Transpos - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:05:24Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 18.05
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar linear]], '''transpos''' dari sebuah [[Matriks (matematika)\|matriks]] adalah [[operator]] yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks , menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai . transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris [[Arthur Cayley]].		[[File:Matrix_transpose.gif\|thumb\|right\|280px\|Matriks '''A''' T sebagai hasil transpos dari '''A''' dapat dicari dengan merefleksikan setiap elemennya sepanjang diagonal utamanya. Mengulangi langkah ini pada matriks hasil transpos akan menghasilkan matriks dengan setiap elemen kembali ke posisi awalnya]]

			Dalam [[aljabar linear]], '''transpos''' dari sebuah [[Matriks (matematika)\|matriks]] adalah [[operator]] yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks , menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai .<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/ Comprehensive List of Algebra Symbols]. ''Math Vault''. 2020-03-25.</ref><ref>Duane Nykamp. [https://mathinsight.org/matrix_transpose The transpose of a matrix]. ''Math Insight''.</ref> transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris [[Arthur Cayley]].<ref>Arthur Cayley (1858) [https://books.google.com/books?id=flFFAAAAcAAJ&pg=PA31#v=onepage&q&f=false "A memoir on the theory of matrices"], ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''148''' : 17–37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.</ref>

	== Transpos dari sebuah matriks ==		== Transpos dari sebuah matriks ==

	=== Definisi ===		=== Definisi ===
	Transpos dari sebuah matriks , yang dinyatakan sebagai , , , <math>A^{\intercal}</math>, , , , atau , dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:		Transpos dari sebuah matriks , yang dinyatakan sebagai ,<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/ Comprehensive List of Algebra Symbols]. ''Math Vault''. 2020-03-25.</ref><ref>T.A. Whitelaw. [https://books.google.com/books?id=6M_kDzA7-qIC&q=transpose Introduction to Linear Algebra, 2nd edition]. CRC Press. 1 April 1991. ISBN 978-0-7514-0159-2.</ref> , , <math>A^{\intercal}</math>,<ref>[https://proofwiki.org/wiki/Transpose_of_Matrix_Product Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)]. ''ProofWiki''.</ref><ref>[https://tex.stackexchange.com/questions/30619/what-is-the-best-symbol-for-vector-matrix-transpose What is the best symbol for vector/matrix transpose?]. ''Stack Exchange''.</ref> ,<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/Transpose.html Transpose]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref> , , atau , dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

	# Merefleksikan sepanjang [[diagonal utama]]nya untuk mendapatkan ;		# Merefleksikan sepanjang [[diagonal utama]]nya untuk mendapatkan ;
Baris 21:		Baris 22:

	Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:		Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:
			{\| class="wikitable"
			\|+
			!Nama matriks
			!Kondisi
			!Definisi
			\|-
			\|[[Matriks simetrik\|Simetrik]]
			\|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}</math>
			\|Matriks persegi dengan hasil transposnya berupa dirinya sendiri
			\|-
			\|''Skew-symmetric''
			\|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = -\mathbf{A}</math>
			\|Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan negatif dari dirinya sendiri
			\|-
			\|[[Matriks Hermite\|Hermite]]
			\|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}}</math>
			\|Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposnya adalah [[konjugat kompleks]] dari elemen pada posisi yang sama.
			Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpos konjugatnya.
			\|-
			\|[[Matriks ortogonal\|Ortogonal]]
			\|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}^{-1}</math>
			\|Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan [[Matriks yang dapat dibalik\|invers]] dirinya sendiri
			\|-
			\|[[Matriks uniter\|Uniter]]
			\|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}^{-1}}</math>
			\|Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri.
			\|}

	=== Contoh ===		=== Contoh ===

	* <math>\begin{bmatrix}		* <math>\begin{bmatrix}
	1 & 2		1 & 2
Baris 70:		Baris 96:
	Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:		Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

	: <math>\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} = \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}= \mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T} .</math>		: <math>\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} = \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}= \mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T} .</math><ref>Gilbert Strang (2006) ''Linear Algebra and its Applications'' 4th edition, page 51, Thomson Brooks/Cole</ref>

	=== Implementasi transpos matriks di komputer ===		=== Implementasi transpos matriks di komputer ===

	Di [[komputer]], kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di [[Memori (komputer)\|memori]] cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, [[Pustaka (perangkat lunak)\|pustaka]] untuk [[aljabar linear]], seperti [[BLAS]], umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.		Di [[komputer]], kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di [[Memori (komputer)\|memori]] cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, [[Pustaka (perangkat lunak)\|pustaka]] untuk [[aljabar linear]], seperti [[BLAS]], umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Baris 79:		Baris 104:

	Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran ''n'' × ''m'' ''in-place'', dengan [[Notasi O besar\|O(1)]] penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada ''mn''. Pada kasus ''n'' ≠ ''m'', hal ini melibatkan [[permutasi]] elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara ''in-place''. Karena hal itu, metode transpos matriks ''in-place'' yang efisien banyak diteliti pada bidang [[ilmu komputer]] mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa [[Algoritma\|algoritme]] telah dikembangkan dalam hal tersebut.		Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran ''n'' × ''m'' ''in-place'', dengan [[Notasi O besar\|O(1)]] penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada ''mn''. Pada kasus ''n'' ≠ ''m'', hal ini melibatkan [[permutasi]] elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara ''in-place''. Karena hal itu, metode transpos matriks ''in-place'' yang efisien banyak diteliti pada bidang [[ilmu komputer]] mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa [[Algoritma\|algoritme]] telah dikembangkan dalam hal tersebut.

	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
			*
	*
	* .		* .
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	* Gilbert Strang (Spring 2010) [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ Linear Algebra] dari MIT Open Courseware		* Gilbert Strang (Spring 2010) [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ Linear Algebra] dari MIT Open Courseware

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Transpos&oldid=29524949 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524949 (2026-08-04T14:54:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Transpos&oldid=29524949 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524949 (2026~~-08-~~04T14:54:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29524949; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:38:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29524949; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar linear]], '''transpos''' dari sebuah [[Matriks (matematika)|matriks]] adalah [[operator]] yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks , menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai . transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris [[Arthur Cayley]].

== Transpos dari sebuah matriks ==

=== Definisi ===
Transpos dari sebuah matriks , yang dinyatakan sebagai , , , <math>A^{\intercal}</math>, , , , atau , dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

# Merefleksikan sepanjang [[diagonal utama]]nya untuk mendapatkan ;
# Menulis setiap baris dari sebagai kolom dari ;
# Menulis setiap kolom dari sebagai baris dari .

Secara lebih formal, elemen baris ke- dan kolom ke- dari adalah elemen baris ke- dan kolom ke- dari :

: <math>\left[\mathbf{A}^\operatorname{T}\right]_{ij} = \left[\mathbf{A}\right]_{ji}.</math>

Jika adalah matriks berukuran , maka matriks berukuran .

Untuk kasus matriks persegi, notasi juga dapat menyatakan pangkat dari matriks . Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpos sebagai . Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena : menulis tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol sebagai nama [[Variabel (matematika)|variabel]].

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:

=== Contoh ===

* <math>\begin{bmatrix}
1 & 2
\end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
= \,
\begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix}
</math>

* <math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
</math>

* <math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6
\end{bmatrix}
</math>

=== Sifat ===
Misal dan adalah matriks dan adalah sebuah [[skalar]]. Berikut adalah beberapa sifat dari operator transpos: \mathbf{b},</math>
atau juga dapat ditulis sebagai dalam [[notasi Einstein]].|Jika semua elemen adalah bilangan real, maka adalah [[matriks semidefinit-positif]].|<math>\left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1}\right)^\operatorname{T}.</math>
: Transpos dari matriks yang dapat dibalik juga berupa matriks yang dapat dibalik, dan inversnya adalah transpos dari invers matriks awalnya. Notasi terkadang digunakan untuk mewakili kedua ekpresi yang setara tersebut.|Jika adalah matriks persegi, maka [[Nilai dan vektor Eigen|nilai-nilai eigennya]] sama dengan nilai-nilai eigen dari transposnya, karena mereka berdua memiliki [[polinomial karakteristik]] yang sama.}}

=== Hasil kali ===
Jika matriks berukuran dan adalah transposnya, maka hasil [[perkalian matriks]] antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: yang berukuran dan yang berukuran . Lebih lanjut, kedua matriks ini [[Matriks simetrik|simetrik]]. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks adalah [[Ruang hasil kali dalam|hasil kali dalam]] baris dari dengan kolom dari . Namun karena kolom pada adalah baris pada , setiap elemen di adalah hasil kali dalam dua baris matriks . Jika adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke- dan ke- di . Nilai elemen juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga , dan menyebabkan simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

: <math>\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} = \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}= \mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T} .</math>

=== Implementasi transpos matriks di komputer ===

Di [[komputer]], kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di [[Memori (komputer)|memori]] cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, [[Pustaka (perangkat lunak)|pustaka]] untuk [[aljabar linear]], seperti [[BLAS]], umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam ''row-major order'', memiliki baris matriks yang ''contiguous'' di memori, tetapi kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritma [[transformasi Fourier cepat]], melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya ''contiguous'' mungkin dapat meningkatkan peformanya karena ''memory locality'' yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran ''n'' × ''m'' ''in-place'', dengan [[Notasi O besar|O(1)]] penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada ''mn''. Pada kasus ''n'' ≠ ''m'', hal ini melibatkan [[permutasi]] elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara ''in-place''. Karena hal itu, metode transpos matriks ''in-place'' yang efisien banyak diteliti pada bidang [[ilmu komputer]] mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa [[Algoritma|algoritme]] telah dikembangkan dalam hal tersebut.

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==

*
* .
*
*
*
*

== Pranala luar ==

* Gilbert Strang (Spring 2010) [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ Linear Algebra] dari MIT Open Courseware

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Transpos&oldid=29524949 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524949 (2026-08-04T14:54:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.