Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:56:58Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29455005; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:17:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29455005; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar]] dan [[teori bilangan]], '''teorema Wilson''' menyatakan bahwa [[bilangan asli]] <math>n > 1</math> merupakan [[bilangan prima]] [[jika dan hanya jika]] [[darab]] dari semua [[bilangan asli]] yang kurang dari <math>n</math> bernilai satu kurangnya dari suatu kelipatan <math>n</math>. Dengan menggunakan notasi [[aritmetika modular]], maka [[faktorial]] <math>(n - 1)! = 1 \times2 \times 3 \times \cdots \times (n - 1)</math> akan memenuhi [[relasi kekongruenan]]

<math display="block">(n - 1)! \equiv -1 \pmod{n}</math>

ketika <math>n</math> merupakan bilangan prima. Dengan kata lain, <math>n</math> merupakan bilangan prima jika dan hanya jika <math>(n - 1)! + 1</math> [[pembagi|habis dibagi]] oleh <math>n</math>.

== Sejarah ==
Teorema ini dinyatakan oleh [[Ibnu al-Haitsam]] . [[Edward Waring]] mengumumkan teorema tersebut pada tahun 1770 tanpa membuktikannya. Ia mengatributkan muridnya, [[John Wilson (hakim Inggris)|John Wilson]], atas penemuan tersebut. [[Joseph-Louis de Lagrange|Langrage]] memberikan bukti pertama pada tahun 1771. Terdapat bukti bahwa [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] juga menyadari kebenaran teorema tersebut satu abad sebelumnya, tetapi ia tidak pernah menerbitkannya.

== Contoh ==
Untuk setiap nilai <math>n</math> dari 2 sampai 30, tabel berikut berisi bilangan <math>(n - 1)!</math> beserta sisa pembagian saat <math>(n - 1)!</math> dibagi oleh <math>n</math>. Dalam [[aritmetika modular]], sisa dari <math>a</math> ketika dibagi oleh <math>n</math> dinotasikan sebagai <math>a \bmod n</math>. Warna latar biru digunakan untuk <math>n</math> yang bernilai prima, dan kuning untuk <math>n</math> yang bernilai komposit.

== Bukti ==
Sebagai pernyataan [[Logika bikondisional|bikondisional]] ([[jika dan hanya jika]]), maka pembuktiannya memiliki dua bagian: tunjukkan bahwa kekongruenannya ''tidak akan'' berlaku ketika <math>n</math> merupakan [[bilangan komposit]], dan tunjukkan bahwa kekongruenannya ''pasti'' berlaku saat <math>n</math> merupakan bilangan prima.

=== Modulus komposit ===
Misalkan <math>n</math> adalah bilangan komposit, maka ia habis dibagi oleh suatu bilangan prima <math>p</math>, dengan <math>2 \leq p < n</math>. Oleh karena <math>p</math> habis membagi <math>n</math>, maka terdapat suatu <math>k \in \mathbb{Z}</math> sedemikian sehingga <math>n = pk</math>. Misalkandengan dalih untuk mencari [[Pembuktian melalui kontradiksi|kontradiksi]]nilai <math>(n - 1)!</math> kongruen dengan <math>-1</math> dalam [[modulo]] <math>n</math>. Perhatikan bahwa
<math display="block">(n - 1)! + 1 = nN = (pk)N = p(kN)</math>
untuk suatu <math>N \in \mathbb{N}</math>. Akibatnya, <math>(n - 1)!</math> kongruen dengan <math>-1</math> dalam modulo <math>p</math>.

Di sisi lain, dari informasi <math>2 \leq p \leq n - 1</math>, maka salah satu faktor dari darab <math>(n - 1)! = (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1</math> ialah <math>p</math>, sehingga <math>(n - 1)! \equiv 0 \pmod{p}</math>. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awalbahwa nilai <math>(n - 1)!</math> kongruen dengan <math>-1</math> dalam modulo <math>n</math>tidak mungkin terjadi jika <math>n</math> komposit.

Lebih lanjut, jika <math>n</math> merupakan bilangan komposit, maka <math>(n - 1)!</math> akan kongruen dengan 0 dalam modulo <math>n</math>, kecuali untuk kasus <math>n = 4</math>, yaitu <math>3! \equiv 2 \pmod{4}</math>. Bukti dari pernyataan tersebut dapat dibagi menjadi dua kasus:
# Jika <math>n</math> merupakan kuadrat dari suatu bilangan prima <math>q > 2</math>, maka <math display="block">\begin{align}
2 &< q \\
2q &< q^2 = n \\
2q &< n \\
2 < q < 2q &< n
\end{align}</math> Akibatnya, <math>q</math> dan <math>2q</math> akan muncul sebagai faktor dari <math>(n - 1)! = (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1</math>, sehingga <math>(n - 1)!</math> habis dibagi oleh <math>q^2</math>.
# Jika <math>n</math> bukan merupakan kuadrat dari suatu bilangan prima, maka <math>n</math> dapat difaktorkan sebagai darab dari dua bilangan berbeda, yaitu <math>n = ab</math>, dengan <math>2 \leq a < b < n</math>. Akibatnya, <math>a</math> dan <math>b</math> akan muncul sebagai faktor dari <math>(n - 1)! = (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1</math>, sehingga <math>(n - 1)!</math> habis dibagi oleh <math>ab</math>.

=== Modulus Prima ===
Dua pembuktian berikut menggunakan fakta bahwa [[Aritmetika modular#Kelas residu|kelas-kelas residu]] modulo bilangan prima merupakan suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]]lebih tepatnya, [[Lapangan (matematika)#Sublapangan dan medan prima|medan prima]] [[medan hingga|hingga]].

==== Bukti elementer ====
Untuk <math>p = 2</math>, hasil dari teorema Wilson bersifat [[Trivialiti (matematika)|trivial]], sehingga diasumsikan bahwa <math>p</math> adalah bilangan prima [[paritas (matematika)|ganjil]]. Oleh karena kelas-kelas residu modulo <math>p</math> merupakan [[lapangan (matematika)|lapangan]], maka setiap residu tak nol <math>a</math> memiliki invers perkalian <math>a^{-1}</math> yang bersifat tunggal. Jika <math>a \equiv a^{-1} \pmod{p}</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
a &\equiv a^{-1} &\pmod{p} \\
a^2 &\equiv 1 &\pmod{p} \\
a^2 - 1 &\equiv 0 &\pmod{p} \\
p &\mid (a^2 - 1) \\
p &\mid (a - 1)(a + 1)
\end{align}</math>
sehingga berdasarkan [[lema Euclides|lema Euclid]], maka nilai <math>a</math> yang memenuhi <math>a \equiv a^{-1} \pmod{p}</math> ialah <math>a \equiv \pm 1 \pmod{p}</math>. Akibatnya, setiap faktor selain <math>\pm 1</math> dari <math>(p - 1)!</math> dapat disusun ulang menjadi <math>\tfrac{p - 3}{2}</math> pasangan sedemikian sehingga [[darab]] dari setiap pasangan akan kongruen dengan 1 modulo <math>p</math>. Alhasil, teorema Wilson terbukti.

Sebagai contoh, untuk <math>p = 11</math>, maka perhatikan bahwa
<math display="block">10! = (1 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 6) \cdot (3 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 9) \cdot (7 \cdot 8) \equiv (-1) \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \equiv -1 \pmod{11}</math>

==== Bukti menggunakan teorema kecil Fermat ====

Untuk <math>p = 2</math>, hasil dari teorema Wilson bersifat [[Trivialiti (matematika)|trivial]], sehingga diasumsikan bahwa <math>p</math> adalah bilangan prima [[paritas (matematika)|ganjil]]. Pandang [[polinomial]] berikut
<math display="block">f(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) \ldots (x - (p - 1))</math>
Perhatikan bahwa <math>f</math> memiliki [[derajat polinomial|derajat]] <math>p - 1</math>, dengan suku utama <math>x^{p - 1}</math> serta konstanta <math>(p - 1)!</math>. Nilai-nilai [[akar fungsi|pembuat nol]] dari <math>f</math> ialah <math>\left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, p - 1 \right\}</math>.

Selanjutnya, pandang polinomial
<math display="block">g(x) = x^{p - 1} - 1</math>
Perhatikan bahwa <math>g</math> memiliki derajat <math>p - 1</math>, dengan suku utama <math>x^{p - 1}</math>. Oleh karena <math>p</math> prima, maka setiap bilangan pada <math>\left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, p - 1 \right\}</math> akan [[koprima (bilangan)|relatif prima]] dengan <math>p</math>. Berdasarkan [[teorema kecil Fermat]], maka pembuat nol dari <math>g</math> dalam modulo <math>p</math> ialah <math>\left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, p - 1 \right\}</math>.

Terakhir, pandang fungsi
<math display="block">h(x) = f(x) - g(x)</math>
Perhatikan bahwa <math>h</math> memiliki derajat paling tinggi <math>p - 2</math> (sebab suku utama dari <math>f</math> dan <math>g</math> saling meniadakan) dan pembuat nol dari <math>h</math> ialah <math>\left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, p - 1 \right\}</math>. Akan tetapi, <math>h</math> tidak mungkin memiliki lebih dari <math>n - 2</math> akar, berdasarkan [[Teorema Lagrange (teori bilangan)|teorema Lagrange]]. Akibatnya, <math>h</math> haruslah identik [[0 (angka)|nol]] dalam modulo <math>p</math>. Dengan memandang konstanta pada polinomial <math>h</math>, maka diperoleh

<math display="block">(p - 1)! + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>

== Penerapan ==
=== Uji keprimaan ===
Pada penerapannya, teorema Wilson tidak berguna sebagai [[uji keprimaan]], sebab perhitungan nilai <math>(n - 1)!</math> modulo <math>n</math> merupakan hal yang [[teori kompleksitas komputasi|berat secara komputasional]] untuk bilangan <math>n</math> yang besar.

=== Residu kuadratik ===

Dengan menggunakan teorema Wilson, maka untuk setiap bilangan prima ganjil <math>p = 2n + 1</math>, ruas kiri dari

<math display="block">1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (p - 1) \equiv -1 \pmod{p}</math>

dapat disusun ulang sebagai berikut

<math display="block">\begin{align}
1 \cdot (p - 1) \cdot 2 \cdot (p - 2) \cdot 3 \cdot (p - 3) \cdot \ldots \cdot n \cdot (p - n) &\equiv -1 &&\pmod{p} \\
1 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot (-3) \cdot \ldots \cdot n \cdot (-n) &\equiv -1 &&\pmod{p}
\end{align}</math>

sehingga didapatkan

<math display="block">\begin{align}
\prod_{k \, = \, 1}^{n} \left( -1 \right)^n k^2 &\equiv -1 &&\pmod{p} \\
\prod_{k \, = \, 1}^{n} k^2 &\equiv \left( -1 \right)^{n + 1} &&\pmod{p} \\
(n!)^2 &\equiv \left( -1 \right)^{n + 1} &&\pmod{p}
\end{align}</math>

Informasi ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema terkenal:

=== Persamaan untuk bilangan prima ===
Teorema Wilson telah digunakan untuk mengonstruksikan [[Rumus bilangan prima#Rumus berdasarkan teorema Wilson|rumus bilangan prima]]. Namun, pendekatan tersebut terlalu lambat untuk kegunaan praktis.

=== Fungsi gamma -adik ===
Teorema Wilson dapat digunakan untuk mendefinisikan [[fungsi gamma p-adik|fungsi gamma -adik]].

== Generalisasi Gauss ==
[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] membuktikan bahwa

<math display="block">
\prod_{k \, = \, 1 \atop \operatorname{FPB} (n, \, k) \, = \, 1}^{n - 1} \! \! \! \! k \, \equiv \begin{cases}
-1 \pmod{n} & \text{jika} \; n = 4, \; p^N, \; 2p^N \\
\phantom{-} 1 \pmod{n} & \text{lainnya}
\end{cases}</math>

dengan <math>p</math> menyatakan bilangan prima ganjil, dan <math>N \in \mathbb{N}</math>. Dengan kata lain, darab dari semua bilangan asli yang kurang dari <math>n</math> dan relatif prima dengan <math>n</math> ialah satu kurangnya suatu kelipatan <math>n</math> ketika <math>n</math> sama dengan 4, atau perpangkatan suatu bilangan prima ganjil, atau dua kalinya perpangkatan suatu bilangan prima ganjil; untuk nilai-nilai lainnya, hasil darabnya ialah satu lebihnya suatu kelipatan <math>n</math>.

== Lihat juga ==
* [[Bilangan prima Wilson]]
* [[Tabel kekongruenan]]
* [[Konjektur Agoh–Giuga]]

== Catatan ==

== Referensi ==
''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari [[bahasa Latin]] Ciceronian Gauss ke dalam [[bahasa Inggris]] dan [[Jerman]]. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari [[timbal balik kuadratik]], penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

* Terjemahan bahasa Inggris:
* Terjemahan bahasa Jerman:
*
*

== Pranala luar ==
*
*
* Bukti [[sistem Mizar]] : http://mizar.org/version/current/html/nat_5.html#T22
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Wilson&oldid=29455005 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29455005 (2026-07-14T00:09:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema Wilson - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29455005; atribusi sumber disertakan.