meniadakan pernyataan ini.

<blockquote> '''Teorema 1''': Grup terbatas '' G '' yang urutannya |''G''| dapat dibagi oleh kekuatan utama ''pk'' memiliki subgrup order ''pk''.</blockquote>

Bukti: Karena |''G''| = ''pkm = pk+ru'' dirumuskan ''p'' <math>\nmid</math> ''u'', dan misalkan Ω menunjukkan himpunan [[himpunan bagian]] dari ukuran '' G '' yaitu ''pk''. ''G'' [[Tindakan gruo (matematika) | tindakan]] pada Ω dengan perkalian kiri: ''g''⋅ω = { ''gx'' | ''x'' ∈ ω }. Untuk himpunan tertentu ω ∈ Ω, dituliskan ''G''ω untuk [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | subgrup penstabil]] {''g'' ∈ ''G'' | ''g''⋅ω = ω } dan '' G''ω untuk [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | orbit]] {''g''⋅ω | ''g'' ∈ ''G''} pada Ω.

Buktinya akan menunjukkan adanya beberapa ω ∈ Ω yang dirumuskan ''G''ω memiliki ''pk'' elemen, menyediakan subkelompok yang diinginkan. Ini adalah ukuran maksimal dari subgrup penstabil ''G''ω, karena untuk setiap elemen tetap α ∈ ω ⊆ '' G '', gambar ''G''ω di bawah peta bijektiva '' G '' → '' G '' perkalian kanan dengan α (''g'' ↦ ''g''α) terkandung dalam ω; karena itu, |''G''ω| ≤ |ω| = ''pk''.

Dengan [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | teorema penstabil orbit]] yang kami miliki |''G''ω| |''G''ω| = |''G''| untuk setiap ω ∈ Ω, dan karenanya menggunakan [[penilaian aditif p-adik]] ''νp'', yang menghitung jumlah faktor '' p '', yang dimiliki ''νp''(|''G''ω|) + ''νp''(|''G''ω|) = ''νp''(|''G''|) = ''k'' + ''r''. Ini berarti bagi mereka ω dengan |''G''ω| = ''pk'', yang kita cari, satu sudah yaitu ''νp''(|''G''ω|) = ''r'', sedangkan untuk ω lainnya memiliki ''νp''(|''G''ω|) > ''r'' (as 0 < |''G''ω| < ''pk'' berarti ''νp''(|''G''ω|) < ''k''). Karena | Ω | adalah jumlah dari |''G''ω| pada semua orbit berbeda ''G''ω, seseorang dapat menunjukkan keberadaan ω dari tipe sebelumnya dengan menunjukkan itu ''νp''(|Ω|) = ''r'' (jika tidak ada, penilaian itu akan melebihi '' r ''). Ini adalah turunan dari [[Teorema Kummer]] (karena dalam basis '' p '' notasi bilangan |''G''| diakhiri dengan tepat '' k '' + '' r '' digit nol, mengurangi '' p k '' darinya melibatkan carry di tempat '' r ''), dan juga dapat ditampilkan dengan perhitungan sederhana:

:<math>|\Omega | ={p^km \choose p^k} = \prod_{j=0}^{p^k - 1} \frac{p^k m - j}{p^k - j} = m\prod_{j=1}^{p^{k} - 1} \frac{p^{k - \nu_p(j)} m - j/p^{\nu_p(j)}}{p^{k - \nu_p(j)} - j/p^{\nu_p(j)}} </math>

dan tidak ada kekuatan '' p '' yang tersisa di salah satu faktor di dalam produk di sebelah kanan. Karenanya ''νp''(|Ω|) = ''νp''(''m'') = ''r'', melengkapi buktinya.

Dapat dicatat bahwa sebaliknya setiap subgrup '' H '' berurutan ''pk'' menimbulkan himpunan ω ∈ Ω yaitu ''G''ω = ''H'', yaitu salah satu dari '' m '' kohimpunan berbeda '' Hg ''.

<blockquote> '''Lemma''': Misalkan '' G '' menjadi grup '' p '' yang terbatas, misalkan Ω himpunan terbatas, misalkan Ω G menjadi himpunan yang dihasilkan oleh aksi '' G '' pada semua elemen Ω, dan biarkan Ω 0 menunjukkan himpunan titik Ω G yang ditetapkan di bawah aksi '' G ''. Kemudian |ΩG| ≡ |Ω0| (mod ''p''). </blockquote>

Bukti: Tuliskan Ω G sebagai jumlah orbit yang saling lepas di bawah '' G ''. Elemen ''x'' ∈ ΩG tidak ditetapkan oleh '' G '' akan terletak pada urutan orbit |''G''|/|''Gx''| (di mana '' G x '' menunjukkan [[Aksi grup (matematika)#Orbit dan stabilisator|stabilisator]]), yang merupakan kelipatan dari '' p '' dengan asumsi. Hasilnya segera menyusul.

<blockquote>'''Teorema 2''': Jika '' H '' adalah subgrup '' p '' dari '' G '' dan '' P '' adalah Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '', maka ada elemen ' 'g' 'dalam' 'G' 'seperti itu ''g''−1''Hg'' ≤ ''P''. Secara khusus, semua Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '' adalah [[kelas konjugasi | konjugasi]] satu sama lain (dan karena itu [[isomorfisme | isomorfik]]), yaitu, jika '' H '' dan '' K '' adalah Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '', maka terdapat elemen '' g '' dalam '' G '' dengan ''g''−1''Hg'' = ''K''.</blockquote>

Bukti: Misalkan Ω adalah himpunan [[coset]] kiri dari '' P '' dalam '' G '' dan biarkan '' H '' bekerja pada Ω dengan perkalian kiri. Menerapkan Lemma ke '' H '' pada Ω, kita melihat |Ω0| ≡ |Ω| = [''G'' : ''P''] (mod ''p''). Sekarang ''p'' <math>\nmid</math> [''G'' : ''P''] menurut definisi jadi ''p'' <math>\nmid</math> |Ω0|, karenanya secara khusus |Ω0| ≠ 0 begitu ada beberapa ''gP'' ∈ Ω0. Oleh karena itu untuk beberapa '' g '' ∈ '' G '' dan ∀ '' h '' ∈ '' H '' yang kami miliki ''hgP'' = ''gP'' so ''g''−1''HgP'' = ''P'' dan oleh karena itu ''g''−1''Hg'' ≤ ''P''. Sekarang jika '' H '' adalah Sylow subgrup '' p '', |''H''| = |''P''| = |''gPg''−1| jadi ''H'' = ''gPg''−1 untuk beberapa '' g '' ∈ '' G ''.

<blockquote>'''Teorema 3''': Misalkan '' q '' menunjukkan urutan Sylow subgrup '' p '' dari grup '' P '' hingga '' G ''. Misalkan '' n p '' menunjukkan jumlah Sylow subgrup '' p '' dari '' G ''. Kemudian ''np'' = |''G'' : ''NG''(''P'')|, ''np'' <math>\mid</math> |''G''|/''q'' dan ''np'' ≡ 1 (mod ''p''), dimana ''NG''(''P'') adalah [[penormal]] dari ''P''</blockquote>

== Algoritma ==
Masalah menemukan subkelompok Sylow dari kelompok tertentu merupakan masalah penting dalam [[teori grup komputasi]].

Salah satu bukti keberadaan Sylow '' p '' - subkelompok konstruktif: jika '' H '' adalah subgrup '' p '' '' G '' dan indeks [''G'':''H''] habis dibagi '' p '', lalu normalizer ''N'' = ''NG''(''H'') dari '' H '' dalam '' G '' juga sedemikian rupa sehingga ['' N '': '' H ''] habis dibagi '' p ''. Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow '' p '' - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup-'' p '' pada '' H '' (termasuk identitas) dan mengambil elemen '' p '' - urutan daya yang terkandung dalam normalizer '' H '' tetapi tidak dalam '' H '' itu sendiri. Versi algoritmik ini (dan banyak peningkatan) dijelaskan dalam bentuk buku teks di , termasuk [[Algoritma|algoritme]] yang dijelaskan dalam . Versi ini masih digunakan dalam [[sistem aljabar komputer GAP]].

Dalam [[grup permutasi]] terbukti di (; ) bahwa Sylow '' p '' - subgrup dan normalnya dapat ditemukan di [[waktu polinomial]] dari input (derajat grup dikalikan jumlah generator). Algoritma ini dijelaskan dalam bentuk buku teks di , dan sekarang menjadi praktis karena pengakuan konstruktif dari kelompok sederhana hingga menjadi kenyataan. Secara khusus, versi dari algoritma ini digunakan dalam [[Sistem aljabar komputer magma]].

== Lihat pula ==

* [[Argumen Frattini]]
* [[Subgrup Hall]]
* [[Subgrup maksimal]]
* [[grup-p]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*

=== Bukti ===
*
*
*
*
*
*
*

=== Algorithms ===
*
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==
*
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Sylow&oldid=28370366 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28370366 (2025-11-07T07:08:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema Sylow - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28370366; atribusi sumber disertakan.