Fungsi rasional Chebyshev: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.01

Dalam matematika, fungsi rasional Chebyshev adalah urutan fungsi yang rasional dan ortogonal. Mereka dinamakan Pafnuty Chebyshev. Fungsi rasional Chebysev dengan derajat n didefinisikan sebagai:

R_{n} (x) \overset{d e f}{=} T_{n} (\frac{x - 1}{x + 1})

di mana T_n(x) adalah polinom Chebyshev bentuk pertama.

Sifat

Banyak sifat yang dapat diturunkan dari polinom Chebysev bentuk pertama.

Rekursi

R_{n + 1} (x) = 2 \frac{x - 1}{x + 1} R_{n} (x) - R_{n - 1} (x) for n \geq 1

Persamaan diferensial

(x + 1)^{2} R_{n} (x) = \frac{1}{n + 1} \frac{d}{d x} R_{n + 1} (x) - \frac{1}{n - 1} \frac{d}{d x} R_{n - 1} (x) for n \geq 2

(x + 1)^{2} x \frac{d^{2}}{d x^{2}} R_{n} (x) + \frac{(3 x + 1) (x + 1)}{2} \frac{d}{d x} R_{n} (x) + n^{2} R_{n} (x) = 0

Ortogonalitas

Mendefinisikan:

ω (x) \overset{d e f}{=} \frac{1}{(x + 1) \sqrt{x}}

Ortogonalitas dari fungsi rasional Chebyshev dapat ditulis:

\int_{0}^{\infty} R_{m} (x) R_{n} (x) ω (x) d x = \frac{π c_{n}}{2} δ_{n m}

di mana untuk dan untuk ; adalah fungsi Kronecker delta.

Perluasan fungsi yang berubah-ubah

Untuk fungsi yang berubah-ubah hubungan ortogonalitas dapat digunakan untuk memperluas :

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} R_{n} (x)

di mana

F_{n} = \frac{2}{c_{n} π} \int_{0}^{\infty} f (x) R_{n} (x) ω (x) d x .

Nilai khusus

\begin{matrix} R_{0} (x) & = 1 \\ R_{1} (x) & = \frac{x - 1}{x + 1} \\ R_{2} (x) & = \frac{x^{2} - 6 x + 1}{(x + 1)^{2}} \\ R_{3} (x) & = \frac{x^{3} - 15 x^{2} + 15 x - 1}{(x + 1)^{3}} \\ R_{4} (x) & = \frac{x^{4} - 28 x^{3} + 70 x^{2} - 28 x + 1}{(x + 1)^{4}} \\ R_{n} (x) & = (x + 1)^{- n} \sum_{m = 0}^{n} (- 1)^{m} (\binom{2 n}{2 m}) x^{n - m} \end{matrix}

Perluasan fraksi sebagian

R_{n} (x) = \sum_{m = 0}^{n} \frac{(m!)^{2}}{(2 m)!} (\binom{n + m - 1}{m}) (\binom{n}{m}) \frac{(- 4)^{m}}{(x + 1)^{m}}

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28744679 (2025-12-27T01:45:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+[[File:ChebychevRational1.png|thumb|right|280px|Plot fungsi rasional Chebyshev untuk dengan dalam skala log]]
 Dalam [[matematika]], '''fungsi rasional Chebyshev''' adalah urutan fungsi yang [[Fungsi rasional|rasional]] dan [[Fungsi ortogonal|ortogonal]]. Mereka dinamakan [[Pafnuty Chebyshev]]. Fungsi rasional Chebysev dengan derajat ''n'' didefinisikan sebagai:
@@ Baris 9: / Baris 11: @@
 === Rekursi ===
 :<math>R_{n+1}(x)=2\,\frac{x-1}{x+1}R_n(x)-R_{n-1}(x) \quad \text{for } n\ge 1</math>
 === Persamaan diferensial ===
 :<math>(x+1)^2R_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}R_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}R_{n-1}(x) \quad \text{for } n\ge 2</math>
@@ Baris 19: / Baris 19: @@
 === Ortogonalitas ===
 Mendefinisikan:
@@ Baris 41: / Baris 39: @@
 == Nilai khusus ==
 :<math>\begin{align}
 R_0(x)&=1\\
@@ Baris 52: / Baris 49: @@
 == Perluasan fraksi sebagian ==
 :<math>R_n(x)=\sum_{m=0}^{n} \frac{(m!)^2}{(2m)!}\binom{n+m-1}{m}\binom{n}{m}\frac{(-4)^m}{(x+1)^m} </math>
-== Referensi ==
+== Sumber dan atribusi ==
-*
+Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+rasional+Chebyshev&oldid=28744679 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28744679 (2025-12-27T01:45:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
-== Sumber dan atribusi ==
-Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+rasional+Chebyshev&oldid=28744679 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28744679 (2025-12-27T01:45:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Maintenance script (bicara | kontrib)