Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:11:21Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.11
Baris 2:		Baris 2:

	Secara formal, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa:		Secara formal, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa:


	Karena sebuah basis yang [[Kebebasan linear\|bebas secara linear]], dimensi dari teorema tersebut adalah konsekuensi dari [[teorema]] berikut, yang juga berguna:		Karena sebuah basis yang [[Kebebasan linear\|bebas secara linear]], dimensi dari teorema tersebut adalah konsekuensi dari [[teorema]] berikut, yang juga berguna:


	Secara khusus, jika [[Modul yang dibangkitkan secara hingga\|dibangkitkan secara hingga]], maka seluruh basisnya bernilai hingga dan memiliki jumlah elemen yang sama.		Secara khusus, jika [[Modul yang dibangkitkan secara hingga\|dibangkitkan secara hingga]], maka seluruh basisnya bernilai hingga dan memiliki jumlah elemen yang sama.

	Meskipun [[Pembuktian matematika\|pembuktian]] dari keberadaan dari basis pada seluruh ruang vektor pada kasus umum memerlukan [[lema Zorn]] dan sama dengan [[aksioma pemilihan]], keunikan dari basis kardinalitas hanya memerlukan [[lema ultrafilter]]. lema ini jauh lebih lemah, dengan [[Teorema dimensi untuk ruang vektor#Pembuktian\|pembuktian]] yang diberikan di bawah, tetapi dengan mengasumsikan trikotonomi. Teorema ini dapat digeneralisasi pada [[Modul (matematika)\|modul-]] untuk gelanggang yang memiliki [[bilangan basis tak berubah]]. Pada kasus pembangkitan hingga, pembuktian hanya menggunakan argumentasi dasar dari [[aljabar]], dan tidak memerlukan aksioma pemilihan ataupun variannya yang lebih lemah.		Meskipun [[Pembuktian matematika\|pembuktian]] dari keberadaan dari basis pada seluruh ruang vektor pada kasus umum memerlukan [[lema Zorn]] dan sama dengan [[aksioma pemilihan]], keunikan dari basis kardinalitas hanya memerlukan [[lema ultrafilter]].<ref>P. Howard. ''Consequences of the axiom of choice''. ''Mathematical Surveys and Monographs''. 1998. Vol. 59.</ref> lema ini jauh lebih lemah, dengan [[Teorema dimensi untuk ruang vektor#Pembuktian\|pembuktian]] yang diberikan di bawah, tetapi dengan mengasumsikan trikotonomi. Teorema ini dapat digeneralisasi pada [[Modul (matematika)\|modul-]] untuk gelanggang yang memiliki [[bilangan basis tak berubah]]. Pada kasus pembangkitan hingga, pembuktian hanya menggunakan argumentasi dasar dari [[aljabar]], dan tidak memerlukan aksioma pemilihan ataupun variannya yang lebih lemah.

	== Pembuktian ==		== Pembuktian ==
	Misalkan adalah ruang vektor, adalah himpunan [[kebebasan linear]] dari elemen , dan adalah . Perlu pembuktian bahwa [[kardinalitas]] dari tidak bernilai lebih besar dari .		Misalkan adalah ruang vektor, adalah himpunan [[kebebasan linear]] dari elemen , dan adalah . Perlu pembuktian bahwa [[kardinalitas]] dari tidak bernilai lebih besar dari .

	Jika bernilai hingga, maka hasilnya berasal dari [[lema pertukaran Steinitz]]. Jika bernilai hingga, pembuktian yang berdasarkan teori [[Matriks (matematika)\|matriks]] juga dimungkinkan.		Jika bernilai hingga, maka hasilnya berasal dari [[lema pertukaran Steinitz]]. Jika bernilai hingga, pembuktian yang berdasarkan teori [[Matriks (matematika)\|matriks]] juga dimungkinkan.<ref>K. Hoffman. [https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0 Linear Algebra]. Prentice-Hall. 1971. (Teorema 4 pada Bab 2).</ref>

	Asumsikan bahwa bernilai [[takhingga]]. Jika bernilai hingga, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Maka, kita asumsikan bahwa juga bernilai tak hingga. Kita asumsikan bahwa kardinalitas dari lebih besar dari . Kita harus membuktikan bahwa hal ini menghasilkan kontradiksi.		Asumsikan bahwa bernilai [[takhingga]]. Jika bernilai hingga, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Maka, kita asumsikan bahwa juga bernilai tak hingga. Kita asumsikan bahwa kardinalitas dari lebih besar dari . Kita harus membuktikan bahwa hal ini menghasilkan kontradiksi.
Baris 21:		Baris 19:

	Maka, setiap dapat ditulis sebagai penjumlahan hingga		Maka, setiap dapat ditulis sebagai penjumlahan hingga


	dengan adalah subhimpunan dari . Karena bernilai takhingga, maka memiliki kardinalitas yang sama dengan . Maka memiliki kardinalitas yang lebih kecil dari . Maka, terdapat beberapa yang tidak muncul pada mana pun. Nilai yang sesuai dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , yang akhirnya dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , tanpa . Maka, bergantung secara linear pada , yang memberikan kontradiksi yang diperlukan.		dengan adalah subhimpunan dari . Karena bernilai takhingga, maka memiliki kardinalitas yang sama dengan . Maka memiliki kardinalitas yang lebih kecil dari . Maka, terdapat beberapa yang tidak muncul pada mana pun. Nilai yang sesuai dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , yang akhirnya dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , tanpa . Maka, bergantung secara linear pada , yang memberikan kontradiksi yang diperlukan.
Baris 27:		Baris 24:
	==Teorema perpanjangan kernel untuk ruang vektor==		==Teorema perpanjangan kernel untuk ruang vektor==
	Aplikasi ini untuk teorema dimensi kadang dikenal sebagai ''teorema dimensi''. Misalkan:		Aplikasi ini untuk teorema dimensi kadang dikenal sebagai ''teorema dimensi''. Misalkan:


	adalah [[peta linear]]. Maka,		adalah [[peta linear]]. Maka,


	yaitu, dimensi dari bernilai sama dengan dimensi dari [[Rentang dari fungsi\|rentang]] transformasi ditambah dengan dimensi dari [[Kernel (aljabar)\|kernel]]. Lihat [[teorema kenolan peringkat]] untuk diskusi lebih lengkap.		yaitu, dimensi dari bernilai sama dengan dimensi dari [[Rentang dari fungsi\|rentang]] transformasi ditambah dengan dimensi dari [[Kernel (aljabar)\|kernel]]. Lihat [[teorema kenolan peringkat]] untuk diskusi lebih lengkap.

	~~== Catatan kaki ==~~


	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+dimensi+untuk+ruang+vektor&oldid=27255848 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27255848 (2025-05-11T03:38:21Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+dimensi+untuk+ruang+vektor&oldid=27255848 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27255848 (2025-05-11T03:38:21Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27255848; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:53:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27255848; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Pada [[matematika]], '''teorema dimensi untuk ruang vektor''' menyebutkan bahwa semua [[Basis (aljabar linear)|basis]] dari [[ruang vektor]] memiliki jumlah elemen yang sama. Jumlah elemen ini dapat berupa hingga atau takhingga (dengan kasus terakhir, jumlahnya adalah [[bilangan kardinal]]), dan mendefinisikan [[Ruang vektor berdimensi hingga|dimensi]] dari ruang vektor tersebut.

Secara formal, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa:

Karena sebuah basis yang [[Kebebasan linear|bebas secara linear]], dimensi dari teorema tersebut adalah konsekuensi dari [[teorema]] berikut, yang juga berguna:

Secara khusus, jika [[Modul yang dibangkitkan secara hingga|dibangkitkan secara hingga]], maka seluruh basisnya bernilai hingga dan memiliki jumlah elemen yang sama.

Meskipun [[Pembuktian matematika|pembuktian]] dari keberadaan dari basis pada seluruh ruang vektor pada kasus umum memerlukan [[lema Zorn]] dan sama dengan [[aksioma pemilihan]], keunikan dari basis kardinalitas hanya memerlukan [[lema ultrafilter]]. lema ini jauh lebih lemah, dengan [[Teorema dimensi untuk ruang vektor#Pembuktian|pembuktian]] yang diberikan di bawah, tetapi dengan mengasumsikan trikotonomi. Teorema ini dapat digeneralisasi pada [[Modul (matematika)|modul-]] untuk gelanggang yang memiliki [[bilangan basis tak berubah]]. Pada kasus pembangkitan hingga, pembuktian hanya menggunakan argumentasi dasar dari [[aljabar]], dan tidak memerlukan aksioma pemilihan ataupun variannya yang lebih lemah.

== Pembuktian ==
Misalkan adalah ruang vektor, adalah himpunan [[kebebasan linear]] dari elemen , dan adalah . Perlu pembuktian bahwa [[kardinalitas]] dari tidak bernilai lebih besar dari .

Jika bernilai hingga, maka hasilnya berasal dari [[lema pertukaran Steinitz]]. Jika bernilai hingga, pembuktian yang berdasarkan teori [[Matriks (matematika)|matriks]] juga dimungkinkan.

Asumsikan bahwa bernilai [[takhingga]]. Jika bernilai hingga, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Maka, kita asumsikan bahwa juga bernilai tak hingga. Kita asumsikan bahwa kardinalitas dari lebih besar dari . Kita harus membuktikan bahwa hal ini menghasilkan kontradiksi.

Dengan [[lema Zorn]], setiap himpunan independen linear terkanding pada himpunan independen linear maksimal . Maksimalitas ini menyiratkan bahwa mengembangkan dan maka adalah sebuah [[Basis (aljabar linear)|basis]]. Karena kardinalitas dari bernilai lebih besar atau sama dengan kardinalitas , kita dapat mengubah dengan . Maka, kita dapat mengasumsikan, tanpa menghilangkan generalisasi, bahwa adalah sebuah basis.

Maka, setiap dapat ditulis sebagai penjumlahan hingga

dengan adalah subhimpunan dari . Karena bernilai takhingga, maka memiliki kardinalitas yang sama dengan . Maka memiliki kardinalitas yang lebih kecil dari . Maka, terdapat beberapa yang tidak muncul pada mana pun. Nilai yang sesuai dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , yang akhirnya dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , tanpa . Maka, bergantung secara linear pada , yang memberikan kontradiksi yang diperlukan.

==Teorema perpanjangan kernel untuk ruang vektor==
Aplikasi ini untuk teorema dimensi kadang dikenal sebagai ''teorema dimensi''. Misalkan:

adalah [[peta linear]]. Maka,

yaitu, dimensi dari bernilai sama dengan dimensi dari [[Rentang dari fungsi|rentang]] transformasi ditambah dengan dimensi dari [[Kernel (aljabar)|kernel]]. Lihat [[teorema kenolan peringkat]] untuk diskusi lebih lengkap.

== Catatan kaki ==

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+dimensi+untuk+ruang+vektor&oldid=27255848 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27255848 (2025-05-11T03:38:21Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Teorema dimensi untuk ruang vektor - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27255848; atribusi sumber disertakan.