Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:03:12Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.03
Baris 1:		Baris 1:
	'''Turunan waktu''' () adalah suatu [[turunan]] atau derivatif dari sebuah fungsi terhadap [[waktu]], biasanya ditafsirkan sebagai laju perubahan nilai fungsi itu. Variabel yang menyatakan waktu biasanya ditulis sebagai <math>t\,</math>.		'''Turunan waktu''' () adalah suatu [[turunan]] atau derivatif dari sebuah fungsi terhadap [[waktu]], biasanya ditafsirkan sebagai laju perubahan nilai fungsi itu.<ref>Chiang, Alpha C., ''Fundamental Methods of Mathematical Economics'', McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.</ref> Variabel yang menyatakan waktu biasanya ditulis sebagai <math>t\,</math>.

	== Notasi ==		== Notasi ==
Baris 37:		Baris 37:

	=== Contoh: gerakan sirkuler ===		=== Contoh: gerakan sirkuler ===


	Misalnya, ada suatu partikel bergerak dalam jalur sirkuler atau melingkar. Posisinya diberikan oleh vektor perpindahan <math>r=x\hat{i}+y\hat{j}</math>, terhadap sudut ''θ'', dan jarak radial ''r'', sebagaimana didefinisikan dalam gambar:		Misalnya, ada suatu partikel bergerak dalam jalur sirkuler atau melingkar. Posisinya diberikan oleh vektor perpindahan <math>r=x\hat{i}+y\hat{j}</math>, terhadap sudut ''θ'', dan jarak radial ''r'', sebagaimana didefinisikan dalam gambar:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	x &= r \cos\theta \\		x &= r \cos\theta \\
	y &= r \sin\theta		y &= r \sin\theta
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Baris 72:		Baris 70:

	== Penggunaan dalam ekonomi ==		== Penggunaan dalam ekonomi ==
			Dalam [[ekonomi]], banyak model teoretis evolusi berbagai variabel ekonomi dikonstruksi dalam [[continuous time]] sehingga menggunakan turunan waktu. Contohnya [[exogenous growth model]].<ref>Romer, David, ''Advanced Macroeconomics'', McGraw-Hill, 1996.</ref><sup>bab 1-3</sup> Salah satu situasi melibatkan [[:en:stocks and flows\|variabel saham]] dan turunan waktunya, [[:en:stocks and flows\|variabel flow]]. Sejumlah contoh:
	Dalam [[ekonomi]], banyak model teoretis evolusi berbagai variabel ekonomi dikonstruksi dalam [[continuous time]] sehingga menggunakan turunan waktu. Contohnya [[exogenous growth model]].<sup>bab 1-3</sup> Salah satu situasi melibatkan [[:en:stocks and flows\|variabel saham]] dan turunan waktunya, [[:en:stocks and flows\|variabel flow]]. Sejumlah contoh:

	* Flow [[investasi tetap]] net adalah turunan waktu dari [[capital stock]].		* Flow [[investasi tetap]] net adalah turunan waktu dari [[capital stock]].
Baris 96:		Baris 93:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunan+waktu&oldid=15261407 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 15261407 (2019-06-23T20:55:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunan+waktu&oldid=15261407 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 15261407 (2019-06-23T20:55:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 15261407; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:28:12Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 15261407; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Turunan waktu''' () adalah suatu [[turunan]] atau derivatif dari sebuah fungsi terhadap [[waktu]], biasanya ditafsirkan sebagai laju perubahan nilai fungsi itu. Variabel yang menyatakan waktu biasanya ditulis sebagai <math>t\,</math>.

== Notasi ==
Berbagai notasi telah digunakan untuk menyatakan turunan waktu. Biasanya digunakan [[Notasi Leibniz]]:

:<math>\frac {dx} {dt}</math>

Notasi singkat yang umum, biasanya dalam [[fisika]] adalah 'over-dot', yaitu:

:<math>\dot{x}</math>
(Ini disebut notasi Newton)

Turunan waktu yang lebih tinggi juga digunakan: [[turunan kedua]] terhadap waktu ditulis sebagai:

:<math>\frac {d^2x} {dt^2}</math>

dengan singkatannya <math>\ddot{x}</math>.

Secara umum, turunan waktu sebuah vektor, misalnya:

:<math> \vec V = \left[ v_1,\ v_2,\ v_3, \cdots \right] \, </math>

didefinisikan sebagai vektor yang komponen-komponennya merupakan turunan dari komponen-komponen vektor aslinya. Jadi,

:<math> \frac {d \vec V } {dt} = \left[ \frac{ d v_1 }{dt},\frac {d v_2 }{dt},\frac {d v_3 }{dt}, \cdots \right] \ .</math>

== Penggunaan dalam fisika ==
Turunan waktu adalah konsep kunci dalam [[fisika]]. Misalnya, untuk suatu perubahan [[posisi (vektor)|posisi]] <math>x\,</math>, turunan waktunya <math>\dot{x}</math> adalah [[kecepatan]]nya, dan turunan keduanya terhadap waktu, <math>\ddot{x}</math>, adalah [[percepatan]]. Meskipun turunan lebih tinggi kadang kala juga digunakan: turunan ketiga posisi terhadap waktu dikenal sebagai "[[Sentakan (fisika)|sentakan]]".

Sejumlah besar persamaan fundamental dalam fisika melibatkan kuantitas turunan waktu pertama dan kedua. Banyak kuantitas fundamental lain dalam sains adalah turunan waktu satu sama lain:
* [[gaya]] adalah turunan waktu dari [[momentum]]
* [[Daya (fisika)|daya]] adalah turunan waktu dari [[energi]] atau "kerja"
* [[arus listrik]] adalah turunan waktu dari [[muatan listrik]]
dan seterusnya

Hal yang umum dijumpai dalam fisika adalah turunan waktu dari suatu [[vektor (geometri)|vektor]], seperti kecepatan atau perpindahan. Dalam menangani derivatif tersebut, baik besaran maupun orientasi dapat tergantung dari waktu.

=== Contoh: gerakan sirkuler ===

Misalnya, ada suatu partikel bergerak dalam jalur sirkuler atau melingkar. Posisinya diberikan oleh vektor perpindahan <math>r=x\hat{i}+y\hat{j}</math>, terhadap sudut ''θ'', dan jarak radial ''r'', sebagaimana didefinisikan dalam gambar:

:<math>\begin{align}
x &= r \cos\theta \\
y &= r \sin\theta
\end{align}</math>

Untuk keperluan contoh ini, ketergantungan waktu disertakan dengan setting . Perpindahan (posisi) pada waktu ''t'' adalah:
:<math>\mathbf{r}(t) = r\cos(t)\hat{i}+r\sin(t)\hat{j}</math>

Bentuk ini menunjukkan gerakan yang diberikan oleh '''''r'''''(''t'') adalah suatu lingkaran dengan [[jari-jari]] ''r'' karena ''besaran'' '''''r'''''(''t'') diberikan oleh
:<math>|\mathbf{r}(t)| = \sqrt{\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t)}=\sqrt {x(t)^2 + y(t)^2 } = r\, \sqrt{\cos^2(t) + \sin^2(t)} = r</math>

menggunakan [[identitas trigonometri]] dan di mana <math>\cdot</math> adalah hasil [[perkalian skalar]] biasa.

Dengan bentuk perpindahan ini, [[kecepatan]] dapat dihitung. Turunan waktu vektor perpindahan adalah vektor kecepatan. Secara umum, turunan suatu vektor adalah vektor yang terdiri dari komponnen-komponen di mana masing-masing adalah turunan dari komponen bersangkutan pada vektor aslinya. Jadi, dalam hal ini, vektor kecepatan adalah:

:<math>
\begin{align}
\mathbf{v}(t) = \frac {d\,\mathbf{r}(t) }{dt} &= r \left[\frac{d\, \cos(t)}{dt}, \frac{d\, \sin(t)}{dt} \right] \\
&= r\ [ -\sin(t),\ \cos(t)] \\
&= [-y (t), x(t)].
\end{align}</math>

Jadi kecepatan partikel itu ''nonzero'' (bukan nol) meskipun besaran posisi (yaitu, jari-jari jalur gerakan) konstan. Kecepatan ini diarahkan tegak lurus dari perpindahan, yang dihitung menggunakan [[perkalian skalar]]:
:<math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{r} = [-y, x] \cdot [x, y] = -yx + xy = 0\, .</math>

Jadinya [[percepatan|percepatan atau akselerasi]] adalah turunan waktu kecepatan:
:<math>\mathbf{a}(t) = \frac {d\, \mathbf{v}(t)}{dt} = [-x(t), -y(t)] = -\mathbf{r}(t)\, .</math>

Percepatan diarahkan ke dalam, ke arah aksis rotasi, menunjuk arah berlawanan dengan vektor posisi dan tegak lurus terhadap vektor kecepatan. Percepatan ke arah dalam ini disebut [[gaya sentripetal|percepatan sentripetal]].

== Penggunaan dalam ekonomi ==

Dalam [[ekonomi]], banyak model teoretis evolusi berbagai variabel ekonomi dikonstruksi dalam [[continuous time]] sehingga menggunakan turunan waktu. Contohnya [[exogenous growth model]].<sup>bab 1-3</sup> Salah satu situasi melibatkan [[:en:stocks and flows|variabel saham]] dan turunan waktunya, [[:en:stocks and flows|variabel flow]]. Sejumlah contoh:

* Flow [[investasi tetap]] net adalah turunan waktu dari [[capital stock]].
* Flow [[inventory investment]] adalah turunan waktu dari ''stock of [[inventories]]''.
* Laju pertumbuhan [[money supply]] adalah turunan waktu dari suplai uang dibagi suplai uang itu sendiri.

Kadang-kadang turunan waktu variabel flow dapat muncul dalam suatu model:

* Laju pertumbuhan [[output (ekonomi)|output]] adalah turunan waktu dari flow output dibagi output sendiri.
* Laju pertumbuhan [[labor force]] adalah turunan waktu dari labor force dibagi labor force sendiri.

Kadang pula muncul turunan waktu dari suatu variabel yang berbeda dengan contoh-contoh di atas karena tidak diukur dalam satuan mata uang:

* Turunan waktu [[suku bunga]] kunci dapat muncul.
* [[Laju inflasi]] adalah laju pertumbuhan [[tingkat harga]]—yaitu, turunan waktu tingkat harga dibagi tingkat harga sendiri.

== Lihat pula ==
* [[Kalkulus diferensial]]
* [[Notasi untuk diferensiasi]]
* [[Gerak melingkar]]
* [[Gaya sentripetal]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunan+waktu&oldid=15261407 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 15261407 (2019-06-23T20:55:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Turunan waktu - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 15261407; atribusi sumber disertakan.