Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:17Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.59
Baris 89:		Baris 89:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==


	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
	*		*
Baris 97:		Baris 95:
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
Baris 104:		Baris 102:
	* [https://web.archive.org/web/20190411111206/https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/secondderiv/ Konkavitas dan Tes Turunan Kedua]		* [https://web.archive.org/web/20190411111206/https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/secondderiv/ Konkavitas dan Tes Turunan Kedua]
	* [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/thomas-simpson-and-maxima-and-minima Thomas Penggunaan Tes Turunan Kedua oleh Simpson untuk Menemukan Maxima dan Minima] pada Konvergensi		* [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/thomas-simpson-and-maxima-and-minima Thomas Penggunaan Tes Turunan Kedua oleh Simpson untuk Menemukan Maxima dan Minima] pada Konvergensi



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji+turunan&oldid=29298879 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29298879 (2026-05-31T18:56:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji+turunan&oldid=29298879 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29298879 (2026-05-31T18:56:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29298879; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:21:22Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29298879; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[kalkulus]], '''uji turunan''' menggunakan [[turunan]] dari [[Fungsi (matematika)|fungsi]] untuk menemukan [[Titik stasioner|titik-titik kritis]] fungsi dan menentukan apakah setiap titik tersebut adalah [[maksimum lokal|titik maksimum lokal]], [[minimum lokal|titik minimum lokal]], atau [[titik pelana]]. Uji turunan juga dapat memberikan informasi mengenai [[Fungsi cekung|kecekungan]] fungsi.

Kegunaan turunan untuk menemukan titik-titik kritis dibuktikan secara matematis oleh [[teorema Fermat titik stasioner]].

== Uji turunan pertama ==
Uji turunan pertama menguji sifat-sifat [[Fungsi monotonik|kemonotonan]] dari fungsi (apakah fungsi [[Fungsi monotonik|menaik atau menurun]]), dengan berfokus pada suatu titik tertentu dalam [[Domain fungsi|domain]] fungsi tersebut. Jika nilai fungsi "berganti" dari menaik menjadi menurun pada titik tertentu, maka fungsi mencapai suatu nilai tertinggi pada titik itu. Dengan cara yang serupa, jika nilai fungsi "berganti" dari menurun ke menaik pada titik tersebut, maka fungsi mencapai sebuah nilai terendah pada titik itu. Jika nilai fungsi tidak pernah "berganti", selalu menaik atau menurun, maka tidak ada nilai tertinggi atau terendah yang dicapai oleh fungsi.

Seseorang dapat menentukan kemonotonan sebuah fungsi tanpa menggunakan kalkulus. Namun, kalkulus biasanya berguna karena terdapat [[Syarat perlu dan cukup|syarat cukup]] yang menjamin sifat-sifat kemonotonan di atas, dan syarat-syarat ini berlaku untuk sebagian besar fungsi yang umum ditemui.

=== Pernyataan yang formal tentang sifat-sifat kemonotonan ===
Dinyatakan secara formal, misalkan <math>f</math> adalah fungsi [[Fungsi kontinu|kontinu]] bernilai [[Bilangan real|real]] dari sebuah variabel real, dan terdefinisi pada beberapa [[Interval (matematika)#Penggolongan interval|selang terbuka]] yang mengandung titik <math>x</math>.

* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0</math> sehingga <math>f</math> menaik dengan lemah pada <math>(x-r,x]</math> dan menurun dengan lemah pada <math>[x,x+r)</math>, maka <math>f</math> memiliki sebuah maksimum lokal di <math>x</math>. Pernyataan ini juga bekerja sebaliknya: jika <math>x</math> adalah sebuah maksimum lokal, maka <math>f</math> menaik dengan lemah pada <math>(x-r,x]</math> dan menurun dengan lemah pada <math>[x,x+r)</math>.
* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0</math> sehingga <math>f</math> menaik dengan tegas pada <math>(x-r,x]</math> dan juga menaik dengan tegas pada <math>[x,x+r)</math>, maka <math>f</math> menaik dengan tegas pada <math>(x-r,x+r)</math> dan tidak mempunyai sebuah maksimum atau minimum lokal di <math>x</math>.

Pernyataan ini merupakan sebuah konsekuensi langsung dari cara [[ekstrem lokal]] didefinisikan. Yakni, jika <math>x_0</math> adalah sebuah titik maksimum lokal, maka terdapat <math>r>0 </math> sehingga <math>f(x) \le f(x_0)</math> untuk nilai <math>x </math> pada selang <math>(x_0 - r, x_0 + r)</math>, yang mengartikan bahwa <math>f </math> harus menaik dari <math>x_0-r</math> ''ke'' <math>x_0</math> dan harus menurun dari <math>x_0</math> ''ke'' <math>x_0+r</math>, karena <math>f </math> kontinu.

Perhatikan untuk dua kasus yang pertama, <math>f </math> tidak diperlukan menaik atau menurun dengan tegas di sekitar nilai <math>x </math>, sedangkan untuk dua kasus terakhir, <math>f </math> diperlukan menaik atau menurun dengan tegas. Alasannya terletak pada definisi maksimum dan minimum lokal, yang tidak memerlukan [[pertidaksamaan]] yang tegas: misalnya setiap nilai pada [[fungsi konstan]]ta dianggap sebuah maksimum lokal sekaligus minimum lokal.

=== Pernyataan yang formal untuk uji turunan pertama ===
Uji turunan pertama bergantung pada "uji menaik–menurun", yang pada akhirnya merupakan sebuah konsekuensi dari [[teorema nilai purata]]. Ini adalah sebuah konsekuensi langsung dari cara [[turunan]] didefinisikan dan hubungannya untuk menurunkan dan menaikkan sebuah fungsi secara lokal, digabungkan dengan bagian sebelumnya.

Misalkan <math>f </math> adalah sebuah fungsi bernilai real dari sebuah variabel real dan didefinisikan pada beberapa [[Interval (matematika)|interval]] yang berisi titik kritis <math>a</math>. Selanjutnya misalkan <math>f </math> [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada <math>a</math> dan [[Fungsi yang dapat diturunkan|dapat didiferensialkan]] pada beberapa selang terbuka yang berisi <math>a</math>, kecuali mungkin pada titik <math>a</math> sendiri.

* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0 </math>, sehingga untuk setiap <math>x </math> di <math>(a-r,a)</math> kita memiliki <math>f'(x) \ge 0</math>, dan untuk setiap <math>x </math> di <math>(a, a+r)</math> kita memiliki <math>f^{\prime}(x) \le 0</math>, maka <math>f </math> mempunyai sebuah maksimum lokal di <math>a</math>.
* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0 </math>, sehingga untuk setiap <math>x </math> di <math>(a-r,a) \cup (a,a+r) </math> kita memiliki <math>f'(x) > 0</math>, maka <math>f </math> menaik dengan tegas di <math>a</math> dan tidak mempunyai sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal di interval ini.
* Jika tidak ada syarat di atas yang dipenuhi, maka uji turunan pertama gagal (hal ini mungkin terjadi, karena terdapat fungsi yang tidak memenuhi dari tiga kondisi pertama, yaitu <math>\textstyle f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>).

Lagi, sesuai dengan ulasan di bagian sifat-sifat kemonotonan, perhatikan bahwa dua kasus pertama, pertidaksamaan tidak diperlukan tegas, sedangkan dalam dua kasus selanjutnya, pertidaksamaan yang tegas dibutuhkan.

=== Aplikasi ===
Uji turunan pertama berguna dalam penyelesaian [[masalah optimisasi]] dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Disertai dengan penggunaan [[teorema nilai ekstrem]], uji ini dapat digunakan untuk mencari maksimum atau minimum mutlak dari fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu interval yang [[Interval (matematika)#Penggolongan interval|terbuka]] dan [[Himpunan terbatas|terbatas]]. Terlebih lagi, dengan disertai informasi lainnya seperti kecekungan, titik belok, dan asimtotik, uji ini dapat digunakan untuk menggambar [[Grafik fungsi|grafik]] dari fungsi.

== Uji turunan kedua (variabel tunggal) ==
Setelah menemukan [[Titik kritis (matematika)|titik-titik kritis]] dari fungsi, ''uji turunan kedua'' menggunakan nilai dari [[turunan kedua]] pada titik-titik itu untuk menentukan apakah titik tersebut adalah sebuah [[Maksimum lokal|maksimum]] lokal atau sebuah [[Minimum lokal|minimum]] lokal. Jika fungsi <math>f </math> [[Fungsi yang dapat diturunkan|dapat diturunkan]] dua kali pada suatu titik kritis <math> x</math> (yaitu, sebuah titik dengan <math>f'(x)=0</math>), maka:

* Jika <math>f''(x) < 0</math>, maka <math>f </math> memiliki sebuah maksimum lokal pada <math> x</math>.
* Jika <math>f''(x) > 0</math>, maka <math>f </math> mempunyai sebuah minimum lokal pada <math> x</math>.
* Jika <math>f''(x) = 0</math>, maka hasil uji ini tidak meyakinkan.

Untuk kasus terakhir, [[Teorema Taylor#Teorema Taylor dalam satu variabel|teorema Taylor]] dapat digunakan untuk menentukan perilaku <math>f </math> di sekitar nilai <math> x</math> dengan menggunakan [[Turunan#Turunan tingkat tinggi|turunan tingkat tinggi]].

=== Bukti dari uji turunan kedua ===
Misalkan kita mempunyai <math>f''(x) > 0</math> (bukti untuk <math>f''(x)<0</math> analog). Dengan asumsi, <math>f'(x)=0</math>. Maka

:<math>0 < f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h)}{h}</math>

Dengan demikian, untuk <math>h</math> yang cukup kecil kita mendapatkan

:<math>\frac{f'(x+h)}{h} > 0</math>,

yang mengartikan <math>f'(x+h)<0</math> jika <math>h<0</math> (secara intuitif, <math> f</math> menurun karena mendekati <math> x </math> dari kiri), dan bahwa <math>f'(x+h)>0</math> jika <math>h>0</math> (secara intuitif, <math> f</math> menurun karena mendekati <math> x </math> dari kanan). Sekarang, dengan [[Uji turunan#Uji turunan pertama|uji turunan pertama]], <math> f</math> mempunyai sebuah maksimum lokal di <math> x </math>.

=== Uji kecekungan ===
Sebuah penggunaan turunan kedua yang terkait namun berbeda adalah untuk menentukan apakah fungsi [[Fungsi cekung|cekung ke atas]] atau [[Fungsi cekung|cekung ke bawah]] di sebuah titik. Namun uji ini tidak menyediakan informasi mengenai [[titik belok]]. Khususnya, sebuah fungsi <math> f</math> yang diturunkan dua kali cekung ke atas jika <math>f''(x) > 0 </math> dan cekung ke bawah jika <math>f''(x)<0 </math>. Perhatikan bahwa jika <math>f(x)=x^4</math>, maka <math>x=0</math> memiliki nol turunan kedua, tetapi bukan sebuah titik belok, jadi turunan kedua sendiri tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan apakah sebuah titik yang diberikan merupakan sebuah titik belok.

=== Uji turunan tingkat tinggi ===
''Uji turunan tingkat tinggi'' atau ''uji turunan umum'' dapat menentukan apakah sebuah titik kritis fungsi adalah maksimum, minimum, atau titik belok untuk variasi fungsi yang lebih banyak daripada uji turunan orde-kedua. Seperti yang ditunjukkan di bawah, uji turunan kedua secara matematis identik ke kasus khusus untuk <math>n=1 </math> dalam uji turunan tingkat tinggi.

Misalkan <math> f</math> sebagai fungsi bernilai real, dan dapat diturunkan secukupnya pada suatu interval <math>I \subset \R</math>. Misalkan pula <math>c \in I</math>, dan <math>n \ge 1</math> sebagai sebuah [[bilangan asli]]. Juga misalkan semua turunan (termasuk turunan ke-<math>n</math>) dari <math> f</math> di <math>c</math> bernilai nol, sedangkan turunan ke-(<math>n+1</math>) bernilai tak nol.

:<math>f'(c) = \cdots =f^{(n)}(c) = 0</math> dan <math>f^{(n+1)}(c) \ne 0</math>.

Terdapat empat kemungkinan, dua kasus pertama mengartikan <math>c</math> adalah sebuah titik ekstrem, sedangkan dua kasus selanjutnya mengartikn <math>c</math> adalah sebuah titik pelana (lokal):

* Jika <math>n</math> ganjil dan <math>f^{(n+1)}(c) < 0</math>, maka <math>c</math> adalah sebuah maksimum lokal
* Jika <math>n</math> ganjil dan <math>f^{(n+1)}(c) > 0</math>, maka <math>c</math> adalah sebuah minimum lokal
* Jika <math>n</math> genap dan <math>f^{(n+1)}(c) < 0</math>, maka <math>c</math> adalah sebuah titik belok yang menurun sempurna.
* Jika <math>n</math> genap dan <math>f^{(n+1)}(c) > 0</math>, maka <math>c</math> adalah sebuah titik belok yang menaik sempuna.

Karena <math>n</math> harus berupa ganjil atau genap, uji analitik ini akan mengelompokkan semua titik stasioner <math> f</math>; selama turunan pada akhirnya bernilai tidak sama dengan nol.

=== Contoh ===
Katakan, kita akan mengerjakan uji turunan umum pada fungsi <math>f(x) = x^6 + 5</math> pada titik <math>x=0</math>. Untuk melakukan ini, kita menghitung turunan dari fungsi dan kemudian mengevaluasinya pada titik-titik yang diinginkan hingga memiliki nilai bukan nol.

:<math>\begin{aligned}
f'(x) &= 6x^5, \quad f'(0)=0\\
f''(x) &= 30x^4, \quad f'(0) = 0\\
f'''(x) &= 120x^3, \quad f'(0) = 0\\
f^{(4)}(x) &= 360x^2, \quad f'(0) = 0\\
f^{(5)}(x) &= 720x, \quad f'(0) = 0 \\
f^{(6)}(x) &= 720, \quad f'(0) = 720
\end{aligned}</math>

Seperti yang ditunjukkan di atas, pada titik <math>x=0</math>, fungsi <math>x^6+5</math> memiliki semua turunan di titik 0 bernilai sama dengan 0, kecuali untuk turunan ke-6, yang hasilnya positif. Dengan demikian, <math>n=5</math>, dan oleh uji tersebut, fungsi <math>x^6+5</math> memiliki sebuah minimum lokal di 0.

== Kasus multivariabel ==
Untuk sebuah fungsi yang lebih dari satu variabel, uji turunan kedua diperumum menjadi sebuah uji berdasarkan [[Nilai eigen|nilai-nilai eigen]] dari [[matriks Hesse]] fungsi pada titik kritis. Khususnya, mengasumsikan bahwa semua [[turunan parsial]] orde-kedua <math> f </math> kontinu pada sebuah [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] titik kritis <math> x</math>, dan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di <math> x</math> semuanya bernilai positif, maka <math> x</math> adalah sebuah minimum lokal. Sedangkan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di <math> x</math> semuanya bernilai negatif, maka <math> x</math> adalah sebuah maksimum lokal. Namun jika beberapa nilai eigen bernilai positif dan beberapa bernilai negatif, maka titik tersebut adalah sebuah [[titik pelana]]. Pada kasus matriks Hesse merupakan matriks [[Matriks singular|singular]], maka uji turunan kedua tidak meyakinkan.

== Lihat pula ==

== Bacaan lebih lanjut ==
*
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SecondDerivativeTest.html "Tes Turunan Kedua" di Mathworld]
* [https://web.archive.org/web/20190411111206/https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/secondderiv/ Konkavitas dan Tes Turunan Kedua]
* [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/thomas-simpson-and-maxima-and-minima Thomas Penggunaan Tes Turunan Kedua oleh Simpson untuk Menemukan Maxima dan Minima] pada Konvergensi

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji+turunan&oldid=29298879 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29298879 (2026-05-31T18:56:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Uji turunan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29298879; atribusi sumber disertakan.