Polinomial Bernstein–Sato: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 14.01

Dalam matematika, polinomial Benstein–Sato adalah polinomial yang berkaitan dengan operator diferensial. Polinomial ini diperkenalkan oleh dan , . Polinomial ini juga dikenal sebagai fungsi-b, polinomial-b dan polinomial Bernstein, walaupun tidak terkait dengan polinomial Bernstein yang digunakan dalam teorema aproksimasi. Polinomial ini dapat diterapkan pada teori singularitas, teori monodromi, dan teori medan kuantum.

Definisi dan sifat-sifatnya

Definisi

Definisi dari polinomial Benstein–Sato mengatakan bahwa jika $f (x)$ adalah polinomial di setiap variabel, maka ada polinomial taknol $b (s)$ dan ada operator diferensial $P (s)$ dengan koefisien polinomial sehingga

P (s) f (x)^{s + 1} = b (s) f (x)^{s} .

Sifat-sifat

Polinomial Bernstein-Sato adalah polinomial monik dengan derajat terkecil di antara setiap polinomial $b (s)$ . Keberadaannya dapat diperlihatkan dengan menggunakan gagasan holonomik modul-D.

Penerapan

Jika $f (x)$ adalah polinomial bukan negatif maka $f (x)^{s}$ , maka definisi pada awalnya untuk $s$ dengan bagian bilangan real taknegatif, dapat dilanjutkan secara analitis menjadi fungsi nilai distribusi meromorfik dari $s$ dengan menggunakan persamaan fungsional berkali-kali.

f (x)^{s} = \frac{1}{b (s)} P (s) f (x)^{s + 1} .

Fungsi ini dapat mempunyai kutub setiap kali

b (s + n)

bernilai nol untuk

n

bilangan bulat taknegatif.

Jika $f (x)$ adalah polinomial namun tidak identik bernilai nol, maka ia memiliki invers $g$ , yaitu distribusi;^[1] dengan kata lain, darab $f g = 1$ merupakan distribusi. Jika $f (x)$ adalah taknegatif, maka inversnya dapat dibangun dengan menggunakan polinomial Benstein–Sato dengan mengambil bentuk nilai konstanta dari perluasan Laurent dari $f (x)^{s}$ di $s = - 1$ . Untuk sebarang $f (x)$ , cukup ambil $\bar{f} (x)$ yang dikalikan dengan invers dari $\bar{f} (x) f (x)$ .
Teorema Malgrange–Ehrenpreis mengatakan bahwa setiap operator diferensial dengan koefisien konstanta mempunyai fungsi Green. Dengan menggunakan transformasi Fourier, maka dapat dikatakan bahwa setiap polinomial memiliki inverse distribusional.
Polinomial ini dipakai oleh Pavel Etingof, yang ia perlihatkan untuk mendefinisikan regularisasi dimensi dengan cermat, dalam kasus mengenai dimensi Euklides yang besar.
Persamaan fungsional Bernstein–Sato digunakan dalam perhitungan dari beberapa jenis yang lebih kompleks pada integral tunggal. Biasanya ini terjadi dalam teori medan kuantum. Perhitungan tersebut dibutuhkan untuk mengukur nilai-nilai yang teliti dalam partikel fisika dasar, seperti yang dipraktikkan pada, sebagai contoh, CERN (lihat kutipan pada makalah ). Namun, kasus yang paling menarik memerlukan perumuman yang sederhana pada persamaan fungsional Bernstein–Sato ke perkalian dari dua polinomial, $(f_{1} (x))^{s_{1}} (f_{2} (x))^{s_{2}}$ , dengan $x$ memiliki komponen skalar dari 2 hingga 6, dan pasangan dari polinomial memiliki urutan 2 dan 3. Sayangnya, penentuan Brute Force pada korespondensi operator diferensial $P (s_{1}, s_{2})$ dan $b (s_{1}, s_{2})$ untuk setiap kasus, terbukti sangat tidak praktis. Memikirkan cara untuk jalan pintas ledakan kombinatorial dari algoritma Brute Force akan sangat bernilai dalam penerapan tersebut,

Catatan

Referensi

↑ Sedikit catatan bahwa inversnya tidak tunggal, karena jika f mempunyai akar, maka distribusinya yang dikalikan dengan f bernilai nol, dan menambahkan salah satunya menjadi invers fungsi f merupakan invers fungsi f . lainnya

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29578008 (2026-08-14T16:44:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Sedikit catatan bahwa inversnya tidak tunggal, karena jika f mempunyai akar, maka distribusinya yang dikalikan dengan f bernilai nol, dan menambahkan salah satunya menjadi invers fungsi f merupakan invers fungsi f . lainnya

[1]

@@ Baris 2: / Baris 2: @@
 == Definisi dan sifat-sifatnya ==
 === Definisi ===
 Definisi dari polinomial Benstein–Sato mengatakan bahwa jika <math>f(x)</math> adalah polinomial di setiap variabel, maka ada polinomial taknol <math>b(s)</math> dan ada operator diferensial <math>P(s)</math> dengan koefisien polinomial sehingga
@@ Baris 12: / Baris 11: @@
 == Penerapan ==
 * Jika <math>f(x) </math> adalah polinomial bukan negatif maka <math>f(x)^s</math>, maka definisi pada awalnya untuk <math>s </math> dengan bagian bilangan real taknegatif, dapat [[analisis lanjutan|dilanjutkan secara analitis]] menjadi fungsi nilai [[Distribusi (matematika)|distribusi]] [[meromorfik]] dari <math>s</math> dengan menggunakan [[persamaan fungsional]] berkali-kali.
 ::<math>f(x)^s={1\over b(s)} P(s)f(x)^{s+1}.</math>
 :Fungsi ini dapat mempunyai kutub setiap kali <math>b(s+n)</math> bernilai nol untuk <math>n</math> bilangan bulat taknegatif.
-* Jika <math>f(x) </math> adalah polinomial namun tidak identik bernilai nol, maka ia memiliki invers <math>g</math>, yaitu distribusi; dengan kata lain, darab <math>fg = 1</math> merupakan distribusi. Jika <math>f(x) </math> adalah taknegatif, maka inversnya dapat dibangun dengan menggunakan polinomial Benstein–Sato dengan mengambil bentuk nilai konstanta dari [[Deret Laurent|perluasan Laurent]] dari <math>f(x)^s</math> di <math>s=-1</math>. Untuk sebarang <math>f(x) </math>, cukup ambil <math>\bar{f}(x)</math> yang dikalikan dengan invers dari <math>\bar{f}(x)f(x)</math>.
+* Jika <math>f(x) </math> adalah polinomial namun tidak identik bernilai nol, maka ia memiliki invers <math>g</math>, yaitu distribusi;<ref>Sedikit catatan bahwa inversnya tidak tunggal, karena jika f mempunyai akar, maka distribusinya yang dikalikan dengan f bernilai nol, dan menambahkan salah satunya menjadi invers fungsi f merupakan invers fungsi f . lainnya</ref> dengan kata lain, darab <math>fg = 1</math> merupakan distribusi. Jika <math>f(x) </math> adalah taknegatif, maka inversnya dapat dibangun dengan menggunakan polinomial Benstein–Sato dengan mengambil bentuk nilai konstanta dari [[Deret Laurent|perluasan Laurent]] dari <math>f(x)^s</math> di <math>s=-1</math>. Untuk sebarang <math>f(x) </math>, cukup ambil <math>\bar{f}(x)</math> yang dikalikan dengan invers dari <math>\bar{f}(x)f(x)</math>.
 * [[Teorema Malgrange–Ehrenpreis]] mengatakan bahwa setiap [[operator diferensial]] dengan koefisien konstanta mempunyai [[fungsi Green]]. Dengan menggunakan [[transformasi Fourier]], maka dapat dikatakan bahwa setiap polinomial memiliki inverse distribusional.
 * Polinomial ini dipakai oleh [[Pavel Etingof]], yang ia perlihatkan untuk mendefinisikan regularisasi dimensi dengan cermat, dalam kasus mengenai dimensi Euklides yang besar.
@@ Baris 22: / Baris 20: @@
 == Catatan ==
 == Referensi ==
+<references />
-*
-*
-*
-*  (Princeton, NJ, 1996/1997)
-*
-*
-*
-*
-*
-*
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+Bernstein%E2%80%93Sato&oldid=29578008 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29578008 (2026-08-14T16:44:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)