Teorema faktor - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T22:59:47Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 22.59
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar]], '''teorema faktor''' adalah [[teorema]] yang menghubungkan [[faktorisasi polinomial\|faktor-faktor]] dari suatu [[polinomial]] dengan [[akar fungsi\|nilai dari akar-akarnya]]. Lebih tepatnya, jika <math>f(x)</math> merupakan [[Polinomial#Klasifikasi\|polinomial univariat]], maka <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math> [[jika dan hanya jika]] nilai <math>f(a) = 0</math> (atau dengan kata lain, <math>a</math> merupakan akar dari polinomial <math>f</math>). Teorema ini adalah [[kasus khusus]] dari [[teorema sisa polinomial]].		Dalam [[aljabar]], '''teorema faktor''' adalah [[teorema]] yang menghubungkan [[faktorisasi polinomial\|faktor-faktor]] dari suatu [[polinomial]] dengan [[akar fungsi\|nilai dari akar-akarnya]]. Lebih tepatnya, jika <math>f(x)</math> merupakan [[Polinomial#Klasifikasi\|polinomial univariat]], maka <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math> [[jika dan hanya jika]] nilai <math>f(a) = 0</math> (atau dengan kata lain, <math>a</math> merupakan akar dari polinomial <math>f</math>). Teorema ini adalah [[kasus khusus]] dari [[teorema sisa polinomial]].<ref>Michael Sullivan. [https://archive.org/details/algebratrigonome0000sull_h9s6 Algebra and Trigonometry]. Prentice Hall. 1996. hlm. [https://archive.org/details/algebratrigonome0000sull_h9s6/page/380 381]. ISBN 0-13-370149-2.</ref><ref>V K Sehgal. ''Longman ICSE Mathematics Class 10''. Dorling Kindersley (India). September 2009. hlm. 119. ISBN 978-81-317-2816-1.</ref>

	Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika [[elemen (matematika)\|elemen]] <math>a</math> dan setiap [[koefisien]] dari <math>f(x)</math> merupakan anggota dari sembarang [[gelanggang komutatif]], tidak hanya [[lapangan (matematika)\|lapangan]].		Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika [[elemen (matematika)\|elemen]] <math>a</math> dan setiap [[koefisien]] dari <math>f(x)</math> merupakan anggota dari sembarang [[gelanggang komutatif]], tidak hanya [[lapangan (matematika)\|lapangan]].

	== Faktorisasi polinomial ==		== Faktorisasi polinomial ==

	Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya [[kesetaraan logika\|setara]].		Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya [[kesetaraan logika\|setara]].

	Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:		Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:<ref>R. K. Bansal. ''Comprehensive Mathematics IX''. Laxmi Publications. hlm. 142. ISBN 81-7008-629-9..</ref>
	# Dengan menggunakan [[teorema akar rasional]], tentukan kandidat nilai akar <math>a</math> dari polinomial <math>f(x)</math> berdasarkan koefisien utamanya (yaitu <math>a_n</math>) serta [[suku konstanta]]nya (yaitu <math>a_0</math>).		# Dengan menggunakan [[teorema akar rasional]], tentukan kandidat nilai akar <math>a</math> dari polinomial <math>f(x)</math> berdasarkan koefisien utamanya (yaitu <math>a_n</math>) serta [[suku konstanta]]nya (yaitu <math>a_0</math>).
	# Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math>.		# Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math>.
Baris 76:		Baris 75:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+faktor&oldid=29220983 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29220983 (2026-05-12T20:13:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+faktor&oldid=29220983 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29220983 (2026-05-12T20:13:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29220983; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:23:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29220983; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar]], '''teorema faktor''' adalah [[teorema]] yang menghubungkan [[faktorisasi polinomial|faktor-faktor]] dari suatu [[polinomial]] dengan [[akar fungsi|nilai dari akar-akarnya]]. Lebih tepatnya, jika <math>f(x)</math> merupakan [[Polinomial#Klasifikasi|polinomial univariat]], maka <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math> [[jika dan hanya jika]] nilai <math>f(a) = 0</math> (atau dengan kata lain, <math>a</math> merupakan akar dari polinomial <math>f</math>). Teorema ini adalah [[kasus khusus]] dari [[teorema sisa polinomial]].

Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika [[elemen (matematika)|elemen]] <math>a</math> dan setiap [[koefisien]] dari <math>f(x)</math> merupakan anggota dari sembarang [[gelanggang komutatif]], tidak hanya [[lapangan (matematika)|lapangan]].

== Faktorisasi polinomial ==

Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya [[kesetaraan logika|setara]].

Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:
# Dengan menggunakan [[teorema akar rasional]], tentukan kandidat nilai akar <math>a</math> dari polinomial <math>f(x)</math> berdasarkan koefisien utamanya (yaitu <math>a_n</math>) serta [[suku konstanta]]nya (yaitu <math>a_0</math>).
# Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math>.
# Carilah polinomial <math>g(x) = \dfrac{f(x)}{x - a}</math> dengan menggunakan [[pembagian bersusun polinomial|pembagian bersusun]] atau [[pembagian sintetik]].
# Simpulkan bahwa setiap nilai akar <math>x \neq a</math> dari <math>f(x)</math> juga merupakan akar dari <math>g(x)</math>. Oleh karena [[derajat polinomial]] <math>g</math> ialah satu kurangnya dari derajat polinomial <math>f</math>, maka lebih "sederhana" untuk mencari nilai-nilai akar yang tersisa dengan meninjau polinomial <math>g(x)</math>.
Proses ini dilanjutkan hingga polinomial <math>f</math> terfaktorkan sepenuhnya, dimana semua faktornya [[polinomial taktereduksi|taktereduksi]] pada <math>\mathbb{R}[x]</math> atau <math>\mathbb{C}[x]</math>.

=== Contoh ===
Untuk mencari faktor-faktor dari <math>p(x) = x^3 + 7x^2 + 8x + 2</math>, perhatikan bahwa [[suku konstanta|konstanta]] pada <math>p(x)</math> ialah 2 sedangkan koefisien utamanya ialah 1, sehingga berdasarkan [[teorema akar rasional]], terdapat 4 kandidat akar rasional dari <math>p(x)</math>, yaitu <math>\pm 1</math> dan <math>\pm 2</math>. Setelah melalui [[metode coba-coba|proses coba-coba]], maka diperoleh <math>-1</math> sebagai akar dari polinomial <math>p(x)</math>:
<math display="block">p(-1) = (-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2 = -1 + 7 - 8 + 2 = 0</math>
Akibatnya, <math>(x - (-1))</math> (atau <math>(x + 1)</math>) merupakan faktor dari <math>p(x)</math>. Dengan membagi <math>p(x)</math> oleh <math>(x - 1)</math>, maka diperoleh polinomial <math>x^2 + 6x + 2</math>, sehingga dapat disimpulkan bahwa <math>p(x) = (x^2 + 6x + 2)(x + 1)</math>

Faktor kuadrat dari <math>p(x)</math> dapat difaktorkan lebih lanjut dengan menggunakan [[rumus kuadrat]], yang menghasilkan akar-akar kuadrat <math>-3 \pm \sqrt{7}</math>. Dengan demikian, tiga faktor linier dari <math>p(x)</math> ialah <math>x + 1</math>, <math>x - (-3 + \sqrt{7})</math>, dan <math>x - (-3 - \sqrt{7})</math>.

== Bukti ==
Terdapat beberapa cara untuk membuktikan teorema faktor.

Jika <math>x - a</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math>, maka jelas bahwa <math>f(a) = 0</math>, sehingga semua pembuktian berikut akan membahas bagian kedua dari teorema faktor.

=== Bukti 1 ===
Pertama, akan ditunjukkan bahwa teorema faktor berlaku untuk kasus <math>a = 0</math>. Dengan kata lain, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap polinomial <math>f(x)</math> dengan <math>f(0) = 0</math>, maka terdapat suatu polinomial <math>g(x)</math> sedemikian sehingga <math>f(x) = x \cdot g(x)</math>. Diketahui bahwa <math>f(x)</math> adalah suatu polinomial, maka <math>f</math> memiliki bentuk umum
<math display="block">f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n</math>
Berdasarkan bentuk umum tersebut, perhatikan bahwa <math>f(0) = c_0</math>. Oleh karena <math>f(0) = 0</math>, maka diperoleh <math>c_0 = 0</math>. Akibatnya, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
f(x) &= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n \\
&= c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n \\
&= x \left( c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \ldots + c_n x^{n - 1} \right)
\end{align}</math>
sehingga dengan memilih <math>g(x)</math> sebagai polinomial <math>c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \ldots + c_n x^{n - 1}</math>, maka teorema faktor untuk kasus <math>a = 0</math> terbukti benar.

Selanjutnya, akan dibuktikan teorema faktor untuk sembarang nilai <math>a</math> dengan memanfaatkan kebenaran kasus <math>a = 0</math>. Diketahui bahwa <math>f(x)</math> adalah suatu polinomial dengan <math>f(a) = 0</math>. Perhatikan bahwa polinomial <math>f(x + a)</math> memiliki akar di <math>x = 0</math>. Berdasarkan kasus sebelumnya, maka terdapat suatu polinomial <math>h(x)</math> sedemikian sehingga <math>f(x + a) = x \cdot h(x)</math>. Akibatnya,
<math display="block">f(x) = f((x - a) + a) = (x - a) \cdot h(x - a)</math>
Dengan kata lain, terbukti bahwa <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math>.

=== Bukti 2 ===
Jika <math>R</math> adalah [[gelanggang komutatif]], maka untuk sembarang <math>k \in \mathbb{N}</math> dan untuk setiap <math>x</math>, <math>y \in R</math>, berlaku identitas
<math display="block">x^k - y^k = (x - y) \left( x^{k - 1} + x^{k - 2} y + x^{k - 3} y^2 + \ldots + x^2 y^{k - 3} + xy^{k - 2} + y^{k - 1} \right)</math>
Hal ini dapat dibuktikan dengan menjabarkan [[ruas dari suatu persamaan|ruas kanan]] dari persamaan tersebut.

Diambil sembarang gelanggang komutatif <math>R</math> dan sembarang polinomial <math>f(x) \in R[x]</math>. Oleh karena <math>f(x)</math> adalah polinomial, maka <math>f(x)</math> dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n</math>
Diketahui bahwa <math>f(a) = 0</math>. Akibatnya, didapatkan

<math display="block">\begin{array}{rccccccccccclcr}
f(x) & = & c_0 & + & c_1 x & + & c_2 x^2 & + & c_3 x^3 & + & \ldots & + & c_n x^n & & \\
f(a) & = & c_0 & + & c_1 a & + & c_2 a^2 & + & c_3 a^3 & + & \ldots & + & c_n a^n & & - \\
\hline
f(x) - f(a) & = & 0 & + & c_1 (x - a) & + & c_2 (x^2 - a^2) & + & c_3 (x^3 - a^3) & + & \ldots & + & c_n (x^n - a^n)
\end{array}</math>

Dengan menggunakan [[notasi Sigma]] serta identitas <math>x^k - y^k</math> yang telah dibahas sebelumnya, maka

<math display="block">\begin{align}
f(x) - f(a) &= \sum_{k \, = \, 1}^{n} c_n (x^k - a^k) \\
f(x) &= \sum_{k \, = \, 1}^{n} c_n (x - a) \left( x^{k - 1} + x^{k - 2} a + x^{k - 3} a^2 + \ldots + x^2 a^{k - 3} + xa^{k - 2} + a^{k - 1} \right) \\
&= (x - a) \cdot \sum_{k \, = \, 1}^{n} c_n (x^{k - 1} + x^{k - 2} a + x^{k - 3} a^2 + \ldots + x^2 a^{k - 3} + xa^{k - 2} + a^{k - 1})
\end{align}</math>

sehingga terbukti bahwa <math>(x - a)</math> merupakan faktor dari <math>f(x)</math>.

=== Bukti 3 ===
Diberikan suatu polinomial <math>F(x)</math> sedemikian sehingga <math>F(a) = 0</math>. Berdasarkan [[Faktor persekutuan terbesar polinomial#Pembagian bersisa|teorema pembagian polinomial]], maka terdapat suatu polinomial <math>H(x)</math> dan <math>S(x)</math> sedemikian sehingga
<math display="block">F(x) = (x - a) \cdot H(x) + S(x)</math>
dengan <math>\deg(S) < \deg(x - a)</math>. Oleh karena <math>\deg(x - a) = 1</math>, maka <math>S</math> merupakan suatu [[fungsi konstan]]. Dengan menyubstitusikan <math>x = a</math> ke persamaan di atas, perhatikan bahwa <math>F(a) = S(a)</math>. Diketahui bahwa <math>F(a) = 0</math> dan <math>S</math> merupakan suatu fungsi konstan, maka didapatkan <math>S(x) = 0</math> untuk setiap nilai <math>x</math>. Akibatnya,
<math display="block">F(x) = (x - a) \cdot H(x)</math>

Pembagian bersisa di atas dapat dilakukan pada setiap gelanggang komutatif, sebab <math>(x - a)</math> merupakan [[polinomial monik]], sehingga proses [[pembagian bersusun polinomial]]nya tidak melibatkan operasi pembagian pada koefisien-koefisien polinomialnya.

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+faktor&oldid=29220983 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29220983 (2026-05-12T20:13:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.