Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:01:31Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

@@ Baris 8: / Baris 8: @@
 == Definisi ==
+{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;"
 Bilangan imajiner <math> i </math> didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah <math> -1 </math>:
@@ Baris 28: / Baris 54: @@
 == Sifat ==
 === Akar kuadrat dan akar kubik ===
 Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, <math> i </math> mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu </math> dan <math>x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math>. Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan <math>2xy = 1</math>, maka didapatkan hasil yang sama untuk <math> y </math>. Dengan demikian, akar kuadrat dari <math> i </math> adalah <math>\tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}i</math> dan <math>-\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{\sqrt{2}}i</math>.}}
@@ Baris 36: / Baris 60: @@
 Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:
 <math display="block">
 \begin{align}
 \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ & = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ \\
@@ Baris 54: / Baris 78: @@
 == Catatan ==
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Unit+imajiner&oldid=29409547 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409547 (2026-07-02T01:23:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409547; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:27:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409547; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Unit imajiner''' atau '''bilangan imajiner unit''' (<math>i</math>) adalah solusi untuk [[persamaan kuadrat]] <math>x</math><sup>2</sup> <math>+ 1 = 0</math>. Meskipun tidak ada [[bilangan riil]] dengan sifat ini, <math>i</math> dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi [[bilangan kompleks]], bilangan yang menggunakan operasi [[penambahan]] dan [[perkalian]]; contoh sederhananya adalah <math>2 + 3i</math>.

Bilangan imajiner adalah konsep [[matematika]] yang penting, sebab bilangan ini memperluas [[sistem bilangan]] riil <math>\R</math> ke sistem bilangan kompleks <math>\C</math>, dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah [[akar fungsi]] untuk setiap [[polinomial]] <math>P ( x )</math> yang tak konstan. Istilah "[[Bilangan imajiner|imajiner]]" digunakan karena tidak ada [[bilangan riil]] yang memiliki [[Pangkat dua|kuadrat]] negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu <math>i</math> dan <math>-i</math>, sama seperti terdapat dua buah [[akar kuadrat]] kompleks dari setiap bilangan riil selain [[0 (angka)|nol]], yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks <math>j</math> yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan <math>i</math>, sebab <math>i</math> dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu [[teknik listrik]] dan [[teknik kendali]], unit imajiner biasanya dilambangkan dengan <math>j</math> alih-alih <math>i</math>, karena <math>i</math> biasanya digunakan untuk menyatakan [[arus listrik]].

== Definisi ==

Bilangan imajiner <math> i </math> didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah <math> -1 </math>:
<math display="block">i^2 = -1.</math>
Oleh karena itu, <math> i </math> dan <math> -i </math> sama-sama merupakan akar kuadrat dari <math> -1 </math>.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan <math> i </math> sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan <math>i^2</math> dengan −1). Perpangkatan dari <math> i </math> yang lebih tinggi dapat digantikan dengan <math> -i </math>, <math> 1 </math>, <math> i </math>, atau <math> -1 </math>:
<math display="block">
\begin{align}
i^3 &= i^2 i = (-1) i = -i \\
i^4 &= i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \\
i^5 &= i^4 i = (1) i = i.
\end{align}</math>

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:
<math display="block">i^0 = i^{1-1} = i^{1} i^{-1} = i^{1} \frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1.</math>

Sebagai bilangan kompleks, <math> i </math> dapat dinyatakan dalam [[sistem koordinat Cartesius]] berdimensi dua sebagai <math> 0 + 1i </math>, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam [[bentuk polar]], <math> i </math> dapat dinyatakan sebagai <math>1\times e^{i\pi /2}</math> (atau cukup tulis <math>e^{i\pi /2}</math>), dengan [[nilai mutlak]] dari 1 dan [[Argumen (analisis kompleks)|argumen]] dari <math>\pi/2</math> [[radian]] (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari <math> 2\pi </math>). Dalam [[bilangan kompleks]], atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan [[bidang Cartesius]] yang khusus, <math> i </math> adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang [[sumbu imajiner]].

== Sifat ==

=== Akar kuadrat dan akar kubik ===

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, <math> i </math> mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu </math> dan <math>x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math>. Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan <math>2xy = 1</math>, maka didapatkan hasil yang sama untuk <math> y </math>. Dengan demikian, akar kuadrat dari <math> i </math> adalah <math>\tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}i</math> dan <math>-\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{\sqrt{2}}i</math>.}}

<math display="block"> \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i). </math>

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:
<math display="block">
\begin{align}
\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ & = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ \\
& = \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \\
& = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ \\
& = i.
\end{align}
</math>

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan
<math display="block"> \sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i).</math>

Tiga buah akar kubik dari <math> i </math> adalah:
<math display="block">\left( -i, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right).</math>

Sama seperti semua [[Akar kesatuan|akar dari 1]], semua akar dari <math> i </math> adalah titik sudut [[poligon beraturan]] yang terletak di dalam [[lingkaran satuan]] di bidang kompleks.

== Catatan ==

== Rujukan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Unit+imajiner&oldid=29409547 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409547 (2026-07-02T01:23:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Unit imajiner - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409547; atribusi sumber disertakan.