Bilangan kardinal: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.02

Dalam matematika, bilangan kardinal adalah jenis bilangan yang digunakan untuk mengukur kardinalitas suatu himpunan, yaitu seberapa banyak elemen yang terkandung di dalamnya. Bilangan kardinal yang berkaitan dengan suatu himpunan umumnya dilambangkan dengan , yaitu huruf yang diapit oleh dua garis vertikal.^[1] Selain itu, kardinalitas juga dapat dituliskan dengan simbol $A$ , $card (A)$ , atau $# A$ .

Bilangan ini pertama kali ditemukan oleh Georg Cantor pada tahun 1874.

Definisi formal

Secara formal, urutan di antara bilangan kardinal didefinisikan sebagai berikut: |X| ≤ |Y| berarti bahwa ada fungsi injektif dari X ke Y. Teorema Cantor–Bernstein–Schroeder menyatakan jika |X| ≤ |Y| dan |Y| ≤ |X| maka |X| = |Y|. Aksioma pilihan setara dengan pernyataan yang diberikan dua set X dan Y, baik |X| ≤ |Y| maupun |Y| ≤ |X|.^[2]^[3]

Lihat pula

Bilangan ordinal

Pranala luar

Cardinality at ProvenMath formal proofs of the basic theorems on cardinality.
Undergraduate Set Theory more proofs about cardinality - includes proof of infinite cardinal addition in Section 4.2.

ru:Кардинальное число

Referensi

↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Enderton, Herbert. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977.
↑ Friedrich M. Hartogs. Über das Problem der Wohlordnung. Math. Ann. B. G. Teubner. 1915. Vol. Bd. 76. hlm. 438–443. doi:10.1007/bf01458215.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29470233 (2026-07-17T23:03:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[2] Enderton, Herbert. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977.

[3] Friedrich M. Hartogs. Über das Problem der Wohlordnung. Math. Ann. B. G. Teubner. 1915. Vol. Bd. 76. hlm. 438–443. doi:10.1007/bf01458215.

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[matematika]], '''bilangan kardinal''' adalah jenis [[bilangan]] yang digunakan untuk mengukur [[kardinalitas]] suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]], yaitu seberapa banyak elemen yang terkandung di dalamnya. Bilangan kardinal yang berkaitan dengan suatu himpunan  umumnya dilambangkan dengan , yaitu huruf yang diapit oleh dua garis vertikal. Selain itu, kardinalitas juga dapat dituliskan dengan simbol <math>A</math>, <math>\operatorname{card}(A)</math>, atau <math>\#A</math>.
+Dalam [[matematika]], '''bilangan kardinal''' adalah jenis [[bilangan]] yang digunakan untuk mengukur [[kardinalitas]] suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]], yaitu seberapa banyak elemen yang terkandung di dalamnya. Bilangan kardinal yang berkaitan dengan suatu himpunan  umumnya dilambangkan dengan , yaitu huruf yang diapit oleh dua garis vertikal.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+kardinal&oldid=29470233 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Selain itu, kardinalitas juga dapat dituliskan dengan simbol <math>A</math>, <math>\operatorname{card}(A)</math>, atau <math>\#A</math>.
 Bilangan ini pertama kali ditemukan oleh [[Georg Cantor]] pada tahun [[1874]].
 == Definisi formal ==
-Secara formal, urutan di antara bilangan kardinal didefinisikan sebagai berikut: |''X''| ≤ |''Y''| berarti bahwa ada fungsi [[injektif]] dari ''X'' ke ''Y''. [[Teorema Cantor–Bernstein–Schroeder]] menyatakan jika |''X''| ≤ |''Y''| dan |''Y''| ≤ |''X''| maka |''X''| = |''Y''|. [[Aksioma pilihan]] setara dengan pernyataan yang diberikan dua set ''X'' dan ''Y'', baik |''X''| ≤ |''Y''| maupun |''Y''| ≤ |''X''|.
+Secara formal, urutan di antara bilangan kardinal didefinisikan sebagai berikut: |''X''| ≤ |''Y''| berarti bahwa ada fungsi [[injektif]] dari ''X'' ke ''Y''. [[Teorema Cantor–Bernstein–Schroeder]] menyatakan jika |''X''| ≤ |''Y''| dan |''Y''| ≤ |''X''| maka |''X''| = |''Y''|. [[Aksioma pilihan]] setara dengan pernyataan yang diberikan dua set ''X'' dan ''Y'', baik |''X''| ≤ |''Y''| maupun |''Y''| ≤ |''X''|.<ref>Enderton, Herbert. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977.</ref><ref>Friedrich M. Hartogs. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0076&DMDID=DMDLOG_0037&L=1 Über das Problem der Wohlordnung]. ''Math. Ann''. B. G. Teubner. 1915. Vol. Bd. 76. hlm. 438–443. doi:10.1007/bf01458215.</ref>
 == Lihat pula ==
 * [[Bilangan ordinal]]
-== Referensi ==
 == Pranala luar ==
 * [http://www.apronus.com/provenmath/cardinality.htm Cardinality at ProvenMath] formal proofs of the basic theorems on cardinality.
 * [http://www.math.cmu.edu/users/jcumming/teaching/undergraduate_set_theory_2009/Book.pdf Undergraduate Set Theory] more proofs about cardinality - includes proof of infinite cardinal addition in Section 4.2.
 [[ru:Кардинальное число]]
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+kardinal&oldid=29470233 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29470233 (2026-07-17T23:03:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->