Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:03:07Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.03
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar linear]], sebuah '''vektor koordinat''' merupakan sebuah wakilan sebuah vektor sebagai sebuah daftar urutan bilangan yang menggambarkan vektor dalam istilah sebuah [[basis terurut]] khusus. Koordinat selalu ditentukan relatif terhadap sebuah basis terurut. Basis dan wakilan koordinat iringnya membiarkan satunya mewujudkan [[ruang vektor]] dan [[transformasi linear]] secara konkret sebagai [[vektor kolom]], [[vektor baris]], dan [[Matriks (matematika)\|matriks]]; mereka berguna dalam perhitungan.		Dalam [[aljabar linear]], sebuah '''vektor koordinat''' merupakan sebuah wakilan sebuah vektor sebagai sebuah daftar urutan bilangan yang menggambarkan vektor dalam istilah sebuah [[basis terurut]] khusus. Koordinat selalu ditentukan relatif terhadap sebuah basis terurut. Basis dan wakilan koordinat iringnya membiarkan satunya mewujudkan [[ruang vektor]] dan [[transformasi linear]] secara konkret sebagai [[vektor kolom]], [[vektor baris]], dan [[Matriks (matematika)\|matriks]]; mereka berguna dalam perhitungan.<ref>Howard Anton. [https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&q=%22Coordinate+vector%22 Elementary Linear Algebra: Applications Version]. John Wiley & Sons. 12 April 2010. ISBN 978-0-470-43205-1.</ref>

	Gagasan mengenai sebuah vektor koordinat dapat juga digunakan untuk ruang vektor berdimensi takhingga, seperti yang ditujukan di bawah.		Gagasan mengenai sebuah vektor koordinat dapat juga digunakan untuk ruang vektor berdimensi takhingga, seperti yang ditujukan di bawah.
Baris 34:		Baris 34:

	== Contoh-contoh ==		== Contoh-contoh ==

	=== Contoh 1 ===		=== Contoh 1 ===
	Misalkan P3 menjadi ruang dari semua [[polinomial]] aljabar derajat setidaknya 3 (yaitu [[Eksponensiasi\|eksponen]] tertinggi <math>x</math> bisa jadi 3). Ruang ini merupakan linear dan rentang oleh polinomial-polinomial berikut:		Misalkan P3 menjadi ruang dari semua [[polinomial]] aljabar derajat setidaknya 3 (yaitu [[Eksponensiasi\|eksponen]] tertinggi <math>x</math> bisa jadi 3). Ruang ini merupakan linear dan rentang oleh polinomial-polinomial berikut:
Baris 57:		Baris 56:
	Menurut wakilan tersebut, [[operator pendiferensialan]] <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> yang kita akan tandai <math>D</math> akan diwakili oleh [[Matriks (matematika)\|matriks]] berikut:		Menurut wakilan tersebut, [[operator pendiferensialan]] <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> yang kita akan tandai <math>D</math> akan diwakili oleh [[Matriks (matematika)\|matriks]] berikut:

	<math display="block">Dp(x) = P'(x) ; \quad [D] =		<math display="block">Dp(x) = P'(x) ; \quad [D] =
	\begin{bmatrix}		\begin{bmatrix}
	0 & 1 & 0 & 0 \\		0 & 1 & 0 & 0 \\
Baris 106:		Baris 105:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Penukaran basis]]		* [[Penukaran basis]]

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektor+koordinat&oldid=28132220 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28132220 (2025-10-23T12:08:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektor+koordinat&oldid=28132220 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28132220 (2025-10-23T12:08:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28132220; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:32:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28132220; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar linear]], sebuah '''vektor koordinat''' merupakan sebuah wakilan sebuah vektor sebagai sebuah daftar urutan bilangan yang menggambarkan vektor dalam istilah sebuah [[basis terurut]] khusus. Koordinat selalu ditentukan relatif terhadap sebuah basis terurut. Basis dan wakilan koordinat iringnya membiarkan satunya mewujudkan [[ruang vektor]] dan [[transformasi linear]] secara konkret sebagai [[vektor kolom]], [[vektor baris]], dan [[Matriks (matematika)|matriks]]; mereka berguna dalam perhitungan.

Gagasan mengenai sebuah vektor koordinat dapat juga digunakan untuk ruang vektor berdimensi takhingga, seperti yang ditujukan di bawah.

== Definisi ==
Misalkan <math>V</math> menjadi sebuah [[ruang vektor]] [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi]] <math>n</math> atas sebuah [[Medan (matematika)|medan]] <math>F</math> dan misalkan

<math display="block">B = \{b_1, b_2, \dots, b_n \}</math>

menjadi sebuah [[basis terurut]] untuk <math>V</math>. Maka untuk setiap <math>v \in V</math> terdapat sebuah [[kombinasi linear]] tunggal dari vektor basis yang sama dengan <math>v</math>:

<math display="block">v = \alpha_1 b_1 + \alpha_2 b_2 + \cdots + \alpha_n b_n</math>

'''Vektor koordinat''' <math>v</math> relatif terhadap <math>B</math> [[Barisan (matematika)|barisan]] [[koordinat]].

<math display="block">[v]_B = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)</math>

Ini juga disebut ''wakilan <math>v</math>'' ''terhadap <math>B</math>'', atau <math>B</math> ''mewakili <math>v</math>''. <math>\alpha</math> disebut ''koordinat <math>v</math>''. Urutan dari basis menjadi penting disini, karena ini menentukan urutan di mana koefisiennya didaftarkan dalam vektor koordinat.

Vektor koordinat mengenai ruang vektor berdimensi hingga dapat diwakili oleh [[Matriks (matematika)|matriks]] sebagai [[vektor kolom]] atau [[Vektor baris|baris]]. Di notasi di atas, salah satunya dapat tulis

<math display="block">[v]_B = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}</math>

atau

<math display="block">[v]_B = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \ldots & \alpha_n \end{bmatrix}</math>

== Wakilan standar ==
Kita sekarang memekanisi transformasi di atas dengan mendefinisikan sebuah fungsi <math>\phi_B</math>, disebut ''wakilan standar'' <math>V</math> ''terhadap <math>B</math>'', yang mengambil setiap vektor ke wakilan koordinatnya: <math>\phi_B(v) = [v]_B</math>. Maka <math>\phi_B</math> merupakan sebuah transformasi linear dari <math>V</math> ke <math>F^n</math>. Faktanya, ini merupakan sebuah [[isomorfisme]], dan [[Fungsi invers|invers]]<nowiki/>nya <math>\phi_B^{-1}:F^n\to V</math> adalah sederhana

<math display="block">\phi_B^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n</math>

Secara alternatif, kita dapat mendefinisikan <math>\phi_B^{-1}</math> menjadi fungsi di atas daro fungsi awalnya, mewujudkan bahwa <math>\phi_B^{-1}</math> merupakan sebuah isomorfisme, dan mendefinisikan <math>\phi_B</math> menjadi inversnya.

== Contoh-contoh ==

=== Contoh 1 ===
Misalkan P3 menjadi ruang dari semua [[polinomial]] aljabar derajat setidaknya 3 (yaitu [[Eksponensiasi|eksponen]] tertinggi <math>x</math> bisa jadi 3). Ruang ini merupakan linear dan rentang oleh polinomial-polinomial berikut:

<math display="block">B_P = \{1, x, x^2, x^3\}</math>

memadankan

<math display="block">1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
x := \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
x^2 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
x^3 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>

maka vektor koordinat berpadanan ke polinomial

<math display="block">p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3</math>

adalah

<math display="block">\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}</math>

Menurut wakilan tersebut, [[operator pendiferensialan]] <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> yang kita akan tandai <math>D</math> akan diwakili oleh [[Matriks (matematika)|matriks]] berikut:

<math display="block">Dp(x) = P'(x) ; \quad [D] =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}</math>

Menggunakan metode tersebut mudah untuk meninjau sifat-sifat dari operator, seperti, [[Matriks terbalik|keterbalikan]], [[Daftar hal-hal yang dinamakan oleh Charles Hermite|Hermite atau anti-Hermite atau tidak ada]], dan banyak lagi.

=== Contoh 2 ===
[[Matriks Pauli]], yang mewakili operatorn [[spin]] ketika mengubah [[Keadaan kuantum|eigenkeadaan]] spin menjadi koordinat vektor.

== Matriks transformasi basis ==
Misalkan <math>B </math> dan <math>C</math> menjadi dua basis yang berbeda mengenai sebuah ruang vektor <math>V </math>, dan misalkan kita tandai dengan <math>\lbrack M \rbrack ^B_C</math>, matriks yang memiliki kolom terdiri dari wakilan <math>C</math> dari vektor basis <math>b_1, b_2, \dots, b_n</math>.

<math display="block">\lbrack M\rbrack_C^B = \begin{bmatrix} \lbrack b_1\rbrack_C & \cdots & \lbrack b_n\rbrack_C \end{bmatrix}</math>

Matriks ini dirujuk sebagai '''matriks transformasi basis''' dari <math>B </math> dan <math>C</math>. Ini dapat dianggap sebagai sebuah keautomorfan atas <math>V </math>. Setiap vektor <math>v </math> diwakili dalam <math>B </math> dapat berubah menjjadi sebuah wakilan dalam <math>C</math> sebagai berikut:<math>V</math>

<math display="block">\lbrack v\rbrack_C = \lbrack M\rbrack_C^B \lbrack v\rbrack_B</math>

Jika <math>E</math> merupakan [[basis standar]], notasinya dapat disederhanakan dengan menghilangkannya, denan transformasi dari <math>B </math> ke <math>E</math> mewakili

<math display="block">v = \lbrack M\rbrack^B \lbrack v\rbrack_B</math>

dimana

<math display="block">\begin{align}
v &= \lbrack v\rbrack_E \\
\lbrack M\rbrack^B &= \lbrack M\rbrack_E^B
\end{align}</math>

Di bawah transformasi basis, perhatikan bahwa superskripsi pada matriks transformasi, <math>M</math>, dan [[subskrip]] pada vektor koordinat, <math>v </math>, adalah sama, dan rupanya dibatalkan, meninggalkan subskrip yang tersisa. Meskipun ini disajikan sebagai sebuah bantuan ingatan, ini penting untuk memperhatikan bahwa tidak ada pembatalan, atau operasi matematis yang serupa, mengambil tempatnya.

=== Korolari ===
Matriks <math>M</math> merupakan sebuah [[matriks terbalik]]kan dan <math>M^{-1}</math> adalah matriks transformasi basis dari <math>C</math> ke <math>B </math>. Dengan kata lain,

<math display="block">\begin{align}
\operatorname{Id} &= \lbrack M\rbrack_C^B \lbrack M\rbrack_B^C = \lbrack M\rbrack_C^C \\[3pt]
&= \lbrack M\rbrack_B^C \lbrack M\rbrack_C^B = \lbrack M\rbrack_B^B
\end{align}</math>

== Ruang vektor dimensi takhingga ==
Andaikan <math> V</math> adalah sebuah ruang vektor berdimensi takhingga atas sebuah medan <math> F</math>. Jika dimensinya adalah <math>\kappa</math>, maka terdapat suatu basis unsur <math>\kappa</math> untuk <math> V</math>. Setelah sebuah urutan dipilih, basisnya dapat dianggap sebuah basis terurut. Unsur <math> V</math> adalah kombinasi linear hingga mengenai unsur dalam basis, yang memunculkan ke wakilan koordinat tunggal persis sebagai diutarakan sebelumnya. Yang hanya berubah adalah bahwa himpunan pengindkesan untuk korodinat bukanlah hingga. Karena sebuah vektor <math> v</math> yang diberikan merupakan sebuah kombinasi linear ''hingga'' mengenai unsur basis, hanya entri-entri taknol dari vektor koordinat <math> v</math> akan menjadi koefisien taknol dari kombinasi linear yang mewakili <math> v</math>. Demikian vektor koordnat untuk <math> v</math> adalah nol kecuali dalam banyak entri.

Transformasi linear (mungkin) antara ruang vektor berdimensi takhingga dapat dimodelkan, secara analog ke kasus berdimensi hingga, dengan [[matriks takhingga]]. Kasus khusus dari transformasi <math> V</math> ke <math> V</math> digambarkan dalam artikel [[gelanggang linear penuh]].

== Lihat pula ==

* [[Penukaran basis]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektor+koordinat&oldid=28132220 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28132220 (2025-10-23T12:08:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Vektor koordinat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28132220; atribusi sumber disertakan.