Teorema nilai purata - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:12:15Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.12
Baris 1:		Baris 1:
	'''Teorema nilai purata''' atau '''teorema nilai rata-rata''' menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana [[turunan]] (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. [[Teorema]] ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.		'''Teorema nilai purata''' atau '''teorema nilai rata-rata''' menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana [[turunan]] (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut.<ref>"[http://demonstrations.wolfram.com/MeanValueTheorem/ Mean Value Theorem]" by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project.</ref> [[Teorema]] ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

	Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga ''rata-rata'' kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu [[laju sesaat]] mobil haruslah tepat 100 km/jam.		Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga ''rata-rata'' kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu [[laju sesaat]] mobil haruslah tepat 100 km/jam.

	Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460) dari [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]] dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] and [[Bhaskara II]]. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857)		Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460) dari [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]] dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] and [[Bhaskara II]].<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html Paramesvara] , ''MacTutor History of Mathematics archive''.</ref> Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857)

	Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam [[kalkulus diferensial]], dan juga salah satu teorema penting dalam [[analisis matematika]], dan esensial dalam membuktikan [[teorema dasar kalkulus]].		Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam [[kalkulus diferensial]], dan juga salah satu teorema penting dalam [[analisis matematika]], dan esensial dalam membuktikan [[teorema dasar kalkulus]].

	== Sejarah ==		== Sejarah ==
			Kasus khusus [[teorema]] ini pertama kali dijelaskan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460), dari [[Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala]] di [[India]], dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] dan [[Bhāskara II]].<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html Paramesvara] , ''Arsip Sejarah Matematika MacTutor''.</ref> Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh [[Michel Rolle]] pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai [[Teorema Rolle]], dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] pada tahun 1823.<ref>Ádám Besenyei. [http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf Historical development of the mean value theorem].</ref>
	Kasus khusus [[teorema]] ini pertama kali dijelaskan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460), dari [[Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala]] di [[India]], dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] dan [[Bhāskara II]]. Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh [[Michel Rolle]] pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai [[Teorema Rolle]], dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] pada tahun 1823.

	== Pernyataan formal ==		== Pernyataan formal ==


	: Misalkan ''f'': [''a'', ''b''] → '''R''' adalah [[fungsi kontinu]] pada selang tertutup [''a'', ''b''], and dan [[turunan\|terdiferensialkan]] pada selang terbuka (''a'', ''b''), di mana Maka terdapat suatu ''c'' dalam (''a'', ''b'') sehingga		: Misalkan ''f'': [''a'', ''b''] → '''R''' adalah [[fungsi kontinu]] pada selang tertutup [''a'', ''b''], and dan [[turunan\|terdiferensialkan]] pada selang terbuka (''a'', ''b''), di mana Maka terdapat suatu ''c'' dalam (''a'', ''b'') sehingga
	::<math>f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.</math>		::<math>f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.</math>
Baris 32:		Baris 29:

	== Bukti ==		== Bukti ==

	Pernyataan (''ƒ''(''b'') − ''ƒ''(''a'')) / (''b'' − ''a'') memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (''a'', ''ƒ''(''a'')) dan (''b'', ''ƒ''(''b'')), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi ''f'', sementara ''ƒ'' ′(''x'') memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (''x'', ''ƒ''(''x'')). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.		Pernyataan (''ƒ''(''b'') − ''ƒ''(''a'')) / (''b'' − ''a'') memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (''a'', ''ƒ''(''a'')) dan (''b'', ''ƒ''(''b'')), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi ''f'', sementara ''ƒ'' ′(''x'') memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (''x'', ''ƒ''(''x'')). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.


	Definisikan ''g''(''x'') = ''ƒ''(''x'') − ''rx'', di mana ''r'' adalah konstanta. Karena ''ƒ'' kontinu pada [''a'', ''b''] dan terdiferensialkan pada(''a'', ''b''), hal yang sama juga berlaku buat ''g''. Kita sekarang ingin memilih ''r'' sedemikian sehingga ''g'' memenuhi syarat [[teorema Rolle]], yaitu		Definisikan ''g''(''x'') = ''ƒ''(''x'') − ''rx'', di mana ''r'' adalah konstanta. Karena ''ƒ'' kontinu pada [''a'', ''b''] dan terdiferensialkan pada(''a'', ''b''), hal yang sama juga berlaku buat ''g''. Kita sekarang ingin memilih ''r'' sedemikian sehingga ''g'' memenuhi syarat [[teorema Rolle]], yaitu
Baris 47:		Baris 42:

	== Teorema nilai purata untuk integral ==		== Teorema nilai purata untuk integral ==

	~~== Rujukan ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* [http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html PlanetMath: Mean-Value Theorem]		* [http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html PlanetMath: Mean-Value Theorem]
	* [http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html Mathworld: Mean-Value Theorem]		* [http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html Mathworld: Mean-Value Theorem]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+nilai+purata&oldid=29151363 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29151363 (2026-04-21T18:48:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+nilai+purata&oldid=29151363 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29151363 (2026-04-21T18:48:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29151363; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:53:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29151363; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Teorema nilai purata''' atau '''teorema nilai rata-rata''' menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana [[turunan]] (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. [[Teorema]] ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga ''rata-rata'' kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu [[laju sesaat]] mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460) dari [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]] dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] and [[Bhaskara II]]. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam [[kalkulus diferensial]], dan juga salah satu teorema penting dalam [[analisis matematika]], dan esensial dalam membuktikan [[teorema dasar kalkulus]].

== Sejarah ==

Kasus khusus [[teorema]] ini pertama kali dijelaskan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460), dari [[Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala]] di [[India]], dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] dan [[Bhāskara II]]. Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh [[Michel Rolle]] pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai [[Teorema Rolle]], dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] pada tahun 1823.

== Pernyataan formal ==

: Misalkan ''f'': [''a'', ''b''] → '''R''' adalah [[fungsi kontinu]] pada selang tertutup [''a'', ''b''], and dan [[turunan|terdiferensialkan]] pada selang terbuka (''a'', ''b''), di mana Maka terdapat suatu ''c'' dalam (''a'', ''b'') sehingga
::<math>f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.</math>

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi [[teorema Rolle]], yang menganggap ''f''(''a'') = ''f''(''b''), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa ''f'':[''a'', ''b''] → '''R''' adalah [[fungsi kontinu|kontinu]] dalam selang [''a'', ''b''], dan untuk setiap ''x'' dalam (''a'', ''b''), [[limit fungsi|limitnya]] adalah

:<math>\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan ''f' ''(''x''). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan ''x'' ke ''x''<sup>1/3</sup>, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan <math>f(x) = e^{ix}</math> untuk semua ''x'' bernilai riil. Maka

:<math>f(2\pi) - f(0) = 0 = 0 (2\pi - 0)</math>,
sedangkan
:<math>|f '(x)| = 1</math>.

== Bukti ==

Pernyataan (''ƒ''(''b'') − ''ƒ''(''a'')) / (''b'' − ''a'') memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (''a'', ''ƒ''(''a'')) dan (''b'', ''ƒ''(''b'')), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi ''f'', sementara ''ƒ'' ′(''x'') memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (''x'', ''ƒ''(''x'')). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.

Definisikan ''g''(''x'') = ''ƒ''(''x'') − ''rx'', di mana ''r'' adalah konstanta. Karena ''ƒ'' kontinu pada [''a'', ''b''] dan terdiferensialkan pada(''a'', ''b''), hal yang sama juga berlaku buat ''g''. Kita sekarang ingin memilih ''r'' sedemikian sehingga ''g'' memenuhi syarat [[teorema Rolle]], yaitu

:<math>\begin{align}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\end{align}</math>

Menurut teorema Rolle, karena ''g'' kontinu, dan ''g''(''a'') = ''g''(''b''), terdapat suatu ''c'' dalam (''a'', ''b'') sedemikian sehingga ''g'' ′(''c'') = 0, dan dari persamaan ''g''(''x'') = ''ƒ''(''x'') − ''rx'' berarti

:<math>f '(c)=g '(c)+r=0+r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

seperti yang hendak dibuktikan.

== Teorema nilai purata untuk integral ==

== Rujukan ==

== Pranala luar ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html PlanetMath: Mean-Value Theorem]
* [http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html Mathworld: Mean-Value Theorem]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+nilai+purata&oldid=29151363 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29151363 (2026-04-21T18:48:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.