Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29314518; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:47:27Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29314518; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''teorema dasar aritmetika''' (dikenal juga sebagai '''teorema fundamental aritmetika''', '''teorema pemfaktoran tunggal''', '''teorema faktorisasi tunggal''', dan '''teorema faktorisasi prima''') menyatakan bahwa setiap [[bilangan asli]] <math>n > 1</math> memenuhi tepat satu dari dua pernyataan berikut:
# <math>n</math> merupakan [[bilangan prima]].
# <math>n</math> dapat dinyatakan secara tunggal sebagai [[darab]] dari bilangan-bilangan prima, dengan urutan perkalian faktor-faktornya diabaikan.
Sebagai contoh,
<math display="block">1200 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 3 \cdot (5 \cdot 5) = 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = \ldots</math>

Teorema ini menyatakan dua hal dari contoh di atas:
# bahwa 1200 ''dapat'' direpresentasikan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dan
# terlepas dari bagaimanapun penyusunannya, pasti terdapat tepat empat bilangan 2, satu bilangan 3, dua bilangan 5, dan tidak ada bilangan prima lain dalam darabnya.

Persyaratan bahwa faktor-faktornya merupakan bilangan prima adalah hal yang diperlukan: [[faktorisasi]] dengan menggunakan [[bilangan komposit]] mungkin saja tidak tunggal. Sebagai contoh, <math>12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4</math>.

Dengan menggunakan konvensi standar untuk [[Perkalian#Perkalian barisan|darab barisan]], maka isi pernyataan teorema dasar aritmetika ialah ''setiap bilangan asli dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan urutan perkalian tidak diperhatikan''.

Teorema ini merupakan salah satu dari [[Bilangan prima#Primalitas dari 1|alasan utama mengapa 1 tidak dipandang sebagai bilangan prima]]: jika 1 merupakan bilangan prima, maka [[faktorisasi prima]] dari sembarang bilangan asli tidak akan bersifat tunggal. Misalnya, <math>19 = 19 \cdot 1 = 19 \cdot 1 \cdot 1 = \ldots</math>

Teorema ini dapat diperumum menjadi [[struktur aljabar]] yang dikenal sebagai [[daerah faktorisasi tunggal]], termasuk [[daerah ideal utama]], [[daerah Euclid]], dan [[gelanggang polinomial]] atas suatu [[lapangan (matematika)|lapangan]]. Akan tetapi, teorema ini tidak berlaku untuk [[bilangan bulat aljabar]]. Kegagalan dari faktorisasi tunggal ini merupakan salah satu alasan dari sulitnya pembuktian [[Teorema Terakhir Fermat|teorema terakhir Fermat]]. Penggunaan faktorisasi tunggal secara implisit pada gelanggang bilangan bulat aljabar merupakan letak kesalahan dari banyak bukti keliru yang ditulis semasa 358 tahun antara pernyataan [[Pierre de Fermat|Fermat]] dan [[Bukti Wiles mengenai Teorema Terakhir Fermat|bukti Wiles]].

== Sejarah ==
Teorema dasar aritmetika dapat diturunkan dari Buku VII, [[Teorema#Terminologi|proposisi]] 30, 31, dan 32, serta Buku IX, proposisi 14 dari ''[[Elemen Euklides|Elements]]'' karya [[Euklides|Euclid]].

(Dalam terminologi modern: jika suatu bilangan prima <math>p</math> [[pembagi#Definisi|habis membagi]] darab <math>ab</math>, maka <math>p</math> habis membagi <math>a</math> atau <math>p</math> habis membagi <math>b</math> atau keduanya.) Proposisi 30 dikenal sebagai [[lema Euclides|lema Euclid]], dan menjadi kunci dari pembuktian teorema dasar aritmetika.

(Dalam terminologi modern: setiap bilangan asli yang lebih dari satu akan habis dibagi oleh suatu bilangan prima.) Proposisi 31 dibuktikan menggunakan teknik [[pembuktian melalui penurunan takhingga]].

Proposisi 32 dapat diturunkan melalui proposisi 31, yang membuktikan bahwa penguraiannya dimungkinkan terjadi.

(Dalam terminologi modern: [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari beberapa bilangan prima bukanlah kelipatan dari sembarang bilangan prima lainnya). Proposisi 14 pada Buku IX dapat diturunkan dari proposisi 30 pada Buku VII, yang membuktikan sebagian bahwa penguraiannya bersifat tunggal suatu poin yang ditekankan oleh [[André Weil]]. Dalam proposisi ini, semua pangkatnya bernilai sama dengan satu, sehingga kasus umumnya belum terbukti.

Selagi [[Euklides|Euclid]] mengambil langkah pertama menuju kewujudan dari faktorisasi prima, [[Kamāl al-Dīn al-Fārisī]] mengambil langkah terakhir dan menyatakan teorema dasar aritmetika untuk pertama kalinya.

Artikel 16 dari ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' karya [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] adalah bukti pertama dari bagian ketunggalan pada teorema dasar aritmetika.

== Penerapan ==
=== Bentuk kanonik dari bilangan asli ===

Setiap bilangan asli <math>n > 1</math> dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari perpangkatan bilangan prima
<math display="block">n = (p_1)^{e_1} \cdot (p_2)^{e_2} \cdot (p_3)^{e_3} \cdot \ldots \cdot (p_k)^{e_k} = \prod_{i \, = \, 1}^{k} (p_i)^{e_i}</math>
dengan <math>p_1 < p_2 < p_3 < \ldots < p_k</math> merupakan bilangan-bilangan prima dan setiap <math>e_i</math> merupakan bilangan asli nonnegatif. Representasi ini umumnya diperluas menjadi seluruh bilangan asli (termasuk 1) dengan konvensi bahwa nilai dari [[darab kosong]] ialah 1 (darab kosong berpadanan dengan nilai <math>k = 0</math>).

Representasi ini disebut '''representasi kanonik''' dari <math>n</math>, '''[[bentuk kanonik]]''' dari <math>n</math>, atau '''bentuk standar''' dari <math>n</math>. Sebagai contoh,

<math display="block">\begin{align}
999 &= 3^3 \cdot 37 \\
1000 &= 2^3 \cdot 5^3 \\
1001 &= 7 \cdot 11 \cdot 13
\end{align}</math>

Faktor <math>p_0 = 1</math> dapat dimasukkan tanpa mengubah nilai dari <math>n</math>. Misalnya, <math>1000 = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^3</math>. Secara umum, setiap bilangan asli dapat secara tunggal dinyatakan sebagai [[darab takhingga]] dari semua bilangan prima positif, yaitu
<math display="block">n = 2^{e_1} \cdot 3^{e_2} \cdot 5^{e_3} \cdot 7^{e_4} \cdot \ldots = \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{e_i}</math>
dengan banyaknya <math>e_i</math> yang bernilai positif ialah [[himpunan hingga|berhingga]], dan sisanya bernilai [[0 (angka)|nol]].

Memperbolehkan pangkat negatif akan memberikan bentuk kanonik dari [[bilangan rasional]] positif.

=== Operasi aritmetika ===
Bentuk kanonik dari darab, [[faktor persekutuan terbesar]] (FPB), dan [[kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK) dari dua bilangan asli <math>a</math> dan <math>b</math> dapat dinyatakan dalam bentuk kanonik dari <math>a</math> dan <math>b</math> itu sendiri, yaitu:

<math display="block">\begin{align}
a \cdot b &= 2^{a_1 + b_1} \cdot 3^{a_2 + b_2} \cdot 5^{a_3 + b_3} \cdot 7^{a_4 + b_4} \cdot \ldots \\
a \cdot b &= \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{a_i + b_i} \\
\\
\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right) &= 2^{\min \left( a_1, \, b_1 \right)} \cdot 3^{\min \left( a_2, \, b_2 \right)} \cdot 5^{\min \left( a_3, \, b_3 \right)} \cdot 7^{\min \left( a_4, \, b_4 \right)} \cdot \ldots \\
\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right) &= \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{\min \left( a_i, \, b_i \right)} \\
\\
\operatorname{KPK} \! \left( a, \, b \right) &= 2^{\max \left( a_1, \, b_1 \right)} \cdot 3^{\max \left( a_2, \, b_2 \right)} \cdot 5^{\max \left( a_3, \, b_3 \right)} \cdot 7^{\max \left( a_4, \, b_4 \right)} \cdot \ldots \\
\operatorname{KPK} \! \left( a, \, b \right) &= \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{\max \left( a_i, \, b_i \right)}
\end{align}</math>

Akan tetapi, proses [[faktorisasi bilangan bulat|memfaktorkan bilangan bulat]]terutama bilangan-bilangan yang besarjauh lebih sulit dibandingkan menghitung darab, FPB, maupun KPK, sehingga pada penerapannya, rumus-rumus di atas memiliki penggunaan yang cukup terbatas.

=== Fungsi aritmetika ===

Banyak fungsi aritmetika yang didefinisikan menggunakan bentuk kanonik. Lebih spesifiknya, nilai [[fungsi aditif]] dan [[fungsi perkalian]] dari bilangan asli <math>n</math> ditentukan oleh nilai pangkat dari bilangan prima yang muncul dari bentuk kanonik dari <math>n</math>.

== Bukti ==
Bukti dari sifat ketunggalan faktorisasi prima menggunakan [[lema Euclides|lema Euclid]] (''Elements'' VII, proposisi 30): Jika suatu bilangan prima [[pembagi#Definisi|habis membagi]] darab dari dua bilangan asli, maka bilangan prima tersebut habis membagi salah satu dari kedua bilangan asli tersebut.

=== Kewujudan ===
Diambil sembarang bilangan asli <math>k > 1</math>. Akan [[Induksi struktural|diasumsikan secara induktif]] bahwa setiap bilangan asli yang nilainya kurang dari <math>k</math> antara berupa bilangan prima, atau merupakan darab dari bilangan-bilangan prima. Jika <math>k</math> merupakan bilangan prima, maka pernyataan terbukti.

Jika <math>k</math> [[bilangan komposit|bukan merupakan bilangan prima]], maka terdapat bilangan asli <math>a</math> dan <math>b</math> sedemikian sehingga <math>n = a \cdot b</math>, dengan <math>1 < a \leq b < k</math>. Berdasarkan hipotesis induktif, maka <math>a</math> dan <math>b</math> dapat berupa bilangan prima, atau dapat dinyatakan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima.
<math display="block">\begin{align}
a &= p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \\
b &= q_1 \cdot q_2 \cdot \ldots \cdot q_N
\end{align}</math>
Akibatnya, diperoleh
<math display="block">k = a \cdot b = (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) \cdot (q_1 \cdot q_2 \cdot \ldots \cdot q_N)</math>
yang menunjukkan bahwa <math>k</math> merupakan darab dari bilangan-bilangan prima.

=== Ketunggalan ===
Diambil sembarang <math>k \in \mathbb{N}</math> beserta dua faktorisasi primanya, yaitu
<math display="block">k = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N</math>
dengan <math>n \leq N</math> dan setiap <math>p_m</math> serta <math>q_m</math> merupakan bilangan prima. Oleh karena <math>p_1</math> habis membagi <math>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n</math>, maka <math>p_1</math> habis membagi <math>q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N</math>. Berdasarkan [[lema Euclides|lema Euclid]], maka terdapat suatu <math>j \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, N \right\}</math> sedemikian sehingga <math>p_1</math> habis membagi <math>q_j</math>. [[Tanpa mengurangi keumuman]], diasumsikan bahwa <math>p_1</math> habis membagi <math>q_1</math>. Oleh karena <math>p_1</math> dan <math>q_1</math> merupakan bilangan prima, maka <math>p_1 = q_1</math>. Akibatnya, diperoleh
<math display="block">p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot \ldots \cdot p_n = q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 \cdot \ldots \cdot q_N</math>

Dengan proses serupa, perhatikan bahwa <math>p_2</math> habis membagi <math>p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n</math>. Akibatnya, <math>p_2</math> habis membagi <math>q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N</math>. Berdasarkan lema Euclid, maka terdapat suatu <math>j \in \left\{ 2, \, 3, \, \ldots, \, N \right\}</math> sedemikian sehingga <math>p_2</math> habis membagi <math>q_j</math>. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, diasumsikan bahwa <math>p_2</math> habis membagi <math>q_2</math>. Oleh karena <math>p_2</math> dan <math>q_2</math> merupakan bilangan prima, maka <math>p_2 = q_2</math>. Akibatnya, didapatkan
<math display="block">p_3 \cdot p_4 \cdot \ldots \cdot p_n = q_3 \cdot q_4 \cdot \ldots \cdot q_N</math>

Jika <math>n < N</math>, maka proses ini akan berakhir pada persamaan
<math display="block">1 = p_{n + 1} \cdot p_{n + 2} \cdot \ldots \cdot p_N</math>
yang jelas mustahil terjadi, sebab setiap bilangan prima akan memenuhi pertidaksamaan <math>p \geq 2</math>, sehingga [[ruas dari suatu persamaan|ruas kanan]] tidak mungkin sama dengan satu. Akibatnya, <math>n = N</math>.

Oleh karena <math>n = N</math>, maka berlaku
<math display="block">\begin{align}
p_1 &= q_1 \\
p_2 &= q_2 \\
p_3 &= q_3 \\
&\vdots \\
p_n &= q_N
\end{align}</math>
yang berarti bahwa <math>k</math> memiliki faktorisasi prima yang bersifat tunggal.

=== Ketunggalan tanpa lema Euclid ===
Teorema dasar aritmetik juga dapat dibuktikan tanpa menggunakan lema Euclid. Bukti berikut merupakan [[pembuktian melalui kontradiksi]] yang terinspirasi dari versi orisinal dari [[algoritma Euklides|algoritma Euclid]].

Andaikan [[himpunan (matematika)|himpunan]] semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal bukan merupakan [[himpunan kosong]], maka berdasarkan [[prinsip urutan rapi]], terdapat suatu bilangan asli terkecil <math>k</math> yang memiliki setidaknya dua faktorisasi prima, yaitu
<math display="block">k = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N</math>
dengan <math>n \leq N</math> dan setiap <math>p_i</math> serta <math>q_i</math> merupakan bilangan prima. Hal ini mengakibatkan bahwa <math>k</math> (jika ada) merupakan [[bilangan komposit]] yang nilainya lebih dari <math>1</math>.

Andaikan terdapat suatu <math>i \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, n \right\}</math> dan <math>j \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, N \right\}</math> sedemikian sehingga <math>p_i = q_j</math>, maka terdapat suatu bilangan asli <math>k' = \tfrac{k}{p_i} = \tfrac{k}{q_j}</math> yang nilainya kurang dari <math>k</math>, tetapi faktorisasi primanya tidak tunggal. Namun, hal ini mustahil terjadi, sebab <math>k</math> adalah bilangan asli ''terkecil'' yang memiliki sifat tersebut. Akibatnya, setiap <math>p_i</math> harus berbeda dengan setiap <math>q_j</math>. [[Tanpa mengurangi keumuman]], diasumsikan bahwa <math>p_1 < q_1</math> dengan menukar dua faktorisasinya, jika diperlukan.

Didefinisikan
<math display="block">\begin{align}
P &= p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n \\
Q &= q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N
\end{align}</math>
sehingga diperoleh <math>k = p_1 \cdot P = q_1 \cdot Q</math>. Oleh karena <math>p_1 < q_1</math>, maka <math>Q < P</math>. Tinjau bilangan <math>p_1 \cdot (P - Q)</math>, yaitu

<math display="block">\begin{align}
p_1 \cdot (P - Q) &= (p_1 \cdot P) - p_1 \cdot Q \\
&= k - p_1 \cdot Q \\
&= (q_1 \cdot Q) - p_1 \cdot Q \\
&= (q_1 - p_1) \cdot Q
\end{align}</math>

Jelas bahwa <math>k - p_1 \cdot Q < k</math>. Oleh karena <math>k</math> adalah bilangan asli terkecil yang memiliki faktorisasi prima yang tidak tunggal, maka setiap bilangan asli yang kurang dari <math>k</math> memiliki faktorisasi prima yang tunggal. Berdasarkan persamaan
<math display="block">p_1 \cdot (P - Q) = (q_1 - p_1) \cdot Q</math>
maka <math>p_1</math> harus muncul sebagai faktor dari <math>q_1 - p_1</math> atau <math>Q</math>.
# andaikan <math>p_1</math> merupakan faktor dari <math>q_1 - p_1</math>, maka <math>p_1</math> juga merupakan faktor dari <math>q_1</math>. Namun, hal ini mustahil terjadi, sebab diketahui bahwa <math>p_1</math> dan <math>q_1</math> merupakan bilangan prima yang berbeda.
# jelas bahwa <math>Q < k</math>, sehingga <math>Q</math> memiliki faktorisasi prima yang tunggal. Oleh karena <math>p_1</math> haruslah berbeda dengan setiap <math>q_m</math>, maka <math>p_1</math> mustahil menjadi faktor dari <math>Q</math>.
Berdasarkan kedua kasus di atas, maka pernyataan "<math>p_1</math> harus muncul sebagai faktor dari <math>q_1 - p_1</math> atau <math>Q</math>" bersifat [[kontradiksi|kontradiktif]], sehingga pernyataan "himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal bukan merupakan himpunan kosong" bernilai salah. Dengan kata lain, himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal merupakan himpunan kosong, yang berarti bahwa setiap bilangan asli memiliki faktorisasi prima yang tunggal.

== Perumuman ==

Perumuman pertama dari teorema dasar aritmetika ditemukan dalam [[monografi]] kedua Gauss (1832) dalam [[timbal balik kuartik]]. Paper ini memperkenalkan apa yang sekarang disebut sebagai [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] [[bilangan bulat Gauss]], yaitu himpunan seluruh [[bilangan kompleks]] <math>a + bi</math>, dengan <math>a</math>, <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Gelanggang ini ditulis sebagai <math>\mathbb{Z}[i]</math>. Gelanggang ini memiliki empat [[unit (teori gelanggang)|unit]], yaitu <math>\pm 1</math> dan <math>\pm i</math>. Gauss berhasil menunjukkan bahwa setiap bilangan tak nol dan tak unit berada pada tepat satu kategori, yaitu bilangan prima dan bilangan komposit. Lebih lanjut, Gauss juga menunjukkan bahwa setiap bilangan komposit pada <math>\mathbb{Z}[i]</math> juga dapat secara tunggal dinyatakan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan mengabaikan urutan perkalian serta mengabaikan perkalian oleh unit.

Serupa seperti Gauss, [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]] memperkenalkan gelanggang <math>\mathbb{Z}[\omega]</math> pada tahun 1844 ketika mempelajari [[timbal balik kubik]], dengan <math>\omega = - \tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} i</math>, yaitu [[akar satuan|akar satuan primitif]] ke-3. Himpunan ini dikenal sebagai gelanggang [[bilangan bulat Eisenstein]], dan Eisenstein membuktikan bahwa gelanggang ini memiliki enam unit, yaitu <math>\pm 1</math>, <math>\pm \omega</math>, dan <math>\pm \omega^2</math>, serta setiap bilangan Eisenstein memiliki faktorisasi yang tunggal.

Namun, sifat faktorisasi tunggal tidak selalu berlaku. Misalnya dalam gelanggang <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math>, perhatikan bahwa

<math display="block">6 = 2 \cdot 3 = \left( 1 + i \sqrt{5} \right) \left( 1 - i \sqrt{5} \right)</math>

Contoh-contoh seperti ini membuat gagasan "bilangan prima" akhirnya dimodifikasi. Dapat dibuktikan bahwa jika setiap faktor di atas dapat dinyatakan sebagai darab dari dua bilangan pada <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math> (misalnya <math>3 = a \cdot b</math>), maka salah satu dari kedua bilangan tersebut merupakan unit pada <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math>. Ini adalah definisi tradisional dari "bilangan prima". Selain itu, dapat dibuktikan bahwa lema Euclid tidak berlaku pada faktorisasi di atas. Misalnya, walaupun 2 habis membagi <math>\left( 1 + i \sqrt{5} \right) \left( 1 - i \sqrt{5} \right)</math>, tetapi 2 tidak habis membagi <math>1 + i \sqrt{5}</math> maupun [[konjugat kompleks|konjugatnya]]. Dalam [[teori bilangan aljabar]], 2 disebut sebagai [[elemen tak tereduksi]] pada <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math> (sebab 2 hanya habis dibagi oleh unit pada <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math> atau oleh dirinya sendiri), tetapi bukan merupakan [[elemen prima]] pada <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math> (jika 2 habis membagi suatu darab, maka 2 juga harus membagi salah satu faktor pada darabnya). Himpunan <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math> perlu disinggung, sebab 2 merupakan elemen prima sekaligus elemen tereduksi pada <math>\mathbb{Z}</math>. Dengan definisi ini, maka dapat dibuktikan bahwa setiap elemen prima pada [[ranah integral|daerah integral]] merupakan elemen tak tereduksi. Lema klasik dari Euclid dapat dinyatakan ulang sebagai "dalam gelanggang bilangan bulat <math>\mathbb{Z}</math>, setiap elemen tak tereduksi merupakan elemen prima". Hal ini juga berlaku pada <math>\mathbb{Z}[i]</math> dan <math>\mathbb{Z}[\omega]</math>, tetapi tidak pada <math>\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]</math>.

Gelanggang yang hasil faktorisasinya berupa elemen-elemen tak tereduksi yang [[pada dasarnya tunggal]] disebut sebagai [[daerah faktorisasi tunggal]]. Contoh-contoh penting dari daerah faktorisasi tunggal diantaranya ialah [[gelanggang polinomial]] atas bilangan bulat atau atas suatu [[lapangan (matematika)|lapangan]], [[daerah Euclid]], dan [[daerah ideal utama]].

Pada tahun 1843, [[Ernst Kummer|Kummer]] memperkenalkan konsep [[bilangan ideal]], yang kemudian dikembangkan lebih jauh oleh [[Richard Dedekind|Dedekind]] (1876) menjadi teori modern dari [[ideal (teori gelanggang)|ideal]], yaitu [[himpunan bagian]] spesial dari gelanggang. Operasi perkalian didefinisikan untuk ideal, dan gelanggang yang memiliki faktorisasi tunggal disebut sebagai [[daerah Dedekind]].

== Lihat juga ==
* [[Faktorisasi bilangan bulat]]
* [[Daftar teorema dengan sebutan dasar]]

== Catatan ==

== Rujukan ==

== Referensi ==

''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari [[bahasa Latin]] Ciceronian Gauss ke dalam [[bahasa Inggris]] dan [[Jerman]]. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari [[timbal balik kuadratik]], penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

*
*

Dua monografi yang Gauss publikasikan mengenai timbal balik kuartik memiliki bagian yang telah diberi nomor secara berurutan: monografi pertama memuat §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Catatan-catatan kaki yang mereferensikan hal ini memiliki bentuk umum "Gauss, BQ, § ''n''", sedangkan catatan-catatan kaki yang mereferensikan ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' memiliki bentuk umum "Gauss, DA, Art. ''n''".
*
*

Kedua monografi tersebut merupakan bagian dari ''Werke'' karya Gauss, Vol II, hlm. 65–92 dan hlm. 93–148; terjemahan Jerman berada pada hlm. 511–533 dan hlm. 534–586 dari edisi Jerman dari ''Disquisitiones''.

*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==
* [https://gowers.wordpress.com/2011/11/13/why-isnt-the-fundamental-theorem-of-arithmetic-obvious Mengapa teorema dasar aritmetika tidak se-sepele itu?]
* [http://www.cut-the-knot.org/blue/gcd_fta.shtml FPB dan Teorema Dasar Aritmetika] di [[Alexander Bogomolny#Cut-the-Knot|Cut-the-Knot]].
*
* [http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/06/unique-factorization.html Blog Teorema Terakhir Fermat: Faktorisasi Tunggal], sebuah [[blog]] yang meliput sejarah dari [[Teorema Terakhir Fermat]], mulai dari [[Diophantus]] hingga pembuktian oleh [[Andrew Wiles]].
*
*
* [https://mindtested.com/posts/fundamental-theorem-of-arithmetic-real-numbers-chapter-1-class-10-mathematics-cbse-ncert Teorema Dasar Aritmetika]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+dasar+aritmetika&oldid=29314518 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29314518 (2026-06-05T08:01:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema dasar aritmetika - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29314518; atribusi sumber disertakan.