Teori grup - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:58:16Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.58
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]] dan [[aljabar abstrak]], '''teori grup''' mempelajari [[struktur aljabar]] yang dikenal sebagai [[grup (matematika)\|grup]].		[[File:Rubik's_cube.svg\|thumb\|right\|280px\|Rubik's cube]]

			[[Gambar:Rubik's cube.svg\|thumb\|Teka-teki populer [[kubus Rubik]] yang ditemukan pada tahun 1974 oleh [[rubik Ernő]] telah digunakan sebagai ilustrasi [[grup permutasi]]. Lihat [[Grup Kubus Rubik]].]]

			Dalam [[matematika]] dan [[aljabar abstrak]], '''teori grup''' mempelajari [[struktur aljabar]] yang dikenal sebagai [[grup (matematika)\|grup]].
	Konsep grup sangat penting dalam aljabar abstrak: struktur aljabar terkenal lainnya, seperti [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], [[medan (matematika)\|medan]], dan [[ruang vektor]], semua dilihat sebagai grup yang diberkahi dengan tambahan [[operasi (matematika)\|operasi]] dan [[aksioma]]. Grup dalam matematika, dan metode teori grup memengaruhi banyak bagian aljabar. [[Grup aljabar linear]] dan [[grup Lie]] adalah dua cabang teori grup yang telah mengalami kemajuan dan menjadi bidang subjek dengan sendiri.		Konsep grup sangat penting dalam aljabar abstrak: struktur aljabar terkenal lainnya, seperti [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], [[medan (matematika)\|medan]], dan [[ruang vektor]], semua dilihat sebagai grup yang diberkahi dengan tambahan [[operasi (matematika)\|operasi]] dan [[aksioma]]. Grup dalam matematika, dan metode teori grup memengaruhi banyak bagian aljabar. [[Grup aljabar linear]] dan [[grup Lie]] adalah dua cabang teori grup yang telah mengalami kemajuan dan menjadi bidang subjek dengan sendiri.

	Berbagai sistem fisik, seperti [[kristal]] dan [[atom bakhidrogen]] yang dimodelkan dengan [[grup simetri]]. Jadi teori grup dan [[teori representasi]] yang terkait erat memiliki banyak aplikasi penting dalam [[fisika]], [[kimia]], dan [[ilmu material]]. Teori grup juga penting untuk [[kriptografi kunci publik]].		Berbagai sistem fisik, seperti [[kristal]] dan [[atom bakhidrogen]] yang dimodelkan dengan [[grup simetri]]. Jadi teori grup dan [[teori representasi]] yang terkait erat memiliki banyak aplikasi penting dalam [[fisika]], [[kimia]], dan [[ilmu material]]. Teori grup juga penting untuk [[kriptografi kunci publik]].

	[[Sejarah teori grup]] awal berasal dari abad ke-19. Salah satu pencapaian matematika terpenting abad ke-20 adalah upaya kolaboratif, mengambil lebih dari 10.000 halaman jurnal dan sebagian besar diterbitkan antara 1960 dan 1980, yang memuncak dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]] kompleks.		[[Sejarah teori grup]] awal berasal dari abad ke-19. Salah satu pencapaian matematika terpenting abad ke-20<ref>Richard Elwes. [http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html An enormous theorem: the classification of finite simple groups]. ''Plus Magazine''. December 2006.</ref> adalah upaya kolaboratif, mengambil lebih dari 10.000 halaman jurnal dan sebagian besar diterbitkan antara 1960 dan 1980, yang memuncak dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]] kompleks.

	== Sejarah ==		== Sejarah ==

	Ada tiga akar sejarah teori grup: teori [[persamaaan aljabar]], [[teori bilangan]] dan [[geometri]]. [[Euler]], [[Gauss]], [[Lagrange]], [[Abel]], dan [[Galois]] merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan [[teori medan]], dengan teorinya yang sekarang disebut [[teori Galois]].		Ada tiga akar sejarah teori grup: teori [[persamaaan aljabar]], [[teori bilangan]] dan [[geometri]]. [[Euler]], [[Gauss]], [[Lagrange]], [[Abel]], dan [[Galois]] merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan [[teori medan]], dengan teorinya yang sekarang disebut [[teori Galois]].

Baris 27:		Baris 30:

	== Pengenalan Elementer ==		== Pengenalan Elementer ==

	Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk [[grup automorfis]]. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat [[invarian]], dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut [[grup simetri]].		Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk [[grup automorfis]]. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat [[invarian]], dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut [[grup simetri]].

Baris 44:		Baris 46:

	=== Beberapa teori yang Bermanfaat ===		=== Beberapa teori yang Bermanfaat ===
	Beberapa hasil dasar		Beberapa hasil dasar
	*[[Teori grup elementer]]		*[[Teori grup elementer]]
	*[[Lemma kupu-kupu]]		*[[Lemma kupu-kupu]]
Baris 54:		Baris 56:

	== Hal-hal umum ==		== Hal-hal umum ==

	Dalam [[aljabar abstrak]], kita mendapatkan beberapa struktur yang mirip dengan suatu grup dengan melonggarkan beberapa aksioma yang diberikan di awal artikel ini.		Dalam [[aljabar abstrak]], kita mendapatkan beberapa struktur yang mirip dengan suatu grup dengan melonggarkan beberapa aksioma yang diberikan di awal artikel ini.
	· Jika kita eliminasi persyaratan yang menyebutkan bahwa setiap unsur memiliki invers, maka kita akan mendapatkan sebuah [[monoid]]		· Jika kita eliminasi persyaratan yang menyebutkan bahwa setiap unsur memiliki invers, maka kita akan mendapatkan sebuah [[monoid]]
Baris 73:		Baris 74:

	== Lain-lain ==		== Lain-lain ==

	[[James Newman]] merumuskan teori grup sebagai berikut:		[[James Newman]] merumuskan teori grup sebagai berikut:


	Salah satu aplikasi teori grup adalah dalam [[teori himpunan musik]].		Salah satu aplikasi teori grup adalah dalam [[teori himpunan musik]].
Baris 82:		Baris 81:
	* [[Daftar topik teori grup]]		* [[Daftar topik teori grup]]
	* [[Contoh grup]]		* [[Contoh grup]]

	~~== Referensi ==~~


	*
	*
	*
	*
	* Shows the advantage of generalising from group to [[groupoid]].
	* An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source [[GNU Free Documentation License\|GFDL]] license.
	*
	*
	* Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to [[symmetries]] in [[physics]] and other sciences.
	*
	* [[Mark Ronan\|Ronan M.]], 2006. ''Symmetry and the Monster''. Oxford University Press. . For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
	* A standard contemporary reference.
	*
	* Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html History of the abstract group concept]		* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html History of the abstract group concept]
	* [http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm Higher dimensional group theory]		* [http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm Higher dimensional group theory]
	* [http://plus.maths.org/issue48/package/index.html Plus teacher and student package: Group Theory]		* [http://plus.maths.org/issue48/package/index.html Plus teacher and student package: Group Theory]


	[[ml:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം]]		[[ml:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം]]

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori+grup&oldid=29151364 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29151364 (2026-04-21T18:48:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori+grup&oldid=29151364 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29151364 (2026~~-04-~~21T18:48:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29151364; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:21:28Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29151364; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]] dan [[aljabar abstrak]], '''teori grup''' mempelajari [[struktur aljabar]] yang dikenal sebagai [[grup (matematika)|grup]].
Konsep grup sangat penting dalam aljabar abstrak: struktur aljabar terkenal lainnya, seperti [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[medan (matematika)|medan]], dan [[ruang vektor]], semua dilihat sebagai grup yang diberkahi dengan tambahan [[operasi (matematika)|operasi]] dan [[aksioma]]. Grup dalam matematika, dan metode teori grup memengaruhi banyak bagian aljabar. [[Grup aljabar linear]] dan [[grup Lie]] adalah dua cabang teori grup yang telah mengalami kemajuan dan menjadi bidang subjek dengan sendiri.

Berbagai sistem fisik, seperti [[kristal]] dan [[atom bakhidrogen]] yang dimodelkan dengan [[grup simetri]]. Jadi teori grup dan [[teori representasi]] yang terkait erat memiliki banyak aplikasi penting dalam [[fisika]], [[kimia]], dan [[ilmu material]]. Teori grup juga penting untuk [[kriptografi kunci publik]].

[[Sejarah teori grup]] awal berasal dari abad ke-19. Salah satu pencapaian matematika terpenting abad ke-20 adalah upaya kolaboratif, mengambil lebih dari 10.000 halaman jurnal dan sebagian besar diterbitkan antara 1960 dan 1980, yang memuncak dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]] kompleks.

== Sejarah ==

Ada tiga akar sejarah teori grup: teori [[persamaaan aljabar]], [[teori bilangan]] dan [[geometri]]. [[Euler]], [[Gauss]], [[Lagrange]], [[Abel]], dan [[Galois]] merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan [[teori medan]], dengan teorinya yang sekarang disebut [[teori Galois]].

Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada ''[[Hudde]]''(1659). ''[[Saunderson]]''(1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu persamaan sektik, dan ''[[Le Soeur]]'' (1748) dan ''[[Waring]]'' (1762 sampai 1782) masih menganalisi data lebih lanjut.

Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari ''[[permutasi grup]]'' ditemukan oleh ''[[Lagrange]]''(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan [[fungsi rasional]] dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini, Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari ''[[Vandermonde]]'' (1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat lebih tinggi.

''[[Ruffini]]'' (1799) membedakan intransitif dan ''[[transitif]]'', dan grup ''[[imprimitif]]'' dan primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Dia juga memublikasikan sebuah surat dari ''[[Abbati]]'' untuk dirinya sendiri, yang di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.

''[[Galois]]'' menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang (1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori ''[[persamaan modular]]'' dan ''[[fungsi eliptik]]''. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan saat usianya mencapai 18 tahun (1829), tetapi kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).

''[[Arthur Cayley]]'' dan ''[[Augustin Louis Cauchy]]'' merupakan orang-oarang pertama yang menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh ''[[Serret]]'', yang merelakan bagian VI dari aljabarnya untuk teori itu; oleh ''[[Camille Jordan]]'', yang Traité des Substitutions bersifat klasik; dan kepada ''[[Netto]]'' (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam [[bahasa Inggris]] oleh Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari ''[[abad ke-19]]'' adalah ''[[Bertrand]]'', ''[[Charles Hermite]]'', ''[[Frobenius]]'', ''[[Leopold Kronecker]]'', dan ''[[Mathieu]]''.

Pada tahun 1882, ''[[Walther von Dyck]]'' berhasil merumuskan definisi modern dari suatu grup.

Pembahasan mengenai ''[[grup Lie]]'', dan ''[[subgrup diskrit]]'', sebagai ''[[grup transformasi]]'', mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh ''[[Sophus Lie]]''; diikuti oleh ''[[Killing]]'', ''[[Study]]'', ''[[Schur]]'', dan ''[[Maurer]]''. Teori diskontinu (''[[grup diskrit]]'') dicetuskan oleh ''[[Felix Klein]]'', Lie, ''[[Poincaré]]'', and ''[[Charles Emile Picard]]'', dihubungkan dengan ''[[bentuk modular]]'' dan ''[[monodromi]]''.

Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah ''[[Emil Artin]]'', ''[[Emmy Noether]]'', ''[[Sylow]]'' dan masih banyak lagi.

== Pengenalan Elementer ==

Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk [[grup automorfis]]. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat [[invarian]], dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut [[grup simetri]].

Dalam teori Galois, yang merupakan origin sejarah konsep grup, seseorang menggunakan grup untuk menggambarkan simetri persamaan yang diselesaikan dengan suatu persamaan polinom. Grup yang dapat diselesaikan dinamai seperti itu karena sifat-sifatnya yang tetap dalam teori ini.

[[Grup Abelian]] mencakup beberapa struktur yang dipelajari dalam aljabar abstark, seperti sinsin, medan, dan modul.

Dalam [[topologi aljabar]], grup digunakan untuk menggambarkan sifat invarian dari [[Ruang topologis|ruang topologi]] (nama torsi [[subgrup]] dari suatu grup infinitif yang menunjukkan dalam medan). Disebut ‘invarian’ karena mereka didefinisikan melalui suatu cara yang mana mereka tidak berubah jika ruangnya dideformasi. Contohnya termasuk grup fundamental, grop homolog, dan grup co-homolog.

Konsep [[grup Lie]]( yang dinamai sesuai ahli matematika [[Sophus Lie]]) bersifat penting untuk mempelajari [[persamaan diferensial]] dan [[manifold]]s; teori ini menggambungkan analisi dan teori grup serta objek yang tepat untuk menggambarkan simetri dari struktur yang dianalisis. Analisis yang dilakukan pada suatu grup dengan cara tersebut dinamakan [[analisis harmonik]].

Dalam [[kombinatorik]], grup [[permutasi]] dan konsep aksi grup sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan satu set objek; lihat [[Burnside's lemma]].

Pemahaman terhadap teori grup juga sangat penting dalam ilmu-ilmu fisik. Dalam [[kimia]], grup digunakan untuk mengklasifikasikan [[struktur kristal]], polihedra reguler, dan simetri molekul. Dalam fisika, grup bersifat penting karena dapat menggambarkan simetri yang bisasanya ada dalam fisika. Para ahli fisika sangat tertarik pada representasi grup, terutama grup Lie, karena representasinya sering kali membuka celah munculnya teori fisika baru.
Contoh dalam fisika: [[Model Standar]], [[Teori Gauge]].

=== Beberapa teori yang Bermanfaat ===
Beberapa hasil dasar
*[[Teori grup elementer]]
*[[Lemma kupu-kupu]]
*[[Teorema fundamental homomorfik]]
*[[Teorema Jordan–Hölder]]
*[[Teorema Krull–Schmidt]]
*[[Teorema Lagrange]]
*[[Teorema Sylow]]

== Hal-hal umum ==

Dalam [[aljabar abstrak]], kita mendapatkan beberapa struktur yang mirip dengan suatu grup dengan melonggarkan beberapa aksioma yang diberikan di awal artikel ini.
· Jika kita eliminasi persyaratan yang menyebutkan bahwa setiap unsur memiliki invers, maka kita akan mendapatkan sebuah [[monoid]]
· Jika kita juga tidak melibatkan identitas, maka kita dapatkan suatu [[semigrup]]
· Oleh karena itu, jika kita melonggarkan persyaratan yang menyebutkan bahwa operasi bersifat [[asosiatif]] sementara masih mensyaratkan kemungkinan suatu [[divisi]], maka kita dapatkan sebuah [[loop(algebra)|loop]].
· Jika kita juga mengabaikan identitas, maka kita dapatkan suatu [[quasigrup]]
· Jika kita abaikan seluruh aksioma [[operasi biner]], maka kita mendapatkan suatu [[magma(algebra)|magma]]

[[Grupoid]], yang bersifat mirip dengan grup kecuali dalam hal komposisi ''a''*''b'' tidak perlu didefinisikan untuk semua ''a'' dan ''b'', muncul sebagai suatu studi dari berbagai macam simetri terkait, terutama dalam hal topologi dan analisis struktur. Groupoid merupakan bagian khusus [[kategori]].

[[Supergrup]] dan [[aljabar Hopf]] merupakan hal umum lainnya.

[[Grup Lie]], [[grup aljabar]], dan [[grup topologis]] merupakan contoh [[grup objek]]: struktur seperti grup yang menempati kategori selain kategori yang lumrah.

Grup Abelian atau grup komutatif, yang membentuk prototip untuk konsep suatu [[kategori Abelian]], salah satunya diaplikasikan dalam pendefinisian [[ruang vektor]].

[[Hukum grup formal]] merupakan [[deret pangkat]] formal yang memiliki sifat seperti operasi grup.

== Lain-lain ==

[[James Newman]] merumuskan teori grup sebagai berikut:

Salah satu aplikasi teori grup adalah dalam [[teori himpunan musik]].

== Lihat pula ==
* [[Daftar topik teori grup]]
* [[Contoh grup]]

== Referensi ==

*
*
*
*
* Shows the advantage of generalising from group to [[groupoid]].
* An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source [[GNU Free Documentation License|GFDL]] license.
*
*
* Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to [[symmetries]] in [[physics]] and other sciences.
*
* [[Mark Ronan|Ronan M.]], 2006. ''Symmetry and the Monster''. Oxford University Press. . For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
* A standard contemporary reference.
*
* Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
*
*

== Pranala luar ==
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html History of the abstract group concept]
* [http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm Higher dimensional group theory]
* [http://plus.maths.org/issue48/package/index.html Plus teacher and student package: Group Theory]

[[ml:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori+grup&oldid=29151364 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29151364 (2026-04-21T18:48:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.