Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:07:12Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29459385; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:41:13Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29459385; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[kalkulus]], '''teorema apit''' merupakan teorema yang melibatkan [[limit (matematika)|limit]] pada suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang diapit oleh dua fungsi lain sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama. Sebagai ilustrasi, dapat terlihat pada gambar di samping bahwa fungsi yang berwarna biru diapit dari atas oleh fungsi yang berwarna hijau dan di apit dari bawah oleh fungsi yang berwarna merah.

Teorema apit sering digunakan pada bidang [[kalkulus]] dan [[analisis matematika]] untuk mencari nilai limit dengan cara membandingkannya dengan dua fungsi lain yang nilai limitnya diketahui. Teorema ini pertama kali digunakan secara geometris oleh matematikawan [[Archimedes]] dan [[Eudoksos dari Knidos|Eudoksos]] untuk menghitung nilai [[Pi|π]], yang kemudian dirumuskan menggunakan notasi modern oleh [[Carl Friedrich Gauss]].

== Pernyataan ==
Teorema apit secara formal dapat dinyatakan sebagai berikut:

* Fungsi <math>f</math> dan <math>h</math> (berturut-turut) disebut sebagai [[batas bawah dan atas]] dari fungsi <math>g</math>
* Titik <math>x = c</math> tidak diharuskan berada pada [[interior (topologi)|interior]] dari <math>I</math>. Jika <math>x = c</math> adalah titik ujung dari <math>I</math>, maka limit di atas adalah [[Limit sepihak|limit kiri]] atau [[Limit sepihak|limit kanan]].
* Pernyataan serupa juga berlaku untuk selang takhingga. Sebagai contoh, jika <math>I = \left( 0, \, \infty \right)</math>, maka teorema apit dapat digunakan dengan mengambil limit saat <math>x</math> mendekati <math>\infty</math>

=== Bukti ===
==== Supremum dan Infimum ====
Menurut [[hipotesis]] di atas, maka
* <math>f(x) \leq \inf g(x)</math>, dan
* <math>\sup g(x) \leq h(x)</math>

Oleh karena <math>\inf g(x) \leq g(x) \leq \sup g(x)</math>, maka dengan mengambil limit saat <math>x</math> mendekati <math>c</math>, diperoleh rantai pertidaksamaan
:<math>\lim_{x \, \to \, c} f(x) \leq \liminf_{x \, \to \, c} g(x) \leq \lim_{x \, \to \, c} g(x) \leq \limsup_{x \, \to \, c} g(x) \leq \lim_{x \, \to \, c} h(x)</math>

Perhatikan bahwa <math>\lim_{x \, \to \, c} f(x) = L = \lim_{x \, \to \, c} h(x)</math>, sehingga rantai pertidaksamaan di atas menjadi rantai persamaan, maka dapat disimpulkan bahwa <math>\lim_{x \, \to \, c} g(x) = L</math>

==== Definisi (ε, δ) dari limit ====
Diketahui <math>\lim_{x \, \to \, c} f(x) = L</math> dan <math>\lim_{x \, \to \, c} h(x) = L</math>. Jika diberikan suatu <math>\varepsilon > 0</math>, maka
* <math>\left( \exists \delta_1 > 0 \right) \left( 0 \leq \left| x - c \right| \leq \delta_1 \right) \implies \left( \left| f(x) - L \right| < \varepsilon \right)</math>
* <math>\left( \exists \delta_2 > 0 \right) \left( 0 \leq \left| x - c \right| \leq \delta_2 \right) \implies \left( \left| h(x) - L \right| < \varepsilon \right)</math>

Oleh karena pertidaksamaan <math>\left| a \right| \leq b</math> ekuivalen dengan pertidaksamaan <math>-b \leq a \leq b</math>, dengan memilih <math>\delta = \min \left\{ \delta_1 , \, \delta_2 \right\}</math>, maka diperoleh rantai pertidaksamaan
:<math>\begin{array}{rccccccl}
& & f(x) & \leq & g(x) & \leq & h(x) & & \\
& & f(x) - L & \leq & g(x) - L & \leq & h(x) - L & & \\
- \varepsilon & \leq & f(x) - L & \leq & g(x) - L & \leq & h(x) - L & \leq & \varepsilon
\end{array}</math>

yang mengakibatkan <math>- \varepsilon \leq g(x) - L \leq \varepsilon</math> (atau menggunakan [[nilai absolut|tanda mutlak]], <math>\left| g(x) - L \right| \leq \varepsilon</math>). Sehingga, terbukti bahwa <math>\lim_{x \, \to \, c} g(x) = L</math>. [[Q.E.D.]]

== Teorema apit untuk barisan ==

Teorema ini juga dapat diterapkan pada barisan. Misalkan <math>\langle P_n \rangle</math> dan <math>\langle R_n \rangle</math> adalah barisan yang konvergen ke <math>L</math> dan <math>\langle Q_n \rangle</math> adalah suatu barisan. Jika terdapat suatu bilangan <math>k \in \mathbb{N}</math> sedemikian sehingga berlaku
:<math>P_n \leq Q_n \leq R_n</math>
untuk setiap nilai <math>n \geq k</math>, maka barisan <math>\langle Q_n \rangle</math> juga konvergen ke <math>L</math>.

=== Bukti ===
Pernyataan di atas dapat dibuktikan dengan cara serupa seperti sebelumnya. Diketahui <math>\langle P_n \rangle</math> dan <math>\langle R_n \rangle</math> sama-sama konvergen ke <math>L</math>. Jika diberikan suatu <math>\varepsilon > 0</math>, maka
* <math>\left( \exists k_1 \in \mathbb{N} \right) \left( \forall n \geq k_1 \right) \implies \left( \left| P_n - L \right| < \varepsilon \right)</math>
* <math>\left( \exists k_2 \in \mathbb{N} \right) \left( \forall n \geq k_2 \right) \implies \left( \left| R_n - L \right| < \varepsilon \right)</math>
* <math>\left( \exists k_3 \in \mathbb{N} \right) \left( \forall n \geq k_3 \right) \implies \left( P_n \leq Q_n \leq R_n \right)</math>
Oleh karena pertidaksamaan <math>\left| a \right| \leq b</math> ekuivalen dengan pertidaksamaan <math>-b \leq a \leq b</math>, dengan memilih <math>k = \max \left\{ k_1 , \, k_2, \, k_3 \right\}</math>, maka diperoleh rantai pertidaksamaan
:<math>\begin{array}{rccccccl}
& & P_n & \leq & Q_n & \leq & R_n & & \\
& & P_n - L & \leq & Q_n - L & \leq & R_n - L & & \\
- \varepsilon & \leq & P_n - L & \leq & Q_n - L & \leq & R_n - L & \leq & \varepsilon
\end{array}</math>

yang mengakibatkan <math>- \varepsilon \leq Q_n - L \leq \varepsilon</math> (atau menggunakan [[nilai absolut|tanda mutlak]], <math>\left| Q_n - L \right| \leq \varepsilon</math>). Sehingga, terbukti bahwa barisan <math>\langle Q_n \rangle</math> juga akan konvergen ke <math>L</math>.

== Contoh masalah ==

=== Contoh pertama ===

Nilai limit dari <math>\lim_{x \, \to \, 0} x^2 \sin \left( \dfrac{1}{x} \right)</math> tidak dapat dicari dengan menggunakan sifat perkalian dari limit, yaitu
<math display="block">
\lim_{x \, \to \, a} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \left( \lim_{x \, \to \, a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \, \to \, a} g(x) \right)
</math>

sebab nilai <math>\lim_{x \, \to \, 0} \sin \left( \tfrac{1}{x} \right)</math> tidak ada. Akan tetapi, perhatikan bahwa berlaku pertidaksamaan

:<math>-1 \leq \sin \theta \leq 1</math>

untuk setiap [[bilangan riil]] <math>\theta</math>. Dengan memilih <math>\theta = \dfrac{1}{x}</math>, maka didapatkan rantai pertidaksamaan

:<math>\begin{array}{rcccl}
-1 & \leq & \sin \left( \tfrac{1}{x} \right) & \leq & 1 \\
-x^2 & \leq & x^2 \sin \left( \tfrac{1}{x} \right) & \leq & x^2 \\
{\displaystyle \lim_{x \, \to \, 0} -x^2} & \leq & {\displaystyle \lim_{x \, \to \, 0} x^2 \sin \left( \tfrac{1}{x} \right)} & \leq & {\displaystyle \lim_{x \, \to \, 0} x^2} \\
0 & \leq & {\displaystyle \lim_{x \, \to \, 0} x^2 \sin \left( \tfrac{1}{x} \right)} & \leq & 0 \\
\end{array}</math>

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa <math>\lim_{x \, \to \, 0} x^2 \sin \left( \tfrac{1}{x} \right)</math>

Baris kedua diperoleh dengan mengalikan semua ruas [[pertidaksamaan]]nya dengan <math>x^2</math>. Tanda pertidaksamaan pada baris kedua tidak berubah, sebab nilai <math>x^2</math> selalu [[Tanda (matematika)|non-negatif]].

Oleh karena <math>\lim_{x \, \to \, 0} -x^2 = 0</math> dan <math>\lim_{x \, \to \, 0} x^2 = 0</math>, maka menurut teorema apit, nilai <math>\lim_{x \, \to \, 0} x^2 \sin \left( \tfrac{1}{x} \right)</math> haruslah 0 juga.

=== Contoh kedua ===

Salah satu contoh yang paling terkenal mengenai pencarian limit melalui proses penghimpitan adalah pembuktian nilai
<math display="block">\lim_{x \, \to \, 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \text{dan} \qquad \lim_{x \, \to \, 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0</math>

Untuk membuktikan hasil pertama, dapat dengan mudah terlihat (dengan menggunakan ilustrasi geometris di bagian kanan) bahwa

<math display="block"> \text{Luas segitiga } ADB \, \leq \, \text{Luas juring } ADB \, \leq \, \text{Luas segitiga } ADF</math>

sehingga diperoleh rantai pertidaksamaan
<math display="block">\begin{array}{rcccl}
\frac{1}{2} \cdot a_{ADB} \cdot t_{ADB} & \leq & k \cdot \pi r^2 & \leq & \frac{1}{2} \cdot a_{ADF} \cdot t_{ADF} \\ [4pt]
\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x & \leq & \frac{x}{2 \pi} \cdot \pi (1)^2 & \leq & \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x \\ [4pt]
\sin x & \leq & x & \leq & \frac{\sin x}{\cos x} \\ [4pt]
1 & \leq & \frac{x}{\sin x} & \leq & \frac{1}{\cos x} \\ [4pt]
\frac{1}{(1)} & \geq & \frac{1}{\left( \tfrac{x}{\sin x} \right)} & \geq & \frac{1}{\left( \tfrac{1}{\cos x} \right)} \\ [4pt]
1 & \geq & \frac{\sin x}{x} & \geq & \cos x
\end{array}</math>

untuk nilai <math>x</math> yang cukup dekat dengan <math>0</math>. Oleh karena [[Sinus dan kosinus|fungsi kosinus]] <math>\left( \cos x \right)</math> dan [[fungsi sinc]] <math>\left( \frac{\sin x}{x} \right)</math> sama-sama merupakan [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi genap]], maka pertidaksamaan di atas juga berlaku untuk nilai <math>x</math> negatif. Dengan mengambil nilai [[limit (matematika)|limit]] saat <math>x</math> mendekati <math>0</math>, maka didapatkan <math>\lim_{x \, \to \, 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>

Untuk membuktikan hasil kedua, dengan menggunakan ilustrasi yang sama, perhatikan bahwa <math>\overline{\text{AB}}</math> dan <math>\overline{\text{AD}}</math> sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, sehingga segitiga <math>\text{ABD}</math> merupakan segitiga sama kaki. Oleh karena <math>\angle BAD = x</math>, maka didapatkan <math>\angle ADB = \frac{1}{2} (360^{\circ} - x)</math>. Akibatnya,
:<math>\angle EBD = \frac{x}{2}</math>

Sehingga,
:<math>\begin{array}{rcccl}
0 & \leq & \overline{\text{DB}} & \leq & \overset{DB} \\
0 & \leq & \overline{\text{DB}} & \leq & x \\
0 & \leq & \dfrac{1}{x} & \leq & \dfrac{1}{(\overline{\text{DB}})} \\
0 & \leq & \dfrac{(\overline{\text{DE}})}{x} & \leq & \dfrac{(\overline{\text{DE}})}{(\overline{\text{DB}})} \\
0 & \leq & \dfrac{1 \, - \, \cos x}{x} & \leq & \sin \left( \frac{x}{2} \right) \\
\end{array}</math>

untuk nilai <math>x</math> positif yang cukup dekat dengan <math>0</math>. Oleh karena fungsi <math>\frac{1 \, - \, \cos x}{x}</math> dan [[Sinus dan kosinus|fungsi sinus]] <math>\sin \left( \tfrac{x}{2} \right)</math> sama-sama merupakan [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi ganjil]], maka pertidaksamaan di atas akan menjadi

:<math>\sin \left( \tfrac{x}{2} \right) \leq \frac{1 \, - \, \cos x}{x} \leq 0</math>

yang berlaku untuk nilai <math>x</math> negatif yang cukup dekat dengan <math>0</math>. Dengan mengambil nilai [[limit (matematika)|limit]] saat <math>x</math> mendekati <math>0</math> [[Limit sepihak|dari kiri]] dan [[Limit sepihak|dari kanan]], maka didapatkan <math>\lim_{x \, \to \, 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0</math>

Dengan menggunakan [[identitas Pythagoras]] beserta informasi <math>\lim_{x \, \to \, 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math> yang telah diperoleh sebelumnya, maka didapatkan
:<math>\begin{align}
\lim_{x \, \to \, 0} \frac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{x \, \to \, 0} \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \\
&= \lim_{x \, \to \, 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} \\
&= \lim_{x \, \to \, 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)} \\
&= \lim_{x \, \to \, 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x} \\
&= \left( \lim_{x \, \to \, 0} \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \lim_{x \, \to \, 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right) \\
&= 1 \cdot 0
\end{align}</math>

Kedua nilai limit ini digunakan untuk membuktikan turunan dari fungsi sinus adalah fungsi kosinus.

=== Contoh ketiga ===

Proses penghimpitan juga dapat digunakan untuk membuktikan
<math display="block">\frac{\text{d}}{\text{d} \theta} \tan \theta = \sec^2 \theta</math>

Berikut adalah penjelasan ilustrasi di bagian kanan :
* Konstruksikan [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada [[Titik nol|titik asal]] beserta garis <math>x = 1</math> dan garis <math>y = \left( \tan \theta \right) x</math>, untuk suatu parameter <math>\theta</math>.
** Dengan bantuan [[identitas Pythagoras]], maka diperoleh jarak titik <math>(0, \, 0)</math> dengan titik <math>(1, \, \tan \theta)</math> adalah <math>\sec \theta</math>.
* Kemudian, dikonstruksikan lingkaran berjari-jari <math>\sec \theta</math> dengan pusat yang sama.
* Lakukan hal serupa untuk sudut <math>\theta + \Delta \theta</math>

Perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari <math>\sec \theta</math>. Saat <math>\Delta \theta</math> mendekati <math>0</math>, bagian busur lingkaran nya akan mendekati garis lurus, sehingga luas juringnya dapat didekati dengan bangun segitiga. Jika panjang busurnya (yaitu <math>\sec \theta \cdot \Delta \theta</math>) dijadikan sebagai alas segitiga, maka tinggi segitiganya adalah jari-jari lingkaran (yaitu <math>\sec \theta</math>), sehingga diperoleh

<math display="block">L_1 = \frac{1}{2} \sec^2 \theta \, \Delta \theta</math>

Sekarang perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari <math>\sec \theta + \Delta \theta</math>. Dengan [[argumentasi]] serupa, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa luas juringnya (yang dinotasikan dengan <math>L_2</math>) adalah

<math display="block">L_2 = \frac{1}{2} \sec^2 (\theta + \Delta \theta) \, \Delta \theta</math>

Bangun yang akan dihimpit oleh <math>L_1</math> dan <math>L_2</math> adalah segitiga yang memiliki titik sudut pada koordinat <math>(0, \, 0), \, (1, \, \tan \theta)</math>, dan <math>(1, \, \tan (\theta + \Delta \theta))</math>. Jika tinggi segitiganya adalah <math>1</math> satuan, maka panjang alasnya adalah <math>\tan (\theta + \Delta \theta) - \tan \theta</math>, sehingga luas segitiganya ialah

<math display="block">L = \frac{1}{2} \left( \tan (\theta + \Delta \theta) - \tan \theta \right)</math>

Akibatnya, diperoleh rantai pertidaksamaan

<math display="block">\begin{array}{rcccl}
L_1 & \leq & L & \leq & L_2 \\
\frac{1}{2} \sec^2 \theta \, \Delta \theta & \leq & \frac{1}{2} \left( \tan (\theta + \Delta \theta) - \tan \theta \right) & \leq & \frac{1}{2} \sec^2 (\theta + \Delta \theta) \, \Delta \theta \\
\sec^2 \theta & \leq & \dfrac{\tan (\theta + \Delta \theta) - \tan \theta}{\Delta \theta} & \leq & \sec^2 (\theta + \Delta \theta)
\end{array}</math>

dengan asumsi bahwa <math>\Delta \theta > 0</math>. Apabila <math>\Delta \theta < 0</math>, maka didapatkan
<math display="block">\sec^2 (\theta + \Delta \theta) \leq \frac{\tan \theta - \tan (\theta + \Delta \theta)}{\Delta \theta} \leq \sec^2 \theta</math>

Pada kedua kasus di atas, [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] pertama dan ketiga sama-sama mendekati <math>\sec^2 \theta</math> saat <math>\Delta \theta</math> mendekati <math>0</math>, sedangkan ekspresi di tengah akan mendekati <math>\tfrac{\text{d}}{\text{d} \theta} \tan \theta</math> saat <math>\Delta \theta</math> mendekati <math>0</math>, sehingga terbukti bahwa nilai <math>\tfrac{\text{d}}{\text{d} \theta} \tan \theta = \sec^2 \theta</math> menggunakan teorema apit.

=== Contoh keempat ===
Teorema apit masih dapat digunakan pada [[kalkulus multivariabel]], namun batas bawah (dan batas atas) fungsinya harus berada di bawah (dan di atas) nilai fungsinya untuk setiap persekitaran titik yang akan diselidiki, bukan untuk suatu lintasan tertentu saja. Misalnya, nilai

<math display="block">\lim_{(x, \, y) \, \to \, (0, \, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}</math>

terbatas ke atas oleh fungsi <math>f(x, \, y) = |y|</math> dan terbatas ke bawah oleh fungsi <math>f(x, \, y) = - |y|</math> untuk setiap titik pada persekitaran <math>(0, \, 0)</math>.

Perhatikan bahwa <math>y^2 \geq 0</math> untuk setiap [[bilangan riil]] <math>y</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{array}{rcccl}
& & 0 & \leq & y^2 \\
0 & \leq & x^2 & \leq & x^2 + y^2 \\
0 & \leq & \dfrac{x^2}{x^2 + y^2} & \leq & 1
\end{array}</math>

Dengan menggunakan pertidaksamaan <math>-|y| \leq y \leq |y|</math> yang berlaku untuk setiap [[bilangan riil]] <math>y</math>, maka didapatkan
<math display="block">- |y| \leq \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \leq |y|</math>

Oleh karena <math>\lim_{(x, \, y) \, \to \, (0, \, 0)} - |y| = 0</math> dan <math>\lim_{(x, \, y) \, \to \, (0, \, 0)} |y| = 0</math>, maka menurut teorema apit,

<math display="block">\lim_{(x, \, y) \, \to \, (0, \, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0</math>

== Referensi ==

== Pranala luar ==
*
* [http://demonstrations.wolfram.com/SqueezeTheorem/ Teorema Apit] by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://proofwiki.org/wiki/Squeeze_Theorem Teorema Apit] pada ProofWiki.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+apit&oldid=29459385 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29459385 (2026-07-14T22:41:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema apit - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29459385; atribusi sumber disertakan.