Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:51Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27447008; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:21:07Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27447008; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Vektor satuan''' adalah suatu [[vektor]] yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya dituliskan dalam menggunakan ''topi'' ([[bahasa Inggris]]: ''Hat''), sehingga: <math>{\hat{u}}</math> dibaca "u-topi" ('u-hat').

Suatu '''vektor ternormalisasi''' <math>{\hat{u}}</math> dari suatu vektor '''u''' bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan '''u''', yaitu:
:<math>\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|},</math>

di mana ||'''u'''|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari '''u'''. Istilah ''vektor ternormalisasi'' kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari ''vektor satuan''. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan '''huruf tebal''') adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu

:<math>\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{\vec{u}}{u}.</math>

Di sini <math>\!\vec{u}</math> adalah vektor yang dimaksud dan <math>\! u</math> adalah besarnya.

== Vektor ==

=== Posisi vektor ===
; <math>\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2
\end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j</math>

: <math>\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math>

=== Panjang vektor ===
; Berada di <math>R^2</math>

: Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}</math>
: Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}</math>
: Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> dan <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}</math>

; Berada di <math>R^3</math>

: Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}</math>
: Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}</math>
: Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> dan <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}</math>

; Jumlah dan selisih kedua vektor
<math>\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt </math>

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang
: <math>\vec c = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
{a_1 + b_1} \\
{a_2 + b_2}
\end{pmatrix}</math>

: <math>\vec c = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
{a_1 - b_1} \\
{a_2 - b_2}
\end{pmatrix}</math>

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> maka vektor <math>k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)</math>

# titik dua vektor
Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3</math>

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> di antara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \cdot \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha</math>

# silang dua vektor
Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)</math>
: <math>\left[\begin{array}{rrr|rr}
\hat i & \hat j & \hat k & \hat i & \hat j \\
a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \\
\end{array}\right]
</math>

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> di antara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \times \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha</math>

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# <math>\vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math>
# <math>(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)</math>
# <math>\vec a + 0 = 0 + \vec a</math>
# <math>k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b</math>
# <math>(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a</math>
# <math>\vec a + (- \vec a) = 0</math>
# <math>\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a</math>
# <math>(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)</math>
# <math>\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a</math>
# <math>k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b</math>
# <math>(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)</math>
# <math>\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2</math>
# <math>\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a</math>
# <math>\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)</math>
# <math>(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)</math>
# <math>\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>
# <math>\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c</math>
# <math>k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b</math>

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka
: <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}</math>
: <math>\vec a \cdot \vec b = 0</math>

; Sejajar
Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka
: <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}</math>
: <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math>

: <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}</math>
: <math>\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math>

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka
: <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}</math>
: <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math>

: <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}</math>
: <math>\vec a \times \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math>

Jika <math>\beta > {90}^{\circ}</math> maka dua vektor tersebut searah

Jika <math>\beta < {90}^{\circ}</math> maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka
: <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}</math>
: <math>\vec a \times \vec b = 0</math>

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor <math>\vec a</math> dan vektor <math>\vec b</math> sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah <math>cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}</math>

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}</math>
: Proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b</math>

=== Metode ===
; segitiga
: <math>\vec R = \vec a + \vec b</math>

; jajar genjang
: <math>\vec R = |\vec a - \vec b | = \sqrt

== Lihat pula ==
* [[Matriks Transformasi|Transformasi]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektor+satuan&oldid=27447008 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27447008 (2025-06-22T11:02:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Vektor satuan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27447008; atribusi sumber disertakan.