Varians - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:03:49Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.03
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam teori peluang dan [[statistika]], '''variansi''' (dari [[bahasa Inggris]]: ''variance'') atau '''ragam''' suatu [[peubah acak]] adalah ekspektasi dari selisih kuadrat peubah acak dengan [[Rerata\|reratanya]]. Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran yang menunjukkan seberapa jauh sekumpulan bilangan tersebar dari nilai reratanya. Pengakaran-kuadrat variansi menghasilkan [[simpangan baku]]. Selain itu, variansi merupakan suatu penciri [[Sebaran probabilitas\|distribusi peluang]], yaitu pembeda antara suatu distribusi peluang dengan yang lainnya.		Dalam teori peluang dan [[statistika]], '''variansi'''<ref>KBBI. [https://kbbi.kemdikbud.go.id/entri/variansi Variansi]. ''KBBI''.</ref> (dari [[bahasa Inggris]]: ''variance'') atau '''ragam'''<ref>Barizi. [https://repositori.kemendikdasmen.go.id/2922/ Kamus Istilah Statistik]. Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa. 1984.</ref> suatu [[peubah acak]] adalah ekspektasi dari selisih kuadrat peubah acak dengan [[Rerata\|reratanya]]. Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran yang menunjukkan seberapa jauh sekumpulan bilangan tersebar dari nilai reratanya. Pengakaran-kuadrat variansi menghasilkan [[simpangan baku]]. Selain itu, variansi merupakan suatu penciri [[Sebaran probabilitas\|distribusi peluang]], yaitu pembeda antara suatu distribusi peluang dengan yang lainnya.

	Variansi tidak untuk disamakan dengan variansi sampel. Variansi dari peubah acak, disebut juga variansi populasi, didefinisikan oleh sebuah persamaan. Di sisi lain, variansi sampel merupakan salah satu taksiran variansi yang berdasarkan suatu sampel yang diambil dari suatu populasi. Dengan kata lain, variansi sampel digunakan ketika populasi tidak dapat diamati seluruhnya sehingga variansi populasi harus ditaksir dari sampel yang tersedia.		Variansi tidak untuk disamakan dengan variansi sampel. Variansi dari peubah acak, disebut juga variansi populasi, didefinisikan oleh sebuah persamaan. Di sisi lain, variansi sampel merupakan salah satu taksiran variansi yang berdasarkan suatu sampel yang diambil dari suatu populasi. Dengan kata lain, variansi sampel digunakan ketika populasi tidak dapat diamati seluruhnya sehingga variansi populasi harus ditaksir dari sampel yang tersedia.
Baris 6:		Baris 6:

	== Definisi ==		== Definisi ==
	Misalkan <math>X</math> adalah suatu peubah acak dengan rerata <math>\mu = \operatorname{E}[X]</math> hingga dan bernilai <math>E[(X-\mu)^2]</math> hingga. Variansi dari <math>X</math> didefinisikan sebagai <math>\operatorname{E}[(X-\mu)^2]</math>. Variansi dari <math>X</math> biasanya dinotasikan <math>\operatorname{Var}(X)</math> atau <math>\sigma^2</math>.		Misalkan <math>X</math> adalah suatu peubah acak dengan rerata <math>\mu = \operatorname{E}[X]</math> hingga dan bernilai <math>E[(X-\mu)^2]</math> hingga. Variansi dari <math>X</math> didefinisikan sebagai <math>\operatorname{E}[(X-\mu)^2]</math>.<ref>Robert V. Hogg. ''Introduction to Mathematical Statistics Seventh Edition''. Pearson. 2013. ISBN 978-0-321-79543-4.</ref> Variansi dari <math>X</math> biasanya dinotasikan <math>\operatorname{Var}(X)</math> atau <math>\sigma^2</math>.

	Jika <math>X</math> merupakan peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang <math>p_X(x) </math> untuk <math>x \in \mathcal{D} </math>, variansinya adalah<math display="block">\operatorname{Var} (X) = \sum_{\forall x \in \mathcal D} (x-\mu)^2 p_X(x),</math>dengan <math>\mu = \operatorname E[X]</math> rerata dari <math>X</math>, yaitu <math display="inline">\mu = \sum_{\forall x \in \mathcal D} x p_X(x)</math>. Di sisi lain, jika <math>X</math> merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang <math>f_X(x)</math> untuk <math>x \in \mathbb R</math>, variansinya adalah <math display="block">\operatorname{Var} (X) = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f_X(x) \, dx,</math>dengan <math>\mu = \operatorname E[X]</math> rerata dari <math>X</math>, yaitu <math>\mu = \int_{-\infty}^\infty x f_X(x) \, dx</math>.		Jika <math>X</math> merupakan peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang <math>p_X(x) </math> untuk <math>x \in \mathcal{D} </math>, variansinya adalah<math display="block">\operatorname{Var} (X) = \sum_{\forall x \in \mathcal D} (x-\mu)^2 p_X(x),</math>dengan <math>\mu = \operatorname E[X]</math> rerata dari <math>X</math>, yaitu <math display="inline">\mu = \sum_{\forall x \in \mathcal D} x p_X(x)</math>. Di sisi lain, jika <math>X</math> merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang <math>f_X(x)</math> untuk <math>x \in \mathbb R</math>, variansinya adalah <math display="block">\operatorname{Var} (X) = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f_X(x) \, dx,</math>dengan <math>\mu = \operatorname E[X]</math> rerata dari <math>X</math>, yaitu <math>\mu = \int_{-\infty}^\infty x f_X(x) \, dx</math>.
Baris 58:		Baris 58:

	</math>		</math>

	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* [http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf Makalah asli Fisher mengenai varians] (pdf)		* [http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf Makalah asli Fisher mengenai varians] (pdf)

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Varians&oldid=28093533 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28093533 (2025-10-18T02:01:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Varians&oldid=28093533 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28093533 (2025-10-18T02:01:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28093533; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:30:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28093533; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam teori peluang dan [[statistika]], '''variansi''' (dari [[bahasa Inggris]]: ''variance'') atau '''ragam''' suatu [[peubah acak]] adalah ekspektasi dari selisih kuadrat peubah acak dengan [[Rerata|reratanya]]. Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran yang menunjukkan seberapa jauh sekumpulan bilangan tersebar dari nilai reratanya. Pengakaran-kuadrat variansi menghasilkan [[simpangan baku]]. Selain itu, variansi merupakan suatu penciri [[Sebaran probabilitas|distribusi peluang]], yaitu pembeda antara suatu distribusi peluang dengan yang lainnya.

Variansi tidak untuk disamakan dengan variansi sampel. Variansi dari peubah acak, disebut juga variansi populasi, didefinisikan oleh sebuah persamaan. Di sisi lain, variansi sampel merupakan salah satu taksiran variansi yang berdasarkan suatu sampel yang diambil dari suatu populasi. Dengan kata lain, variansi sampel digunakan ketika populasi tidak dapat diamati seluruhnya sehingga variansi populasi harus ditaksir dari sampel yang tersedia.

Istilah ''varians'' pertama kali diperkenalkan oleh [[Ronald Fisher]] dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul ''[[The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance]]'' ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

== Definisi ==
Misalkan <math>X</math> adalah suatu peubah acak dengan rerata <math>\mu = \operatorname{E}[X]</math> hingga dan bernilai <math>E[(X-\mu)^2]</math> hingga. Variansi dari <math>X</math> didefinisikan sebagai <math>\operatorname{E}[(X-\mu)^2]</math>. Variansi dari <math>X</math> biasanya dinotasikan <math>\operatorname{Var}(X)</math> atau <math>\sigma^2</math>.

Jika <math>X</math> merupakan peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang <math>p_X(x) </math> untuk <math>x \in \mathcal{D} </math>, variansinya adalah<math display="block">\operatorname{Var} (X) = \sum_{\forall x \in \mathcal D} (x-\mu)^2 p_X(x),</math>dengan <math>\mu = \operatorname E[X]</math> rerata dari <math>X</math>, yaitu <math display="inline">\mu = \sum_{\forall x \in \mathcal D} x p_X(x)</math>. Di sisi lain, jika <math>X</math> merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang <math>f_X(x)</math> untuk <math>x \in \mathbb R</math>, variansinya adalah <math display="block">\operatorname{Var} (X) = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f_X(x) \, dx,</math>dengan <math>\mu = \operatorname E[X]</math> rerata dari <math>X</math>, yaitu <math>\mu = \int_{-\infty}^\infty x f_X(x) \, dx</math>.

Cara perhitungan variansi yang lain adalah dengan memanfaatkan sifat linier dari operator ekspektasi <math>\operatorname{E}</math>:

<math>\begin{align}
\operatorname{Var}(X) & = \operatorname{E}\left[(X-\mu)^2\right] \\
& = \operatorname E \left[X^2-2\mu X +\mu^2 \right] \\
& = \operatorname E \left[ X^2\right]- 2 \mu^2 +\mu^2 \\
& = \operatorname E \left[ X^2 \right] - \mu^2
\end{align}</math>

Dalam kata lain, variansi dari peubah acak <math>X</math> adalah selisih dari ekspektasi dari <math>X^2</math> dengan rerata kuadrat.

== Contoh ==
=== Dadu seimbang ===
Misalkan pelemparan dadu seimbang bermuka <math>n</math> dimodelkan oleh suatu peubah acak diskret <math>X</math>. Percobaan ini termasuk ke dalam kasus berpeluang sama sehingga peubah acaknya berdistribusi seragam diskret dengan fungsi peluang <math display="block">p_X(x) = \frac{1}{n}, \quad x \in \{1, \dots, n \}.</math>dan <math>0</math> untuk <math>x</math> lainnya. Rerata dari <math>X</math> adalah <math>\frac{1}{n}\left(\sum_{x=1}^n x\right)</math> sehingga variansinya adalah<math display="block">\begin{align}
\operatorname{Var} (X) & = \sum_{x=1}^n (x-\mu)^2 p_X(x) \\
& = \sum_{x=1}^n x^2 p_X(x) - \mu^2 \\
& = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{x=1}^n x\right)^2 \\
& = \frac{1} {16} (n+1)(2n+1) - \frac{1}{14} (n+1)^2\\
& = \frac{ n^2-1 }{12}.
\end{align}</math>Jika dadu seimbang yang dipertimbangkan bermuka <math>n = 6

</math>, variansi percobaannya adalah <math>\operatorname{Var} (X) \approx 2,92

</math>.

=== Distribusi eksponensial ===
Misalkan peubah acak <math>X</math> memiliki distribusi eksponensial dengan parameter laju <math>\lambda</math>. Fungsi kepadatan peluang dari <math>X</math> adalah
:<math>f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, \quad & x \in [0, \infty)\\ 0, \quad & x \in (-\infty, 0) \end{cases}</math>

dan reratanya adalah <math display="inline">\mu = \frac{1}{\lambda}</math>. Dengan [[integrasi parsial]], dapat diperoleh rerata dari <math>X^2</math> , yaitu

<math>\begin{align}
\operatorname E\left[X^2\right] & = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx \\
& = \left[-x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty 2xe^{-\lambda x} \, dx\\
& = 0 + 2\lambda^{-2} \operatorname E[X] \\
& = 2\lambda^{-2}
\end{align}</math>

Dengan definisi, diperoleh variansi <math>X</math>, yaitu

:<math>\begin{align}
\operatorname{Var} (X) & = \int_0^\infty(x - \mu)^2 f(x) \,dx \\
& = \operatorname E\left[X^2\right] - \mu^2 \\
& = 2\lambda^{-2} - \lambda^{-2} \\
& = \lambda^{-2}.
\end{align}

</math>

== Referensi ==

== Pranala luar ==
* [http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf Makalah asli Fisher mengenai varians] (pdf)

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Varians&oldid=28093533 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28093533 (2025-10-18T02:01:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.