Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:00:54Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.00
Baris 38:		Baris 38:

	== Teorema Birkhoff ==		== Teorema Birkhoff ==
	Diberikan kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama, kita dapat mendefinisikan pengertian homomorfisme, [[subaljabar]], dan [[produk langsung#produk langsung dalam aljabar universal\|produk]]. [[Garrett Birkhoff]] membuktikan bahwa kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan produk arbitrari. Ini adalah hasil dari kepentingan fundamental aljabar universal dan dikenal sebagai '' Teorema Birkhoff '' atau sebagai '' Teorema HSP ''. '' H '', '' S '', dan '' P '', masing-masing, untuk operasi homomorfisme dan produk.		Diberikan kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama, kita dapat mendefinisikan pengertian homomorfisme, [[subaljabar]], dan [[produk langsung#produk langsung dalam aljabar universal\|produk]]. [[Garrett Birkhoff]] membuktikan bahwa kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan produk arbitrari.<ref>G. Birkhoff. [https://pdfs.semanticscholar.org/a282/3f992ea5e2d2a1e989ce01844da71e4ec6a5.pdf On the structure of abstract algebras]. ''Proceedings of the Cambridge Philosophical Society''. Oct 1935. Vol. 31 (4). hlm. 433–454.</ref> Ini adalah hasil dari kepentingan fundamental aljabar universal dan dikenal sebagai '' Teorema Birkhoff '' atau sebagai '' Teorema HSP ''. '' H '', '' S '', dan '' P '', masing-masing, untuk operasi homomorfisme dan produk.

	Kelas aljabar yang memenuhi beberapa grup identitas akan ditutup di bawah operasi HSP. Membuktikan [[Teorema#Konvers\|konvers]], kelas aljabar yang ditutup di bawah operasi HSP harus persamaan lebih sulit.		Kelas aljabar yang memenuhi beberapa grup identitas akan ditutup di bawah operasi HSP. Membuktikan [[Teorema#Konvers\|konvers]], kelas aljabar yang ditutup di bawah operasi HSP harus persamaan lebih sulit.
Baris 59:		Baris 59:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	Dua monograf tersedia online gratis:		Dua monograf tersedia online gratis:
Baris 66:		Baris 64:
	* Peter Jipsen and Henry Rose (1992), ''[http://www1.chapman.edu/~jipsen/JipsenRoseVoL.html Varieties of Lattices]'', Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. .		* Peter Jipsen and Henry Rose (1992), ''[http://www1.chapman.edu/~jipsen/JipsenRoseVoL.html Varieties of Lattices]'', Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. .

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Varietas+%28aljabar+universal%29&oldid=29515143 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29515143 (2026-08-02T08:34:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Varietas+%28aljabar+universal%29&oldid=29515143 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29515143 (2026-08-02T08:34:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29515143; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:26:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29515143; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar universal]], '''varietas aljabar''' atau '''kelas persamaan''' adalah [[kelas (teori himpunan)|kelas]] dari semua [[struktur aljabar]] dari [[tanda tangan (logika)|tanda tangan]] tertentu yang memenuhi himpunan [[identitas matematika#Logika dan aljabar universal|identitas]]. Misalnya, [[Grup (matematika)|grup]] membentuk berbagai aljabar, seperti halnya [[grup Abelian]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[monoid]] dll. Menurut Teorema Birkhoff, kelas struktur aljabar dengan tanda tangan yang sama adalah suatu variasi [[jika dan hanya jika]] ditutup pada pengambilan gambar [[homomorfisme|homomorfik]], [[subaljabar]] dan [[produk langsung#produk langsung dalam aljabar universal|(produk langsung)]]. Dalam konteks [[teori kategori]], berbagai aljabar, dengan homomorfisme, membentuk [[Kategori (matematika)|kategori]]; maka biasanya disebut '' kategori aljabar finiter ''.

'' Kovarietas '' adalah kelas dari semua [[koaljabar-F|struktur koaljabar]] dari suatu tanda tangan.

== Istilah ==
Varietas aljabar tidak sama dengan [[varietas aljabar]], yang berarti sekumpulan solusi untuk sistem persamaan polinomial. Mereka secara formal sangat berbeda dan teori mereka memiliki sedikit kesamaan.

Istilah "varietas aljabar" mengacu pada aljabar dalam arti umum [[aljabar universal]]; ada juga pengertian aljabar yang lebih spesifik, yaitu sebagai [[aljabar di atas bidang]], yaitu [[ruang vektor]] yang dilengkapi dengan perkalian bilinear.

== Definisi ==
Sebuah '' tanda tangan '' (dalam konteks ini) adalah himpunan, yang elemennya disebut '' operasi '', yang masing-masing diberi [[bilangan asli]] (0, 1, 2, ...) yang disebut '' ariti ''. Maka tanda tangan <math>\sigma</math> and a set <math>V</math>, yang elemennya disebut '' variabel '', '' kata '' adalah berakar planar hingga [[Pohon (teori grafik)|pohon]] di mana setiap node diberi label oleh variabel atau operasi, node yang diberi label oleh variabel tidak memiliki cabang jauh dari akat dan setiap node yang diberi label oleh operasi <math> o </math> memiliki banyak cabang dari root seperti ariti dari <math>o</math>. Sebuah '' hukum persamaan '' adalah sepasang kata; aksioma yang terdiri dari kata-kata <math> v </math> dan <math> w </math> sebagai <math>v = w</math>.

Sebuah '' teori '' adalah tanda tangan, satu set variabel dan satu set hukum persamaan. Setiap teori varietas aljabar sebagai berikut. Diberikan teori <math> T </math>, sebuah '' aljabar '' dari <math> T </math> terdiri dari himpunan <math> A </math> bersama dengan, untuk operasi <math> o </math> dari <math> T </math> dengan ariti <math> n </math>, sebuah fungsi <math>o_A \colon A^n \to A</math> sedemikian rupa sehingga untuk setiap aksioma <math> v = w </math> dan setiap penempatan elemen <math> A </math> ke variabel dalam aksioma, pegangan persamaan yang diberikan dengan menerapkan operasi ke elemen <math> A </math> seperti yang ditunjukkan oleh pohon yang mendefinisikan <math> v </math> dan <math> w </math>. Kita menyebut kelas aljabar dari teori tertentu <math> T </math> sebagai '' varietas aljabar ''.

Namun, pada akhirnya yang lebih penting daripada kelas aljabar ini adalah [[Kategori (matematika)|kategori]] aljabar dan homomorfisme di antara mereka. Diberikan dua aljabar teori <math> T </math>, katakanlah <math> A </math> dan <math> B </math>, sebuah '' homomorfisme '' adalah sebuah fungsi <math>f \colon A \to B</math> dirumuskan

: <math>f(o_A(a_1, \dots, a_n)) = o_B(f(a_1), \dots, f(a_n))</math>

untuk setiap operasi <math> o </math> arity <math> n </math>. Setiap teori memberikan kategori di mana objeknya adalah aljabar dari teori tersebut dan morfismenya adalah homomorfisme.

== Contoh ==
Kelas dari semua [[semigrup]] membentuk berbagai aljabar tanda tangan (2), yang berarti bahwa satu kelompok semigroup mempunyai [[operasi biner]] tunggal. Persamaan yang cukup menentukan adalah hukum asosiatif:
:<math>x(yz) = (xy)z.</math>

Kelas [[grup (matematika)|grup]] membentuk berbagai aljabar tanda tangan (2,0,1), tiga operasi itu masing-masing adalah '' perkalian '' (biner), '' identitas '' (nullari, konstanta) dan '' inversi '' (unari). Aksioma asosiativitas, identitas, dan kebalikan yang sudah dikenal membentuk satu himpunan identitas yang sesuai:

:<math>x(yz) = (xy)z</math>
:<math>1 x = x 1 = x</math>
:<math>x x^{-1} = x^{-1} x = 1.</math>

Kelas [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] juga membentuk berbagai aljabar. Tanda tangan di sini adalah (2,2,0,0,1) (dua operasi biner, dua konstanta, dan satu operasi unari).

Jika kita memperbaiki gelanggang tertentu '' R '', kita dapat mempertimbangkan kelas [[Modul (matematika)|modul kiri ''R '']]. Untuk mengekspresikan [[perkalian skalar]] dengan elemen dari '' R '', kita membutuhkan satu operasi unari untuk setiap elemen '' R. '' Jika gelanggang tak hingga, maka kita akan memiliki banyak operasi tak terhingga, yang dibolehkan oleh definisi struktur aljabar dalam aljabar universal. Kemudian kita juga membutuhkan banyak identitas tak terhingga untuk mengekspresikan aksioma modul, yang diperbolehkan oleh definisi berbagai aljabar. Jadi kiri modul '' R '' memang membentuk berbagai aljabar.

[[Bidang (matematika)|bidang]] melakukan '' tidak '' membentuk berbagai aljabar; persyaratan bahwa semua elemen bukan nol dapat dibalik tidak dapat diekspresikan sebagai identitas yang dipenuhi secara universal.

[[Semigrup pembatalan]] juga tidak membentuk berbagai aljabar, karena properti pembatalan bukanlah persamaan, ini adalah implikasi yang tidak setara dengan grup persamaan. Namun, membentuk [[varietas semu]] karena implikasi yang mendefinisikan sifat pembatalan adalah contoh dari [[indentitas semu|indentitas-semu]].

== Teorema Birkhoff ==
Diberikan kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama, kita dapat mendefinisikan pengertian homomorfisme, [[subaljabar]], dan [[produk langsung#produk langsung dalam aljabar universal|produk]]. [[Garrett Birkhoff]] membuktikan bahwa kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan produk arbitrari. Ini adalah hasil dari kepentingan fundamental aljabar universal dan dikenal sebagai '' Teorema Birkhoff '' atau sebagai '' Teorema HSP ''. '' H '', '' S '', dan '' P '', masing-masing, untuk operasi homomorfisme dan produk.

Kelas aljabar yang memenuhi beberapa grup identitas akan ditutup di bawah operasi HSP. Membuktikan [[Teorema#Konvers|konvers]], kelas aljabar yang ditutup di bawah operasi HSP harus persamaan lebih sulit.

Dengan menggunakan teorema Birkhoff, kita dapat misalnya memverifikasi klaim yang dibuat di atas, bahwa aksioma medan tidak dapat diekspresikan oleh kumpulan identitas yang mungkin: produk dari bidang bukanlah bidang, jadi bidang tidak membentuk variasi.

== Teori kategori ==
Jika <math> V </math> adalah kategori aljabar finiter (yaitu kategori berbagai aljabar, dengan homomorfisme sebagai morfisme) maka [[funktor fogetful]]

:<math>G\colon V\to\mathbf{Himpunan}</math>

memiliki [[adjoin kiri]] <math>F\colon \mathbf{Himpunan}\to V</math>, yaitu funktor yang menetapkan untuk setiap himpunan aljabar bebas pada himpunan. Adjunction ini adalah '' secara ketat [[Monad (teori kategori)|monadik]] '', di mana kategori <math> V </math> isomorfik ke [[kategori Eilenberg–Moore]] <math>\mathbf{Himpunan}^{T}</math> untuk monad <math>T=GF</math>.

Monad <math>T\colon \mathbf{Himpunan}\to\mathbf{Himpunan}</math> dengan memulihkan kategori aljabar finiter, yang memungkinkan generalisasi berikut. Kategori adalah '' kategori aljabar '' jika [[monad (teori kategori)|monadik]] di atas <math>\mathbf{Himpunan}</math>. Ini adalah pengertian yang lebih umum daripada "kategori aljabar finiter" karena ia menerima kategori seperti '' CABA '' (aljabar atom Boolean lengkap) dan '' CSLat '' (semikisi lengkap). Dalam dua kasus tersebut, tandatangannya besar, artinya ia membentuk bukan himpunan tetapi kelas yang tepat, karena operasinya tidak terbatas ariti. Kategori [[aljabar sigma]] juga memiliki operasi tak terbatas, tetapi aritasnya dapat dihitung karena tanda tangannya kecil (membentuk himpunan).

Setiap kategori aljabar finiter adalah [[kategori persentabel lokal]].

== Lihat pula ==
* [[Varietas semu]]

== Catatan ==

== Pranala luar ==
Dua monograf tersedia online gratis:
* Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar (1981), ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]'' Springer-Verlag. . [Proof of Birkhoff's Theorem is in II§11.]
* Peter Jipsen and Henry Rose (1992), ''[http://www1.chapman.edu/~jipsen/JipsenRoseVoL.html Varieties of Lattices]'', Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. .

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Varietas+%28aljabar+universal%29&oldid=29515143 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29515143 (2026-08-02T08:34:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Varietas (aljabar universal) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29515143; atribusi sumber disertakan.