Teorema Thales - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:09:43Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.09
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[geometri]], '''teorema Thales''' menyatakan bahwa jika <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> merupakan titik-titik berbeda pada suatu [[lingkaran]] dengan garis <math>\overline{AC}</math> sebagai [[diameter]], maka [[sudut]] <math>\angle ABC</math> merupakan [[sudut siku-siku]]. Teorema Thales merupakan [[kasus khusus]] dari [[sudut keliling\|teorema sudut keliling]] dan disebut dan dibuktikan sebagai bagian dari proposisi ke-31 pada buku ketiga [[Euklides]], ''[[Euclid's Elements\|Elements]]''. Teorema ini umumnya diatributkan untuk [[Thales]], tetapi terkadang teorema ini diatributkan untuk [[Phytagoras]].		[[File:Thales'_Theorem_Simple.svg\|thumb\|right\|280px\|Thales' Theorem Simple]]

			Dalam [[geometri]], '''teorema Thales''' menyatakan bahwa jika <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> merupakan titik-titik berbeda pada suatu [[lingkaran]] dengan garis <math>\overline{AC}</math> sebagai [[diameter]], maka [[sudut]] <math>\angle ABC</math> merupakan [[sudut siku-siku]]. Teorema Thales merupakan [[kasus khusus]] dari [[sudut keliling\|teorema sudut keliling]] dan disebut dan dibuktikan sebagai bagian dari proposisi ke-31 pada buku ketiga [[Euklides]], ''[[Euclid's Elements\|Elements]]''.<ref>Thomas L. Heath. [https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/61 The Thirteen Books of Euclid's Elements]. Dover. 1956. Vol. 2 (Books 3–9). hlm. 61. ISBN 0486600890. Semula diterbitkan oleh Cambridge University Press. Edisi pertama tahun 1908, edisi kedua tahun 1926.</ref> Teorema ini umumnya diatributkan untuk [[Thales]], tetapi terkadang teorema ini diatributkan untuk [[Phytagoras]].

	== Bukti ==		== Bukti ==
Baris 6:		Baris 8:
	# [[Jumlah sudut segitiga\|Besar sudut]] dari suatu [[segitiga]] sama dengan 180°.		# [[Jumlah sudut segitiga\|Besar sudut]] dari suatu [[segitiga]] sama dengan 180°.
	# Kedua sudut pada alas dari [[segitiga sama kaki]] bernilai sama.		# Kedua sudut pada alas dari [[segitiga sama kaki]] bernilai sama.


	Oleh karena <math>\overline{OA}</math>, <math>\overline{OB}</math>, dan <math>\overline{OC}</math> sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, maka diperoleh relasi		Oleh karena <math>\overline{OA}</math>, <math>\overline{OB}</math>, dan <math>\overline{OC}</math> sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, maka diperoleh relasi
Baris 37:		Baris 38:

	=== Bukti ketiga ===		=== Bukti ketiga ===

	Misalkan <math>\Delta ABC</math> adalah segitiga dalam lingkaran, dengan <math>\overline{AB}</math> sebagai diameter lingkarannya. Konstuksikan <math>\Delta ABD</math> dengan mencerminkan <math>\Delta ABC</math> terhadap garis <math>\overline{AB}</math>, kemudian mencerminkan hasilnya lagi terhadap garis yang tegak lurus dengan garis <math>\overline{AB}</math> serta melewati titik pusat lingkarannya. Perhatikan bahwa garis <math>\overline{AC}</math> sejajar dengan garis <math>\overline{BD}</math>, dan garis <math>\overline{AD}</math> sejajar dengan garis <math>\overline{BC}</math>, sehingga bangun [[segi empat]] <math>ABCD</math> ialah [[jajar genjang]]. Oleh karena kedua garis diagonal dari jajar genjang <math>ABCD</math> juga merupakan diameter lingkaran, maka garis <math>\overline{AB}</math> <math>\overline{CD}</math> memiliki panjang yang sama, sehingga jajar genjang <math>ABCD</math> merupakan [[persegi panjang]]. Akibatnya, terbukti bahwa sudut <math>\angle ACB</math> merupakan sudut siku-siku.		Misalkan <math>\Delta ABC</math> adalah segitiga dalam lingkaran, dengan <math>\overline{AB}</math> sebagai diameter lingkarannya. Konstuksikan <math>\Delta ABD</math> dengan mencerminkan <math>\Delta ABC</math> terhadap garis <math>\overline{AB}</math>, kemudian mencerminkan hasilnya lagi terhadap garis yang tegak lurus dengan garis <math>\overline{AB}</math> serta melewati titik pusat lingkarannya. Perhatikan bahwa garis <math>\overline{AC}</math> sejajar dengan garis <math>\overline{BD}</math>, dan garis <math>\overline{AD}</math> sejajar dengan garis <math>\overline{BC}</math>, sehingga bangun [[segi empat]] <math>ABCD</math> ialah [[jajar genjang]]. Oleh karena kedua garis diagonal dari jajar genjang <math>ABCD</math> juga merupakan diameter lingkaran, maka garis <math>\overline{AB}</math> <math>\overline{CD}</math> memiliki panjang yang sama, sehingga jajar genjang <math>ABCD</math> merupakan [[persegi panjang]]. Akibatnya, terbukti bahwa sudut <math>\angle ACB</math> merupakan sudut siku-siku.

Baris 44:		Baris 44:

	Diberikan sembarang dua titik yang berbeda. [[Lokus (matematika)\|Lokus]] dari titik-titik yang [[sama jarak\|berjarak sama]] dari kedua titik tersebut ialah garis lurus yang dikenal sebagai [[garis sumbu]] dari garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Garis-garis sumbu dari sembarang dua sisi pada segitiga berpotongan pada tepat satu titik. Titik tersebut haruslah berjarak sama dari ketiga titik sudut segitiganya.		Diberikan sembarang dua titik yang berbeda. [[Lokus (matematika)\|Lokus]] dari titik-titik yang [[sama jarak\|berjarak sama]] dari kedua titik tersebut ialah garis lurus yang dikenal sebagai [[garis sumbu]] dari garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Garis-garis sumbu dari sembarang dua sisi pada segitiga berpotongan pada tepat satu titik. Titik tersebut haruslah berjarak sama dari ketiga titik sudut segitiganya.


	Salah satu cara untuk merumuskan teorema Thales ialah: jika titik pusat dari lingkaran luar segitiganya berada pada keliling segitiganya, maka segitiganya merupakan segitiga siku-siku, dan titik pusat dari lingkaran luarnya berada pada [[hipotenusa]] segitiganya.		Salah satu cara untuk merumuskan teorema Thales ialah: jika titik pusat dari lingkaran luar segitiganya berada pada keliling segitiganya, maka segitiganya merupakan segitiga siku-siku, dan titik pusat dari lingkaran luarnya berada pada [[hipotenusa]] segitiganya.
Baris 51:		Baris 50:

	=== Bukti pertama ===		=== Bukti pertama ===

	Bukti ini melibatkan proses melengkapkan segitiga siku-sikunya sehingga membentuk [[persegi panjang]] dan memperhatikan bahwa titik tengah dari persegi panjang tersebut berjarak sama dari titik-titik sudutnya, dan begitu juga titik pusat dari lingkaran luar segitiganya. Pembuktian ini menggunakan dua informasi berikut:		Bukti ini melibatkan proses melengkapkan segitiga siku-sikunya sehingga membentuk [[persegi panjang]] dan memperhatikan bahwa titik tengah dari persegi panjang tersebut berjarak sama dari titik-titik sudutnya, dan begitu juga titik pusat dari lingkaran luar segitiganya. Pembuktian ini menggunakan dua informasi berikut:
	# Sudut yang bersebelahan pada suatu [[jajar genjang]] merupakan sudut suplemen (sudut pelurus, yaitu dua sudut yang hasil jumlahnya sama dengan 180°)		# Sudut yang bersebelahan pada suatu [[jajar genjang]] merupakan sudut suplemen (sudut pelurus, yaitu dua sudut yang hasil jumlahnya sama dengan 180°)
Baris 98:		Baris 96:
	== Penerapan ==		== Penerapan ==
	=== Mengonstruksikan garis singgung lingkaran melalui suatu titik ===		=== Mengonstruksikan garis singgung lingkaran melalui suatu titik ===

	Teorema Thaless dapat digunakan untuk mengonstruksikan [[garis singgung]] lingkaran yang melewati suatu titik yang diberikan. Pada gambar di kanan, diberikan lingkaran <math>k</math> dengan titik pusat <math>O</math> dan titik <math>P</math> berada di luar <math>k</math>. Bagi dua garis <math>\overline{OP}</math> di titik <math>H</math> dan konstruksikan lingkaran <math>l</math> dengan jari-jari <math>\overline{OH}</math> dan titik pusat <math>H</math>. Misalkan <math>T</math> dan <math>T'</math> menyatakan titik-titik perpotongan lingkaran <math>k</math> dan <math>l</math>. Oleh karena <math>\overline{OP}</math> merupakan diameter lingkaran <math>l</math>, maka <math>\angle OTP</math> merupakan sudut siku-siku, sehingga garis <math>\overline{TP}</math> merupakan garis singgung lingkaran <math>k</math> yang melewati titik <math>P</math>.		Teorema Thaless dapat digunakan untuk mengonstruksikan [[garis singgung]] lingkaran yang melewati suatu titik yang diberikan. Pada gambar di kanan, diberikan lingkaran <math>k</math> dengan titik pusat <math>O</math> dan titik <math>P</math> berada di luar <math>k</math>. Bagi dua garis <math>\overline{OP}</math> di titik <math>H</math> dan konstruksikan lingkaran <math>l</math> dengan jari-jari <math>\overline{OH}</math> dan titik pusat <math>H</math>. Misalkan <math>T</math> dan <math>T'</math> menyatakan titik-titik perpotongan lingkaran <math>k</math> dan <math>l</math>. Oleh karena <math>\overline{OP}</math> merupakan diameter lingkaran <math>l</math>, maka <math>\angle OTP</math> merupakan sudut siku-siku, sehingga garis <math>\overline{TP}</math> merupakan garis singgung lingkaran <math>k</math> yang melewati titik <math>P</math>.

	=== Mencari titik pusat lingkaran ===		=== Mencari titik pusat lingkaran ===
	Teorema Thales juga dapat digunakan untuk mencari titik pusat lingkaran menggunakan suatu objek dengan sudut siku-siku, seperti [[penggaris]] segitiga siku-siku atau selembar kertas persegi panjang dengan ukuran yang lebih besar dari ukuran lingkarannya.		Teorema Thales juga dapat digunakan untuk mencari titik pusat lingkaran menggunakan suatu objek dengan sudut siku-siku, seperti [[penggaris]] segitiga siku-siku atau selembar kertas persegi panjang dengan ukuran yang lebih besar dari ukuran lingkarannya.<ref>Colin Foster. [https://books.google.com/books?id=9jASBwAAQBAJ&pg=PA183 Resources for Teaching Mathematics: 14–16]. hlm. 183. ISBN 9780826436030.</ref>
	# Sudut siku-sikunya ditempatkan pada keliling lingkarannya.		# Sudut siku-sikunya ditempatkan pada keliling lingkarannya.
	# Perpotongan kedua sisi objeknya dengan lingkarannya merupakan diameter dari lingkarannya.		# Perpotongan kedua sisi objeknya dengan lingkarannya merupakan diameter dari lingkarannya.
	# Ulangi kedua langkah sebelumnya untuk mendapatkan diameter lainnya. Perpotongan diameter-diameter ini merupakan titik pusat lingkarannya.		# Ulangi kedua langkah sebelumnya untuk mendapatkan diameter lainnya. Perpotongan diameter-diameter ini merupakan titik pusat lingkarannya.


	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==
Baris 113:		Baris 109:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	* [https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/inscribed.shtml Munching on Inscribed Angles]		* [https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/inscribed.shtml Munching on Inscribed Angles]
	* [https://www.mathopenref.com/thalestheorem.html Thales's theorem explained], dengan animasi interaktif		* [https://www.mathopenref.com/thalestheorem.html Thales's theorem explained], dengan animasi interaktif
	* [https://demonstrations.wolfram.com/ThalesTheorem/ Demos of Thales's theorem] oleh Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].		* [https://demonstrations.wolfram.com/ThalesTheorem/ Demos of Thales's theorem] oleh Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Thales&oldid=29427781 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29427781 (2026-07-07T06:39:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Thales&oldid=29427781 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29427781 (2026~~-07-~~07T06:39:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29427781; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:49:22Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29427781; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[geometri]], '''teorema Thales''' menyatakan bahwa jika <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> merupakan titik-titik berbeda pada suatu [[lingkaran]] dengan garis <math>\overline{AC}</math> sebagai [[diameter]], maka [[sudut]] <math>\angle ABC</math> merupakan [[sudut siku-siku]]. Teorema Thales merupakan [[kasus khusus]] dari [[sudut keliling|teorema sudut keliling]] dan disebut dan dibuktikan sebagai bagian dari proposisi ke-31 pada buku ketiga [[Euklides]], ''[[Euclid's Elements|Elements]]''. Teorema ini umumnya diatributkan untuk [[Thales]], tetapi terkadang teorema ini diatributkan untuk [[Phytagoras]].

== Bukti ==
=== Bukti pertama ===
Pada pembuktian ini, akan digunakan dua informasi berikut:
# [[Jumlah sudut segitiga|Besar sudut]] dari suatu [[segitiga]] sama dengan 180°.
# Kedua sudut pada alas dari [[segitiga sama kaki]] bernilai sama.

Oleh karena <math>\overline{OA}</math>, <math>\overline{OB}</math>, dan <math>\overline{OC}</math> sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, maka diperoleh relasi
<math display="block">\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}</math>
Akibatnya, <math>\Delta AOB</math> dan <math>\Delta BOC</math> merupakan segitiga sama kaki, sehingga diperoleh <math>\angle OAB = \angle OBA</math> dan <math>\angle OBC = \angle OCB</math>.

Misalkan <math>\angle OAB = \alpha</math> dan <math>\angle OBC = \beta</math>, maka ketiga sudut dari <math>\Delta ABC</math> adalah <math>\alpha</math>, <math>\alpha + \beta</math>, dan <math>\beta</math>. Dikarenakan total sudut pada segitiga itu sama dengan <math>180^{\circ}</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
\alpha + \left( \alpha + \beta \right) + \beta &= 180^{\circ} \\
2 \alpha + 2 \beta &= 180^{\circ} \\
2 \left( \alpha + \beta \right) &= 180^{\circ} \\
\alpha + \beta &= 90^{\circ}
\end{align}</math>
sehingga terbukti bahwa <math>\angle ABC</math> merupakan sudut siku-siku.

=== Bukti kedua ===
Teorema Thales juga dapat dibuktikan menggunakan [[trigonometri]]. Misalkan <math>O = \left( 0, \, 0 \right)</math>, <math>A = \left( -1, \, 0 \right)</math>, dan <math>C = \left( 1, \, 0 \right)</math>, maka <math>B</math> merupakan titik pada [[lingkaran satuan]] dengan koordinat <math>B = \left( \cos \theta, \, \sin \theta \right)</math>. Akan ditunjukkan bahwa <math>\Delta ABC</math> membentuk sudut siku-siku dengan membuktikan bahwa garis <math>\overline{AB}</math> dan <math>\overline{BC}</math> saling [[tegak lurus]] — yaitu, hasil kali dari [[kemiringan]]nya sama dengan -1. Pertama, akan dicari kemiringan dari garis <math>\overline{AB}</math> dan <math>\overline{BC}</math> sebagai berikut:
<math display="block">\begin{align}
m_{AB} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \\
m_{BC} &= \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \dfrac{- \sin \theta}{- \cos \theta + 1}
\end{align}</math>
Dengan menggunakan [[identitas Pythagoras]] (yaitu <math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>), maka didapatkan
<math display="block">\begin{align}
m_{AB} \cdot m_{BC} &= \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \cdot \dfrac{- \sin \theta}{- \cos \theta + 1} \\
&= \dfrac{- \sin^2 \theta}{- \cos^2 \theta + 1} \\
&= \dfrac{- \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} \\
&= -1
\end{align}</math>
sehingga terbukti <math>m_{AB}</math> membentuk sudut siku-siku dengan <math>m_{BC}</math>.

=== Bukti ketiga ===

Misalkan <math>\Delta ABC</math> adalah segitiga dalam lingkaran, dengan <math>\overline{AB}</math> sebagai diameter lingkarannya. Konstuksikan <math>\Delta ABD</math> dengan mencerminkan <math>\Delta ABC</math> terhadap garis <math>\overline{AB}</math>, kemudian mencerminkan hasilnya lagi terhadap garis yang tegak lurus dengan garis <math>\overline{AB}</math> serta melewati titik pusat lingkarannya. Perhatikan bahwa garis <math>\overline{AC}</math> sejajar dengan garis <math>\overline{BD}</math>, dan garis <math>\overline{AD}</math> sejajar dengan garis <math>\overline{BC}</math>, sehingga bangun [[segi empat]] <math>ABCD</math> ialah [[jajar genjang]]. Oleh karena kedua garis diagonal dari jajar genjang <math>ABCD</math> juga merupakan diameter lingkaran, maka garis <math>\overline{AB}</math> <math>\overline{CD}</math> memiliki panjang yang sama, sehingga jajar genjang <math>ABCD</math> merupakan [[persegi panjang]]. Akibatnya, terbukti bahwa sudut <math>\angle ACB</math> merupakan sudut siku-siku.

== Konvers ==
Untuk setiap segitiga (termasuk setiap [[segitiga siku-siku]]), terdapat tepat satu lingkaran yang melewati semua titik sudut segitiganya. Lingkaran tersebut dikenal sebagai [[lingkaran luar|lingkaran luar segitiga]].

Diberikan sembarang dua titik yang berbeda. [[Lokus (matematika)|Lokus]] dari titik-titik yang [[sama jarak|berjarak sama]] dari kedua titik tersebut ialah garis lurus yang dikenal sebagai [[garis sumbu]] dari garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Garis-garis sumbu dari sembarang dua sisi pada segitiga berpotongan pada tepat satu titik. Titik tersebut haruslah berjarak sama dari ketiga titik sudut segitiganya.

Salah satu cara untuk merumuskan teorema Thales ialah: jika titik pusat dari lingkaran luar segitiganya berada pada keliling segitiganya, maka segitiganya merupakan segitiga siku-siku, dan titik pusat dari lingkaran luarnya berada pada [[hipotenusa]] segitiganya.

Berdasarkan paragraf sebelumnya, maka [[Konvers (logika)|konvers]] dari teorema Thales ialah: titik pusat dari lingkaran luar segitiga siku-siku terletak pada hipotenusa segitiganya. Secara ekuivalen, hipotenusa segitiga siku-sikunya ialah diameter dari lingkaran luarnya.

=== Bukti pertama ===

Bukti ini melibatkan proses melengkapkan segitiga siku-sikunya sehingga membentuk [[persegi panjang]] dan memperhatikan bahwa titik tengah dari persegi panjang tersebut berjarak sama dari titik-titik sudutnya, dan begitu juga titik pusat dari lingkaran luar segitiganya. Pembuktian ini menggunakan dua informasi berikut:
# Sudut yang bersebelahan pada suatu [[jajar genjang]] merupakan sudut suplemen (sudut pelurus, yaitu dua sudut yang hasil jumlahnya sama dengan 180°)
# Kedua diagonal dari suatu persegi panjang memiliki panjang yang sama dan saling berpotongan pada titik tengahnya.

Diberikan segitiga <math>ABC</math>, dengan <math>\angle ABC = 90^{\circ}</math>. Misalkan <math>L_A</math> adalah garis yang melewati titik <math>A</math> dan sejajar dengan <math>\overline{BC}</math>, <math>L_C</math> adalah garis yang melewati titik <math>C</math> dan sejajar dengan <math>\overline{AB}</math>, dan <math>D</math> adalah perpotongan garis <math>L_A</math> dan <math>L_C</math>. Titik <math>D</math> belum dibuktikan terletak pada lingkaran luar segitiganya.

Perhatikan bahwa segi empat <math>ABCD</math> merupakan jajar genjang, sebab berdasarkan informasi yang diberikan, sisi-sisi yang berhadapan saling sejajar. Oleh karena sudut yang bersebelahan pada jajar genjang merupakan sudut yang saling berpelurus dan <math>\angle ABC = 90^{\circ}</math>, maka
<math display="block">\angle BAD = 90^{\circ} \qquad \angle BCD = 90^{\circ} \qquad \angle ADC = 90^{\circ}</math>
sehingga <math>ABCD</math> merupakan persegi panjang.

Misalkan <math>O</math> menyatakan titik potong antara diagonal <math>\overline{AC}</math> dan <math>\overline{BD}</math>. Akibatnya, titik <math>O</math> berjarak sama dari titik <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math>, sehingga <math>O</math> merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiganya, dan hipotenusa segitiganya (yaitu <math>\overline{AC}</math> merupakan diameter dari lingkaran luar segitiganya.

=== Bukti kedua ===
Bukti ini menggunakan dua informasi berikut:
# Dua garis membentuk sudut siku-siku [[jika dan hanya jika]] [[darab bintik]] dari kedua [[Vektor Euklides|vektor arahnya]] bernilai nol
# Kuadrat dari panjang vektor merupakan darab bintik vektor tersebut dengan dirinya sendiri.

Diberikan segitiga <math>ABC</math>, dengan <math>\angle ABC = 90^{\circ}</math>. Misalkan <math>L</math> menyatakan lingkaran dengan sisi <math>\overline{AC}</math> sebagai diameternya. [[Tanpa mengurangi keumuman]], diasumsikan titik pusat <math>L</math> berada pada [[titik nol|titik asal]]. Akibatnya,
# <math>\overrightarrow{A} = - \overrightarrow{C}</math>
# <math>(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) = 0</math>, sebab <math>\angle ABC</math> merupakan sudut siku-siku
sehingga
<math display="block">\begin{align}
0 &= (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) \\
&= (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}) \\
&= \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} \\
&= \| \overrightarrow{A} \|^2 - \| \overrightarrow{B} \|^2 \\
\| \overrightarrow{A} \|^2 &= \| \overrightarrow{B} \|^2 \\
\| \overrightarrow{A} \| &= \| \overrightarrow{B} \|
\end{align}</math>

Hal ini berarti titik <math>A</math> dan <math>B</math> berjarak sama dari titik asal, yaitu titik pusat dari <math>L</math>. Oleh karena titik <math>A</math> terletak pada <math>L</math>, maka titik <math>B</math> juga terletak pada <math>L</math>, sehingga <math>L</math> merupakan lingkaran luar segitiga <math>ABC</math>.

Perhitungan di atas membuktikan bahwa kedua arah dari teorema Thales berlaku untuk sembarang [[ruang hasil-kali dalam]].

== Perumuman dan hasil-hasil yang berhubungan ==
Seperti yang telah disebutkan pada paragraf di awal, teorema Thales merupakan kasus khusus dari [[sudut keliling|teorema sudut keliling]] :
: Diberikan tiga titik <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> pada lingkaran dengan titik pusat <math>P</math>, maka sudut <math>\angle APC</math> sama dengan dua kalinya sudut <math>\angle ABC</math>

Hasil yang berkaitan dengan teorema Thales adalah sebagai berikut:
: Diberikan tiga titik <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math>. Dikonstruksikan lingkaran <math>L</math> dengan <math>\overline{AC}</math> sebagai diameternya.
:# Jika <math>B</math> berada di luar <math>L</math>, maka <math>\angle ABC < 90^{\circ}</math>
:# Jika <math>B</math> berada pada <math>L</math>, maka <math>\angle ABC = 90^{\circ}</math>
:# Jika <math>B</math> berada di dalam <math>L</math>, maka <math>\angle ABC < 90^{\circ}</math>

== Penerapan ==
=== Mengonstruksikan garis singgung lingkaran melalui suatu titik ===

Teorema Thaless dapat digunakan untuk mengonstruksikan [[garis singgung]] lingkaran yang melewati suatu titik yang diberikan. Pada gambar di kanan, diberikan lingkaran <math>k</math> dengan titik pusat <math>O</math> dan titik <math>P</math> berada di luar <math>k</math>. Bagi dua garis <math>\overline{OP}</math> di titik <math>H</math> dan konstruksikan lingkaran <math>l</math> dengan jari-jari <math>\overline{OH}</math> dan titik pusat <math>H</math>. Misalkan <math>T</math> dan <math>T'</math> menyatakan titik-titik perpotongan lingkaran <math>k</math> dan <math>l</math>. Oleh karena <math>\overline{OP}</math> merupakan diameter lingkaran <math>l</math>, maka <math>\angle OTP</math> merupakan sudut siku-siku, sehingga garis <math>\overline{TP}</math> merupakan garis singgung lingkaran <math>k</math> yang melewati titik <math>P</math>.

=== Mencari titik pusat lingkaran ===
Teorema Thales juga dapat digunakan untuk mencari titik pusat lingkaran menggunakan suatu objek dengan sudut siku-siku, seperti [[penggaris]] segitiga siku-siku atau selembar kertas persegi panjang dengan ukuran yang lebih besar dari ukuran lingkarannya.
# Sudut siku-sikunya ditempatkan pada keliling lingkarannya.
# Perpotongan kedua sisi objeknya dengan lingkarannya merupakan diameter dari lingkarannya.
# Ulangi kedua langkah sebelumnya untuk mendapatkan diameter lainnya. Perpotongan diameter-diameter ini merupakan titik pusat lingkarannya.

== Lihat juga ==
* [[Geometri sintetis]]
* [[Invers teorema Pythagoras]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*

== Pranala luar ==
*
* [https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/inscribed.shtml Munching on Inscribed Angles]
* [https://www.mathopenref.com/thalestheorem.html Thales's theorem explained], dengan animasi interaktif
* [https://demonstrations.wolfram.com/ThalesTheorem/ Demos of Thales's theorem] oleh Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Thales&oldid=29427781 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29427781 (2026-07-07T06:39:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.