Kuadratur (matematika): Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.10

Dalam kajian matematika, kuadratur adalah istilah untuk perhitungan luas. Secara historis, kuadratur digunakan untuk menghitung integral.

Kata kuadratur quadratus dalam bahasa Latin bermakna "persegi". Kata tersebut berasal dari kajian matematika Yunani Kuno, yang mengukur suatu luas bidang dengan membangun persegi yang berukuran sama. Dalam pengertian ini, kajian matematika modern menggunakan istilah mengkuadratkan. Misalnya, masalah mempersegikan lingkaran (membangun lingkaran dari suatu persegi dengan langkah terbatas) adalah masalah kuno terkenal yang pada abad ke 19 berhasil dibuktikan tidak mungkin diselesaikan dengan metode yang saat itu tersedia di zaman Yunani Kuno,

Integral merupakan metode umum untuk perhitungan luas, yang diperkenalkan sejak abad ke 17. Pada perhitungan integral, kuadratur merujuk pada penghitungan integral apa pun; kini, penghitungan semacam itu kini lebih sering disebut "integral" atau "integrasi". Akan tetapi, penyelesaian persamaan diferensial dan sistem diferensial juga dapat disebut sebagai integrasi, dan istilah kuadratur tetap berguna untuk membedakan integral sebagai perhitungan luas dari penyelesaian persamaan diferensial, dalam ragam konteks penggunaan kedua metode tersebut. Dalam analisis numerik, terdapat metode yang disebut dengan kuadratur numerik. Selain itu, istilah reduksi ke kuadratur dan penyelesaian dengan kuadratur bermakna menyatakan penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk integral.

Dalam artikel ini, makna kuadratur dibatasi pada perhitungan luas bidang.

Sejarah

Matematika zaman kuno

Matematikawan Yunani memiliki pemahaman bahwa penentuan luas suatu bidang adalah proses konstruksi sebuah persegi yang mempunyai luas yang sama bidang tersebut (pengkuadratan bidang tersebut) secara geometris, karena itu, proses ini dinamakan kuadratur. Pada masa ini, ahli geometri Yunani tidak selalu berhasil menyelesaikan masalah pengkuadratan ini, tetapi mereka menyelsaikan permasalahan kuadratur pada beberapa bidang yang sisi-sisinya melengkung, seperti bulan sabit Hippocrates dan parabola. Dalam kebiasaan matematika Yunani, bidang-bidang tersebut hanya dapat dibangun dengan menggunakan jangka dan mistar, meskipun tidak semua matematikawan Yunani melakukan ini.

Untuk menghitung kuadratur persegi panjang dengan sisi a dan b, maka perlu dibangun suatu persegi lain dengan sisi $x = \sqrt{a b}$ (rata-rata geometrik a dan b). Caranya, gambarlah lingkaran dengan diameter gabungan panjang a dan b. Lalu tarik garis tegak lurus dari titik sambungan a dan b ke lingkaran; tinggi garis ini (titik BH pada diagram) sama dengan $\sqrt{a b}$ . Konstruksi serupa bisa digunakan untuk menghitung kuadratur jajaran genjang dan segitiga.

Penyelesaian permasalahan kuadratur untuk bangun kurvilinear memiliki kesulitan yang lebih tinggi. Pada abad ke 19, matematikawan berhasil membuktikan bahwa masalah ini tidak dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian kuadratur lingkaran dengan jangka dan mistar.^[1]^[2] Meskipun demikian, untuk beberapa bidang, metode kuadratur dapat dilakukan. Kuadratur permukaan bola dan segmen parabola yang ditemukan oleh Archimedes menjadi pencapaian analisis tertinggi di zaman kuno.

Luas permukaan bola sama dengan empat kali luas lingkaran yang dibentuk oleh lingkaran besar bola tersebut.
Luas suatu ruas garis parabola yang ditentukan dengan cara memotong garis lurus adalah 4/3 luas segitiga yang terdapat pada ruas garis tersebut.

Untuk pembuktian hasil ini, Archimedes menggunakan metode penghabis yang diatribusikan kepada Eudoxus .^[3]

Matematika abad pertengahan

Dalam kajian matematika di Eropa pada abad pertengahan, metode kuadratur dimaknai sebagai perhitungan luas dengan metode apa pun. Dalam konteks ini, metode tak terbagi adalah metode yang paling sering digunakan; metode ini dianggap kurang cermat (rigorous) dibandingkan metode konstruksi geometris dari masa Yunani, tetapi metode tak terbagi lebih sederhana dan lebih kuat. Menggunakan metode ini, Galileo Galilei dan Gilles de Roberval menemukan luas lengkungan sikloid, Grégoire de Saint-Vincent menyelidiki luas di bawah hiperbola (Opus Geometricum, 1647),^[4] dan Alphonse Antonio de Sarasa, murid dari dan komentator karya de Saint-Vincent, mencatat hubungan area ini dengan logaritma.^[5]^[6]

Kalkulus integral

Metode kuadratur kemudian di aljabarisasi oleh John Wallis; dalam Arithmetica Infinitorum (1656), ia mencatat beberapa deret yang ekuivalen dengan apa yang sekarang disebut integral tentu, dan melakukan kalkulasi nilai-nilainya. Isaac Barrow dan James Gregory membuat kemajuan lebih lanjut: metode kuadratur untuk beberapa kurva aljabar dan spiral . Christiaan Huygens berhasil menghitung kuadratur luas permukaan sebagian benda putar.

Kuadratur hiperbola karya oleh Gregoire de Saint-Vincent dan AA de Sarasa menghasilkan fungsi baru, yang disebut dengan logaritma natural, yang berperan penting di masa depan. Dengan ditemukannya kalkulus integral muncullah metode universal untuk perhitungan luas. Sebagai akibatnya, istilah kuadratur telah dianggap sebagai istilah tradisional, dan sebagai gantinya frasa modern mencari luas lebih umum digunakan untuk apa yang secara teknis merupakan perhitungan integral tentu univariat .

Bibliografi

Bacaan lebih lanjut

Boyer, CB (1989) Sejarah Matematika, edisi ke-2. direvisi oleh Uta C. Merzbach . New York: Wiley, (edisi pbk 1991) (dalam bahasa Inggris).
Thomas Heath (1921) Sejarah Matematika Yunani, Oxford, Clarendon Press, melalui Arsip Internet : Volume I, Dari Thales hingga Euclid, Volume II, Dari Aristarchus hingga Diophantus
Eves, Howard (1990) Pengantar Sejarah Matematika, Saunders, ,
Christiaan Huygens (1651) Theoremata de Quadratura Hiperbola, Ellipsis et Circuli
Jean-Etienne Montucla (1873) Sejarah Kuadratur Lingkaran, J. Babin penerjemah, William Alexander Myers editor, tautan dari HathiTrust .
Christoph Scriba (1983) "Urutan Ganda Konvergen Gregory: pandangan baru mengenai kontroversi antara Huygens dan Gregory mengenai kuadratur lingkaran 'analitis'", Historia Mathematica 10:274–85.

Referensi

↑ F. Lindemann. Über die Zahl π. Mathematische Annalen. 1882. Vol. 20 (2). hlm. 213–225. doi:10.1007/bf01446522.
↑ Rudolf Fritsch. The transcendence of has been known for about a century—but who was the man who discovered it?. Results in Mathematics. 1984. Vol. 7 (2). hlm. 164–183. doi:10.1007/BF03322501.
↑ Victor J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1.
↑ Victor J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1. Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. ISBN 0-321-01618-1 .
↑ Victor J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1.
↑ Enrique A. González-Velasco. Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History. Springer Science+Business Media, LLC. 2011. ISBN 978-0-387-92153-2.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28451718 (2025-11-13T07:34:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] F. Lindemann. Über die Zahl π. Mathematische Annalen. 1882. Vol. 20 (2). hlm. 213–225. doi:10.1007/bf01446522.

[2] Rudolf Fritsch. The transcendence of has been known for about a century—but who was the man who discovered it?. Results in Mathematics. 1984. Vol. 7 (2). hlm. 164–183. doi:10.1007/BF03322501.

[3] Victor J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1.

[4] Victor J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1. Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. ISBN 0-321-01618-1 .

[5] Victor J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1.

[6] Enrique A. González-Velasco. Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History. Springer Science+Business Media, LLC. 2011. ISBN 978-0-387-92153-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Baris 8: / Baris 8: @@
 == Sejarah ==
 === Matematika zaman kuno ===
 [[Matematika Yunani|Matematikawan Yunani]] memiliki pemahaman bahwa penentuan [[luas]] suatu bidang adalah proses konstruksi sebuah [[persegi]] yang mempunyai luas yang sama bidang tersebut (''pengkuadratan'' bidang tersebut) secara geometris, karena itu, proses ini dinamakan ''kuadratur''. Pada masa ini, ahli geometri Yunani tidak selalu berhasil [[Mempersegikan lingkaran|menyelesaikan masalah pengkuadratan ini]], tetapi mereka menyelsaikan permasalahan kuadratur pada beberapa bidang yang sisi-sisinya melengkung, seperti bulan sabit Hippocrates dan [[Quadrature of the Parabola|parabola]]. Dalam kebiasaan matematika Yunani, bidang-bidang tersebut hanya dapat dibangun dengan menggunakan [[Lukisan jangka dan mistar|jangka dan mistar]], meskipun tidak semua matematikawan Yunani melakukan ini.
 Untuk menghitung kuadratur [[persegi panjang]] dengan sisi ''a'' dan ''b,'' maka perlu dibangun suatu persegi lain dengan sisi <math>x =\sqrt {ab}</math> ([[rata-rata geometrik]] ''a'' dan ''b''). Caranya, gambarlah lingkaran dengan diameter gabungan panjang a dan b. Lalu tarik garis tegak lurus dari titik sambungan a dan b ke lingkaran; tinggi garis ini (titik BH pada diagram) sama dengan <math>\sqrt {ab}</math>. Konstruksi serupa bisa digunakan untuk menghitung kuadratur jajaran genjang dan segitiga.
-Penyelesaian permasalahan kuadratur untuk bangun kurvilinear memiliki kesulitan yang lebih tinggi. Pada abad ke 19, matematikawan berhasil membuktikan bahwa masalah ini tidak dapat diselesaikan dengan metode [[Mempersegikan lingkaran|penyelesaian kuadratur lingkaran dengan jangka dan mistar]]. Meskipun demikian, untuk beberapa bidang, metode kuadratur dapat dilakukan. Kuadratur permukaan bola dan segmen [[parabola]] yang ditemukan oleh [[Archimedes]] menjadi pencapaian analisis tertinggi di zaman kuno.
+Penyelesaian permasalahan kuadratur untuk bangun kurvilinear memiliki kesulitan yang lebih tinggi. Pada abad ke 19, matematikawan berhasil membuktikan bahwa masalah ini tidak dapat diselesaikan dengan metode [[Mempersegikan lingkaran|penyelesaian kuadratur lingkaran dengan jangka dan mistar]].<ref>F. Lindemann. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102917051;view=1up;seq=237 Über die Zahl π]. ''Mathematische Annalen''. 1882. Vol. 20 (2). hlm. 213–225. doi:10.1007/bf01446522.</ref><ref>Rudolf Fritsch. ''The transcendence of has been known for about a century—but who was the man who discovered it?''. ''Results in Mathematics''. 1984. Vol. 7 (2). hlm. 164–183. doi:10.1007/BF03322501.</ref> Meskipun demikian, untuk beberapa bidang, metode kuadratur dapat dilakukan. Kuadratur permukaan bola dan segmen [[parabola]] yang ditemukan oleh [[Archimedes]] menjadi pencapaian analisis tertinggi di zaman kuno.
 * Luas permukaan bola sama dengan empat kali luas lingkaran yang dibentuk oleh [[lingkaran besar]] bola tersebut.
 * Luas suatu ruas garis parabola yang ditentukan dengan cara memotong garis lurus adalah 4/3 luas segitiga yang terdapat pada ruas garis tersebut.
-Untuk pembuktian hasil ini, Archimedes menggunakan [[metode penghabis]] yang diatribusikan kepada [[Eudoksos dari Knidos|Eudoxus]] .
+Untuk pembuktian hasil ini, Archimedes menggunakan [[metode penghabis]] yang diatribusikan kepada [[Eudoksos dari Knidos|Eudoxus]] .<ref>Victor J. Katz. [https://archive.org/details/historyofmathema00katz A History of Mathematics: An Introduction]. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1.</ref>
 === Matematika abad pertengahan ===
-Dalam kajian matematika di Eropa pada abad pertengahan, metode kuadratur dimaknai sebagai perhitungan luas dengan metode apa pun. Dalam konteks ini, metode tak terbagi adalah metode yang paling sering digunakan; metode ini dianggap kurang cermat (''rigorous'') dibandingkan metode konstruksi geometris dari masa Yunani, tetapi metode tak terbagi lebih sederhana dan lebih kuat. Menggunakan metode ini, [[Galileo Galilei]] dan Gilles de Roberval menemukan luas lengkungan sikloid, [[Grégoire de Saint-Vincent]] menyelidiki luas di bawah [[hiperbola]] (''Opus Geometricum'', 1647), dan [[Alphonse Antonio de Sarasa]], murid dari dan komentator karya de Saint-Vincent, mencatat hubungan area ini dengan [[logaritma]].
+Dalam kajian matematika di Eropa pada abad pertengahan, metode kuadratur dimaknai sebagai perhitungan luas dengan metode apa pun. Dalam konteks ini, metode tak terbagi adalah metode yang paling sering digunakan; metode ini dianggap kurang cermat (''rigorous'') dibandingkan metode konstruksi geometris dari masa Yunani, tetapi metode tak terbagi lebih sederhana dan lebih kuat. Menggunakan metode ini, [[Galileo Galilei]] dan Gilles de Roberval menemukan luas lengkungan sikloid, [[Grégoire de Saint-Vincent]] menyelidiki luas di bawah [[hiperbola]] (''Opus Geometricum'', 1647),<ref>Victor J. Katz. [https://archive.org/details/historyofmathema00katz A History of Mathematics: An Introduction]. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1. Katz, Victor J. (1998). ''A History of Mathematics: An Introduction'' (2nd ed.). Addison Wesley Longman. ISBN 0-321-01618-1 .</ref> dan [[Alphonse Antonio de Sarasa]], murid dari dan komentator karya de Saint-Vincent, mencatat hubungan area ini dengan [[logaritma]].<ref>Victor J. Katz. [https://archive.org/details/historyofmathema00katz A History of Mathematics: An Introduction]. Addison Wesley Longman. 1998. ISBN 0-321-01618-1.</ref><ref>Enrique A. González-Velasco. ''Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History''. Springer Science+Business Media, LLC. 2011. ISBN 978-0-387-92153-2.</ref>
 === Kalkulus integral ===
@@ Baris 31: / Baris 29: @@
 == Bibliografi ==
 == Bacaan lebih lanjut ==
 * Boyer, CB (1989) ''Sejarah Matematika'', edisi ke-2. direvisi oleh Uta C. Merzbach . New York: Wiley, (edisi pbk 1991) (dalam bahasa Inggris).
 * [[Thomas Little Heath|Thomas Heath]] (1921) ''Sejarah Matematika Yunani'', Oxford, Clarendon Press, melalui [[Internet Archive|Arsip Internet]] : [[iarchive:historyofgreekm01heat|Volume I, Dari Thales hingga Euclid]], [[iarchive:historyofgreekm02heat|Volume II, Dari Aristarchus hingga Diophantus]]
@@ Baris 42: / Baris 37: @@
 * Christoph Scriba (1983) "Urutan Ganda Konvergen Gregory: pandangan baru mengenai kontroversi antara Huygens dan Gregory mengenai kuadratur lingkaran 'analitis'", Historia Mathematica 10:274–85.
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuadratur+%28matematika%29&oldid=28451718 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28451718 (2025-11-13T07:34:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)