Garis singgung: Perbedaan antara revisi
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28420341; atribusi sumber disertakan. |
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
Dalam [[geometri]], '''garis singgung''' () [[kurva]] bidang pada [[Titik (geometri)|titik]] yang diketahui adalah [[garis (geometri)|garis lurus]] yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut. [[Leibniz]] mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik [[takhingga kecil|takhingga dekat]] pada kurva. Lebih tepatnya, garis lurus disebut menyinggung kurva di titik pada kurva jika garis melalui titik pada kurva dan memiliki kemiringan dengan ''f'' adalah [[turunan]] ''f''. Definisi serupa digunakan pada [[kurva|kurva ruang]] dan kurva dalam [[ruang Euklides]] dimensi-''n''. | [[File:Tangent_to_a_curve.svg|thumb|right|280px|Tangent to a curve]] | ||
Dalam [[geometri]], '''garis singgung''' () [[kurva]] bidang pada [[Titik (geometri)|titik]] yang diketahui adalah [[garis (geometri)|garis lurus]] yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut. [[Leibniz]] mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik [[takhingga kecil|takhingga dekat]] pada kurva.<ref>Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", ''Acta Eruditorum'', Oct. 1684.</ref> Lebih tepatnya, garis lurus disebut menyinggung kurva di titik pada kurva jika garis melalui titik pada kurva dan memiliki kemiringan dengan ''f'' adalah [[turunan]] ''f''. Definisi serupa digunakan pada [[kurva|kurva ruang]] dan kurva dalam [[ruang Euklides]] dimensi-''n''. | |||
Karena melalui titik di mana garis singgung dan kurva bertemu, disebut '''titik singgung''', garis singgung "memiliki arah yang sama" dengan kurva, dan dengan demikian merupakan pendekatan garis lurus terbaik pada kurva di titik tersebut. | Karena melalui titik di mana garis singgung dan kurva bertemu, disebut '''titik singgung''', garis singgung "memiliki arah yang sama" dengan kurva, dan dengan demikian merupakan pendekatan garis lurus terbaik pada kurva di titik tersebut. | ||
| Baris 8: | Baris 10: | ||
== Sejarah == | == Sejarah == | ||
[[Euklides]] membuat sejumlah referensi garis singgung ( ''ephaptoménē'') lingkaran dalam buku ke-III ''[[Elemen Euklides|Elements]]'' (c. 300 SM). Dalam karya [[Apollonius dari Perga|Apollonius]] ''Conics'' (c. 225 SM), ia mendefinisikan garis singgung sebagai ''garis yang tidak ada garis lurus lain berada di antara garis itu dan kurva''. | [[Euklides]] membuat sejumlah referensi garis singgung ( ''ephaptoménē'') lingkaran dalam buku ke-III ''[[Elemen Euklides|Elements]]'' (c. 300 SM).<ref>Euclid. [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html Euclid's Elements].</ref> Dalam karya [[Apollonius dari Perga|Apollonius]] ''Conics'' (c. 225 SM), ia mendefinisikan garis singgung sebagai ''garis yang tidak ada garis lurus lain berada di antara garis itu dan kurva''.<ref>Al Shenk. [http://math.ucsd.edu/~ashenk/Section2_8.pdf e-CALCULUS Section 2.8]. hlm. 2.8.</ref> | ||
[[Archimedes]] (c. 287 – c. 212 SM) menemukan garis singgung pada [[spiral Archimedes]] dengan mempertimbangkan jalur perpindahan titik sepanjang kurva. | [[Archimedes]] (c. 287 – c. 212 SM) menemukan garis singgung pada [[spiral Archimedes]] dengan mempertimbangkan jalur perpindahan titik sepanjang kurva.<ref>Al Shenk. [http://math.ucsd.edu/~ashenk/Section2_8.pdf e-CALCULUS Section 2.8]. hlm. 2.8.</ref> | ||
Pada tahun 1630-an, [[Pierre de Fermat|Fermat]] mengembangkan teknik [[adekualitas]] untuk menghitung garis singgung dan masalah lainnya dalam analisis serta menghitung garis singgung parabola. Teknik adekualitas serupa dengan mengambil perbedaan antara <math>f(x+h)</math> dan <math>f(x)</math> serta membaginya dengan pangkat dua dari <math>h</math>. Secara terpisah, [[Descartes]] menggunakan [[metode tegak lurus]] berdasarkan pada observasi bahwa radius lingkaran selalu tegak lurus dengan lingkaran itu sendiri. | Pada tahun 1630-an, [[Pierre de Fermat|Fermat]] mengembangkan teknik [[adekualitas]] untuk menghitung garis singgung dan masalah lainnya dalam analisis serta menghitung garis singgung parabola. Teknik adekualitas serupa dengan mengambil perbedaan antara <math>f(x+h)</math> dan <math>f(x)</math> serta membaginya dengan pangkat dua dari <math>h</math>. Secara terpisah, [[Descartes]] menggunakan [[metode tegak lurus]] berdasarkan pada observasi bahwa radius lingkaran selalu tegak lurus dengan lingkaran itu sendiri.<ref>Victor J. Katz. ''A History of Mathematics''. Addison Wesley. 2008. hlm. 510. ISBN 978-0321387004.</ref> | ||
Metode ini mengantarkan pada pengembangan [[kalkulus diferensial]] pada [[abad ke-17]]. Banyak orang berkontribusi di dalamnya. [[Gilles de Roberval|Roberval]] menemukan metode umum untuk menggambar garis singgung, mempertimbangkan sebuah kurva didefinisikan sebagai titik bergerak yang gerakannya merupakan resultan dari berbagai gerakan lebih sederhana. | Metode ini mengantarkan pada pengembangan [[kalkulus diferensial]] pada [[abad ke-17]]. Banyak orang berkontribusi di dalamnya. [[Gilles de Roberval|Roberval]] menemukan metode umum untuk menggambar garis singgung, mempertimbangkan sebuah kurva didefinisikan sebagai titik bergerak yang gerakannya merupakan resultan dari berbagai gerakan lebih sederhana.<ref>Paul R. Wolfson. ''The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents''. ''The American Mathematical Monthly''. 2001. Vol. 108. hlm. 206–216. doi:10.2307/2695381.</ref> | ||
[[René-François de Sluse]] dan [[Johannes Hudde]] menemukan algoritma aljabar untuk mencari garis singgung. Perkembangan lebih lanjut meliputi [[John Wallis]] dan [[Isaac Barrow]], membawa pada teori [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]]. | [[René-François de Sluse]] dan [[Johannes Hudde]] menemukan algoritma aljabar untuk mencari garis singgung.<ref>Victor J. Katz. ''A History of Mathematics''. Addison Wesley. 2008. hlm. 512–514. ISBN 978-0321387004.</ref> Perkembangan lebih lanjut meliputi [[John Wallis]] dan [[Isaac Barrow]], membawa pada teori [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]]. | ||
Sebuah definisi garis singgung pada tahun 1828 adalah "garis yang benar dengan menyentuh kurva, tetapi ketika diperpanjang, tidak memotong kurva tersebut".<ref>Noah Webster, ''American Dictionary of the English Language'' (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [https://archive.org/stream/americandictiona02websrich#page/n733/mode/2up]</ref> Definisi tua ini mencegah [[titik belok]] memiliki garis singgung. Definisi ini telah ditolak dan definisi modern sama dengan definisi [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] yang mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik [[takhingga kecil|takhingga dekat]] pada kurva. | |||
== Sumber == | == Sumber == | ||
* | * | ||
== Pranala luar == | == Pranala luar == | ||
* | |||
* | |||
* | |||
* | |||
* [http://www.mathopenref.com/tangent.html Garis singgung lingkaran] dengan animasi interaktif | * [http://www.mathopenref.com/tangent.html Garis singgung lingkaran] dengan animasi interaktif | ||
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_difftangent.html Garis singgung dan turunan pertama] — Simulasi interaktif | * [http://www.vias.org/simulations/simusoft_difftangent.html Garis singgung dan turunan pertama] — Simulasi interaktif | ||
== Referensi == | |||
<references /> | |||
== Sumber dan atribusi == | |||
== | Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Garis+singgung&oldid=28420341 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28420341 (2025-11-12T05:58:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | ||
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 --> | |||
Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 14.02
Dalam geometri, garis singgung () kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut. Leibniz mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik takhingga dekat pada kurva.[1] Lebih tepatnya, garis lurus disebut menyinggung kurva di titik pada kurva jika garis melalui titik pada kurva dan memiliki kemiringan dengan f adalah turunan f. Definisi serupa digunakan pada kurva ruang dan kurva dalam ruang Euklides dimensi-n.
Karena melalui titik di mana garis singgung dan kurva bertemu, disebut titik singgung, garis singgung "memiliki arah yang sama" dengan kurva, dan dengan demikian merupakan pendekatan garis lurus terbaik pada kurva di titik tersebut.
Serupa dengan garis singgung, bidang singgung permukaan di titik yang diketahui adalah bidang yang "hanya menyentuh" permukaan di titik tersebut. Konsep persinggungan adalah satu dari gagasan paling mendasar dalam geometri diferensial dan telah digeneralisasikan secara ekstensif; lihat ruang singgung.
Kata "tangen" berasal dari bahasa Latin tangere, yang berarti 'menyentuh'.
Sejarah
Euklides membuat sejumlah referensi garis singgung ( ephaptoménē) lingkaran dalam buku ke-III Elements (c. 300 SM).[2] Dalam karya Apollonius Conics (c. 225 SM), ia mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang tidak ada garis lurus lain berada di antara garis itu dan kurva.[3]
Archimedes (c. 287 – c. 212 SM) menemukan garis singgung pada spiral Archimedes dengan mempertimbangkan jalur perpindahan titik sepanjang kurva.[4]
Pada tahun 1630-an, Fermat mengembangkan teknik adekualitas untuk menghitung garis singgung dan masalah lainnya dalam analisis serta menghitung garis singgung parabola. Teknik adekualitas serupa dengan mengambil perbedaan antara dan serta membaginya dengan pangkat dua dari . Secara terpisah, Descartes menggunakan metode tegak lurus berdasarkan pada observasi bahwa radius lingkaran selalu tegak lurus dengan lingkaran itu sendiri.[5]
Metode ini mengantarkan pada pengembangan kalkulus diferensial pada abad ke-17. Banyak orang berkontribusi di dalamnya. Roberval menemukan metode umum untuk menggambar garis singgung, mempertimbangkan sebuah kurva didefinisikan sebagai titik bergerak yang gerakannya merupakan resultan dari berbagai gerakan lebih sederhana.[6] René-François de Sluse dan Johannes Hudde menemukan algoritma aljabar untuk mencari garis singgung.[7] Perkembangan lebih lanjut meliputi John Wallis dan Isaac Barrow, membawa pada teori Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.
Sebuah definisi garis singgung pada tahun 1828 adalah "garis yang benar dengan menyentuh kurva, tetapi ketika diperpanjang, tidak memotong kurva tersebut".[8] Definisi tua ini mencegah titik belok memiliki garis singgung. Definisi ini telah ditolak dan definisi modern sama dengan definisi Leibniz yang mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik takhingga dekat pada kurva.
Sumber
Pranala luar
- Garis singgung lingkaran dengan animasi interaktif
- Garis singgung dan turunan pertama — Simulasi interaktif
Referensi
- ↑ Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta Eruditorum, Oct. 1684.
- ↑ Euclid. Euclid's Elements.
- ↑ Al Shenk. e-CALCULUS Section 2.8. hlm. 2.8.
- ↑ Al Shenk. e-CALCULUS Section 2.8. hlm. 2.8.
- ↑ Victor J. Katz. A History of Mathematics. Addison Wesley. 2008. hlm. 510. ISBN 978-0321387004.
- ↑ Paul R. Wolfson. The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents. The American Mathematical Monthly. 2001. Vol. 108. hlm. 206–216. doi:10.2307/2695381.
- ↑ Victor J. Katz. A History of Mathematics. Addison Wesley. 2008. hlm. 512–514. ISBN 978-0321387004.
- ↑ Noah Webster, American Dictionary of the English Language (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [1]
Sumber dan atribusi
Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28420341 (2025-11-12T05:58:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.