Teorema sisa Tiongkok - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:58:08Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 03.58
Baris 1:		Baris 1:
	~~Dalam~~ [[~~matematika]], '''teorema sisa Tiongkok''' menyatakan bahwa jika diketahui [[pembagian bersisa~~\|sisa pembagian]] suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> oleh beberapa bilangan bulat, maka dapat diketahui sisa pembagian <math>n</math> oleh [[darab]] dari bilangan-bilangan bulat tersebut, dengan syarat bahwa setiap pasang [[pembagi]]nya [[koprima (bilangan)\|~~saling prima~~]] ~~(atau dengan kata lain, tidak ada dua pembagi yang memiliki faktor persekutuan selain 1 maupun -1).~~		[[File:Sun_Tzu_Chinese_remainder_theorem.svg\|thumb\|right\|280px\|Rumusan asli Sunzi:]]

			Dalam [[matematika]], '''teorema sisa Tiongkok''' menyatakan bahwa jika diketahui [[pembagian bersisa\|sisa pembagian]] suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> oleh beberapa bilangan bulat, maka dapat diketahui sisa pembagian <math>n</math> oleh [[darab]] dari bilangan-bilangan bulat tersebut, dengan syarat bahwa setiap pasang [[pembagi]]nya [[koprima (bilangan)\|saling prima]] (atau dengan kata lain, tidak ada dua pembagi yang memiliki faktor persekutuan selain 1 maupun -1).<ref>[https://dlmf.nist.gov/27.15 DLMF: §27.15 Chinese Remainder Theorem ‣ Applications ‣ Chapter 27 Functions of Number Theory]. ''Digital Library of Mathematical Function''.</ref>

	Teorema ini juga dikenal sebagai '''teorema Sunzi'''. Kedua nama dari teorema ini merujuk kepada pernyataan yang pertama kali muncul dalam ''[[Sunzi Suanjing]]'', sebuah [[naskah\|manuskrip]] Tiongkok yang ditulis pada abad ke-3 hingga abad ke-5 Masehi. Pernyataan pertama ini terbatas pada contoh berikut:		Teorema ini juga dikenal sebagai '''teorema Sunzi'''. Kedua nama dari teorema ini merujuk kepada pernyataan yang pertama kali muncul dalam ''[[Sunzi Suanjing]]'', sebuah [[naskah\|manuskrip]] Tiongkok yang ditulis pada abad ke-3 hingga abad ke-5 Masehi. Pernyataan pertama ini terbatas pada contoh berikut:
Baris 15:		Baris 16:

	== Sejarah ==		== Sejarah ==
			Pernyataan dari masalah ini muncul pertama kali dalam buku abad ke-5 ''[[Sunzi Suanjing]]'' karya matematikawan Tiongkok Sunzi.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	~~Pernyataan~~ dari masalah ini ~~muncul~~ pertama kali ~~dalam buku~~ abad ke-5 ''[[~~Sunzi Suanjing~~]]'' ~~karya matematikawan~~ Tiongkok ~~Sunzi~~.		Hasil Sunzi tidak akan dianggap sebagai [[teorema]] menurut standar modern, sebab Sunzi hanya memberikan satu masalah spesifik tanpa menunjukkan cara menyelesaikannya maupun [[pembuktian matematika\|bukti]] dari kasus umum atau [[algoritma]] umum untuk menyelesaikan masalah tersebut.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Algoritma pertama untuk menyelesaikan masalah ini pertama kali dideskripsikan oleh [[Aryaphata]] (abad ke-6).<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Kasus khusus dari teorema sisa Tiongkok juga diketahui oleh [[Brahmagupta]] (abad ke-7) dan muncul pada karya [[Fibonacci]] tahun 1202, [[Liber Abaci]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Hasil tersebut kemudian diperumum menjadi solusi utuh yang disebut ''Da-yan-shu'' () dalam karya [[Qin Jiushao]] tahun 1247, ''[[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab]]''<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada awal abad ke-19 oleh [[misionaris]] asal [[Orang Britania Raya\|Britania Raya]], [[Alexander Wylie (misionaris)\|Alexander Wylie]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

			Gagasan mengenai kekongruenan pertama kali diperkenalkan dan digunakan oleh [[Carl Friedrich Gauss]] dalam karya tahun 1801 miliknya, ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
	Hasil Sunzi tidak akan dianggap sebagai [[teorema]] menurut standar modern, sebab Sunzi hanya memberikan satu masalah spesifik tanpa menunjukkan cara menyelesaikannya maupun [[pembuktian matematika\|bukti]] dari kasus umum atau [[algoritma]] umum untuk menyelesaikan masalah tersebut. Algoritma pertama untuk menyelesaikan masalah ini pertama kali dideskripsikan oleh [[Aryaphata]] (abad ke-6). Kasus khusus dari teorema sisa Tiongkok juga diketahui oleh [[Brahmagupta]] (abad ke-7) dan muncul pada karya [[Fibonacci]] tahun 1202, [[Liber Abaci]]. Hasil tersebut kemudian diperumum menjadi solusi utuh yang disebut ''Da-yan-shu'' () dalam karya [[Qin Jiushao]] tahun 1247, ''[[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab]]'' yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada awal abad ke-19 oleh [[misionaris]] asal [[Orang Britania Raya\|Britania Raya]], [[Alexander Wylie (misionaris)\|Alexander Wylie]].

	Gagasan mengenai kekongruenan pertama kali diperkenalkan dan digunakan oleh [[Carl Friedrich Gauss]] dalam karya tahun 1801 miliknya, ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''.

	== Isi pernyataan ==		== Isi pernyataan ==

	=== Selang terbatas ===		=== Selang terbatas ===


	=== Sistem kekongruenan simultan ===		=== Sistem kekongruenan simultan ===

	Teorema sisa Tiongkok juga dapat dinyatakan dengan menggunakan [[aritmetika modular\|kekongruenan]]		Teorema sisa Tiongkok juga dapat dinyatakan dengan menggunakan [[aritmetika modular\|kekongruenan]]


	=== Isomorfisma gelanggang ===		=== Isomorfisma gelanggang ===

	{N \mathbb{Z}} \cong \dfrac{\mathbb{Z}}{n_1 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_2 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_3 \mathbb{Z}} \times \ldots \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_k \mathbb{Z}}</math>		{N \mathbb{Z}} \cong \dfrac{\mathbb{Z}}{n_1 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_2 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_3 \mathbb{Z}} \times \ldots \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_k \mathbb{Z}}</math>
	}}		}}
Baris 54:		Baris 47:

	=== Kewujudan (bukti kedua) ===		=== Kewujudan (bukti kedua) ===
	Kewujudan penyelesaian dari sistem kongruensinya dapat dilakukan dengan konstruksi bilangan <math>x</math> secara eksplisit. Konstruksi ini melibatkan dua langkah berbeda, yaitu penyelesaian untuk kasus dua moduli, kemudian memperumum penyelesaian tersebut untuk sembarang <math>k</math> moduli menggunakan [[induksi matematika]].		Kewujudan penyelesaian dari sistem kongruensinya dapat dilakukan dengan konstruksi bilangan <math>x</math> secara eksplisit.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Konstruksi ini melibatkan dua langkah berbeda, yaitu penyelesaian untuk kasus dua moduli, kemudian memperumum penyelesaian tersebut untuk sembarang <math>k</math> moduli menggunakan [[induksi matematika]].

	Diberikan sistem kekongruenan linier		Diberikan sistem kekongruenan linier
Baris 126:		Baris 119:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	*
	* . Lihat Bagian 2.5, "Sifat Helly", hlm. 393–394.
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*

	== Bacaan lanjutan ==		== Bacaan lanjutan ==
	* . Lihat Bagian 31.5: Teorema sisa Tiongkok, hlm. 873–876.		* . Lihat Bagian 31.5: Teorema sisa Tiongkok, hlm. 873–876.
	*		*
	*		*
	* . Lihat Bagian 4.3.2 (hlm. 286–291), latihan 4.6.2–3 (halaman 456).		* . Lihat Bagian 4.3.2 (hlm. 286–291), latihan 4.6.2–3 (halaman 456).

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	*		*
	*		*
	* [http://ctext.org/sunzi-suan-jing Full text of the Sun-tzu Suan-ching] (Chinese) [[Chinese Text Project]]		* [http://ctext.org/sunzi-suan-jing Full text of the Sun-tzu Suan-ching] (Chinese) [[Chinese Text Project]]
	* [http://www.cut-the-knot.org/blue/chinese.shtml Teorema sisa Tiongkok] di [[Alexander Bogomolny#Cut-the-Knot\|Cut-the-Knot]].		* [http://www.cut-the-knot.org/blue/chinese.shtml Teorema sisa Tiongkok] di [[Alexander Bogomolny#Cut-the-Knot\|Cut-the-Knot]].

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29304276 (2026-06-01T14:37:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29304276 (2026~~-06-~~01T14:37:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29304276; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:18:07Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29304276; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''teorema sisa Tiongkok''' menyatakan bahwa jika diketahui [[pembagian bersisa|sisa pembagian]] suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> oleh beberapa bilangan bulat, maka dapat diketahui sisa pembagian <math>n</math> oleh [[darab]] dari bilangan-bilangan bulat tersebut, dengan syarat bahwa setiap pasang [[pembagi]]nya [[koprima (bilangan)|saling prima]] (atau dengan kata lain, tidak ada dua pembagi yang memiliki faktor persekutuan selain 1 maupun -1).

Teorema ini juga dikenal sebagai '''teorema Sunzi'''. Kedua nama dari teorema ini merujuk kepada pernyataan yang pertama kali muncul dalam ''[[Sunzi Suanjing]]'', sebuah [[naskah|manuskrip]] Tiongkok yang ditulis pada abad ke-3 hingga abad ke-5 Masehi. Pernyataan pertama ini terbatas pada contoh berikut:

Jika diketahui
# sisa pembagian dari <math>n</math> ketika dibagi oleh <math>3</math> ialah <math>2</math>,
# sisa pembagian dari <math>n</math> ketika dibagi oleh <math>5</math> ialah <math>3</math>, dan
# sisa pembagian dari <math>n</math> ketika dibagi oleh <math>7</math> ialah <math>2</math>
maka dapat ditentukan sisa pembagian dari <math>n</math> ketika dibagi oleh <math>105</math> (darab dari <math>3</math>, <math>5</math>, dan <math>7</math>) tanpa mengetahui nilai <math>n</math>. Dalam contoh ini, sisa pembagiannya ialah <math>23</math>. Lebih lanjut, sisa pembagian ini merupakan satu-satunya nilai positif <math>n</math> yang kurang dari <math>105</math>.

Teorema sisa Tiongkok banyak digunakan untuk perhitungan bilangan bulat yang besar, sebab teorema ini memungkinkan untuk mengganti perhitungan yang diketahui batas dari ukuran hasilnya dengan beberapa perhitungan serupa pada bilangan-bilangan bulat yang kecil.

Teorema sisa Tiongkok (saat diekspresikan menggunakan [[Aritmetika modular#Kekongruenan|kekongruenan]]) juga berlaku pada setiap [[daerah ideal utama]]. Teorema ini telah diperumum untuk sembarang [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], dengan perumusan yang melibatkan [[Ideal (teori gelanggang)#Definisi|ideal dua sisi]].

== Sejarah ==

Pernyataan dari masalah ini muncul pertama kali dalam buku abad ke-5 ''[[Sunzi Suanjing]]'' karya matematikawan Tiongkok Sunzi.

Hasil Sunzi tidak akan dianggap sebagai [[teorema]] menurut standar modern, sebab Sunzi hanya memberikan satu masalah spesifik tanpa menunjukkan cara menyelesaikannya maupun [[pembuktian matematika|bukti]] dari kasus umum atau [[algoritma]] umum untuk menyelesaikan masalah tersebut. Algoritma pertama untuk menyelesaikan masalah ini pertama kali dideskripsikan oleh [[Aryaphata]] (abad ke-6). Kasus khusus dari teorema sisa Tiongkok juga diketahui oleh [[Brahmagupta]] (abad ke-7) dan muncul pada karya [[Fibonacci]] tahun 1202, [[Liber Abaci]]. Hasil tersebut kemudian diperumum menjadi solusi utuh yang disebut ''Da-yan-shu'' () dalam karya [[Qin Jiushao]] tahun 1247, ''[[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab]]'' yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada awal abad ke-19 oleh [[misionaris]] asal [[Orang Britania Raya|Britania Raya]], [[Alexander Wylie (misionaris)|Alexander Wylie]].

Gagasan mengenai kekongruenan pertama kali diperkenalkan dan digunakan oleh [[Carl Friedrich Gauss]] dalam karya tahun 1801 miliknya, ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''.

== Isi pernyataan ==

=== Selang terbatas ===

=== Sistem kekongruenan simultan ===

Teorema sisa Tiongkok juga dapat dinyatakan dengan menggunakan [[aritmetika modular|kekongruenan]]

=== Isomorfisma gelanggang ===

{N \mathbb{Z}} \cong \dfrac{\mathbb{Z}}{n_1 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_2 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_3 \mathbb{Z}} \times \ldots \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_k \mathbb{Z}}</math>
}}

Berdasarkan sudut pandang ini, maka untuk melakukan serangkaian operasi aritmetika pada <math>\mathbb{Z}/N \mathbb{Z}</math>, teorema sisa Tiongkok memungkinkan untuk melakukan perhitungan serupa pada masing-masing <math>\mathbb{Z}/n_i \mathbb{Z}</math> lalu memperoleh hasil akhirnya dengan menerapkan isomorfismanya (dari kanan ke kiri). Proses ini mungkin saja jauh lebih cepat dibandingkan perhitungan langsung, jika nilai <math>N</math> dan banyaknya operasi cukup besar.

== Bukti ==
Kewujudan dan ketunggalan penyelesaian dapat dibuktikan secara terpisah. Akan tetapi, bukti pertama dari aspek kewujudan penyelesaian (lihat di bawah) akan memanfaatkan informasi ketunggalan penyelesaian.

=== Ketunggalan ===
Misalkan <math>x</math> dan <math>y</math> merupakan penyelesaian dari sistem kekongruenan linier yang diberikan. Oleh karena <math>x</math> dan <math>y</math> memiliki sisa pembagian yang sama ketika dibagi oleh <math>n_i</math>, maka selisih antar keduanya (yaitu <math>x - y</math>) merupakan [[Pembagi#definisi|kelipatan]] dari <math>n_i</math>, untuk sembarang <math>i \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, k \right\}</math>. Diketahui bahwa <math>n_i</math> koprima dengan <math>n_j</math> untuk setiap <math>1 \leq i < j \leq k</math>, maka <math>N</math> juga merupakan faktor dari <math>x - y</math>, sehingga <math>x</math> dan <math>y</math> akan kongruen dalam modulo <math>N</math>. Jika <math>x</math> dan <math>y</math> bernilai nonnegatif dan kurang dari <math>N</math> (seperti pada [[#Selang terbatas|isi pernyataan pertama]]), maka <math>x - y</math> haruslah bernilai <math>0</math>.

=== Kewujudan (bukti pertama) ===
Perhatikan bahwa pemetaan
<math display="block">f(x \bmod N) = \left( x \bmod n_1, \, x \bmod n_2, \, x \bmod n_3, \, \ldots, \, x \bmod n_k \right)</math>
memetakan [[Aritmetika modular#Kelas kekongruenan|kelas-kelas kekongruenan]] modulo <math>N</math> ke barisan kelas-kelas kekongruenan modulo <math>n_i</math>. [[#Ketunggalan|Bukti ketunggalan]] menunjukkan bahwa pemetaan tersebut bersifat [[fungsi injektif|injektif]]. Oleh karena [[ranah fungsi|domain]] dari pemetaan tersebut memiliki [[kardinalitas]] yang sama dengan [[kodomain]]nya, maka pemetaan tersebut juga bersifat [[fungsi surjektif|surjektif]], sehingga penyelesaiannya terjamin ada.

Pembuktian ini cukup sederhana, tetapi tidak menyediakan metode atau cara untuk mencari penyelesaiannya. Selain itu, pembuktian ini tidak dapat diperumum ke situasi lain, berbeda dengan kedua bukti berikut.

=== Kewujudan (bukti kedua) ===
Kewujudan penyelesaian dari sistem kongruensinya dapat dilakukan dengan konstruksi bilangan <math>x</math> secara eksplisit. Konstruksi ini melibatkan dua langkah berbeda, yaitu penyelesaian untuk kasus dua moduli, kemudian memperumum penyelesaian tersebut untuk sembarang <math>k</math> moduli menggunakan [[induksi matematika]].

Diberikan sistem kekongruenan linier
<math display="block">\begin{align}
x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
x &\equiv a_2 \pmod{n_2}
\end{align}</math>
dengan <math>n_1</math> [[koprima (bilangan)|koprima]] dengan <math>n_2</math>. Berdasarkan [[identitas Bézout]], maka terdapat bilangan bulat <math>p</math> dan <math>q</math> sedemikian sehingga
<math display="block">p n_1 + q n_2 = 1</math>
Nilai dari <math>p</math> dan <math>q</math> dapat dicari dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas|algoritma Euclid diperluas]].

Pandang bilangan

<math display="block">x = a_1 q n_2 + a_2 p n_1</math>

Perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
x &= a_1 (q n_2) + a_2 p n_1 \\
&= a_1 \left( 1 - p n_1 \right) + a_2 p n_1 \\
&= a_1 + \left( a_2 - a_1 \right) p n_1 \\
x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
\\
x &= a_1 q n_2 + a_2 (p n_1) \\
&= a_1 q n_2 + a_2 \left( 1 - q n_2 \right) \\
&= a_2 + \left( a_1 - a_2 \right) q n_2 \\
x &\equiv a_2 \pmod{n_2}
\end{align}</math>
yang menunjukkan bahwa <math>x</math> merupakan penyelesaian dari sistem yang diberikan.

Sekarang tinjau sistem kekongruenan linier
<math display="block">\begin{align}
x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
x &\equiv a_2 \pmod{n_2} \\
x &\equiv a_3 \pmod{n_3} \\
&\ldots \\
x &\equiv a_k \pmod{n_k}
\end{align}</math>
dengan <math>\operatorname{FPB} (a_i, \, a_j) = 1</math> untuk setiap <math>1 \leq i < j \leq k</math>. Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa dua kekongruenan pertama memiliki suatu penyelesaian, yaitu <math>a_{1, \, 2}</math>. Himpunan penyelesaian dari dua kekongruenan pertama ini ialah himpunan semua bilangan bulat <math>x</math> yang memenuhi
<math display="block">x \equiv a_{1, \, 2} \pmod{n_1 \cdot n_2}</math>

Oleh karena <math>n_1 \cdot n_2</math> koprima dengan setiap <math>n_i</math> lainnya, maka sistem kekongruenannya tereduksi menjadi <math>k - 1</math> kekongruenan simultan, yaitu
<math display="block">\begin{align}
x &\equiv a_{1, \, 2} \pmod{n_1 \cdot n_2} \\
x &\equiv a_3 \pmod{n_3} \\
&\ldots \\
x &\equiv a_k \pmod{n_k}
\end{align}</math>
Penyelesaian sistemnya akan diperoleh dengan melakukan iterasi serupa yang berulang sebanyak <math>k - 2</math> kali.

=== Kewujudan (bukti ketiga) ===
Untuk mengonstruksikan penyelesaian, induksi pada banyaknya moduli tidaklah diperlukan. Namun, konstruksi langsung semacam ini akan melibatkan perhitungan yang lebih rumit dengan bilangan besar, yang membuat metode ini kurang efisien serta jarang digunakan. Walaupun demikian, [[polinomial Lagrange|interpolasi Lagrange]] merupakan [[kasus khusus]] dari konstruksi ini, yang diterapkan pada [[polinomial]] alih-alih bilangan bulat.

Misalkan <math>N_i = \tfrac{N}{n_i}</math> menyatakan [[darab]] dari semua moduli selain <math>n_i</math>. Oleh karena setiap <math>n_i</math> koprima pasang demi pasang, maka <math>N_i</math> akan koprima dengan <math>n_i</math>. Berdasarkan [[identitas Bézout]], maka terdapat suatu bilangan bulat <math>M_i</math> dan <math>m_i</math> sedemikian sehingga
<math display="block">M_i N_i + m_i n_i = 1</math>

Pandang bilangan
<math display="block">x = a_1 M_1 N_1 + a_2 M_2 N_2 + a_3 M_3 N_3 + \ldots + a_k M_k N_k</math>
Jika <math>i \neq j</math>, maka berdasarkan definisi dari <math>N_i</math>, perhatikan bahwa <math>N_i</math> merupakan kelipatan dari <math>n_j</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
x &= a_1 M_1 N_1 + a_2 M_2 N_2 + a_3 M_3 N_3 + \ldots + a_k M_k N_k \\
x &\equiv a_j M_j N_j \pmod{n_j} \\
&\equiv a_j (1 - m_j n_j) \pmod{n_j} \\
&\equiv a_j \pmod{n_j}
\end{align}</math>
untuk setiap <math>1 \leq j \leq k</math>, sehingga <math>x</math> merupakan penyelesaian dari sistem yang diberikan.

== Lihat juga ==
* [[Sistem pelingkup]]
* [[Prinsip Hasse]]
* [[Sistem bilangan residu]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
* . Lihat Bagian 2.5, "Sifat Helly", hlm. 393–394.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Bacaan lanjutan ==
* . Lihat Bagian 31.5: Teorema sisa Tiongkok, hlm. 873–876.
*
*
* . Lihat Bagian 4.3.2 (hlm. 286–291), latihan 4.6.2–3 (halaman 456).

== Pranala luar ==
*
*
*
* [http://ctext.org/sunzi-suan-jing Full text of the Sun-tzu Suan-ching] (Chinese) [[Chinese Text Project]]
* [http://www.cut-the-knot.org/blue/chinese.shtml Teorema sisa Tiongkok] di [[Alexander Bogomolny#Cut-the-Knot|Cut-the-Knot]].

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+sisa+Tiongkok&oldid=29304276 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29304276 (2026-06-01T14:37:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.