Kuaternion ganda: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.00

Dalam bidang matematika, kuaternion ganda adalah sebuah aljabar real berdimensi 8 yang isomorfik terhadap hasil kali tensor dari kuaternion dan bilangan ganda. Dengan demikian, entitas ini dapat dikonstruksikan dengan cara yang sama seperti kuaternion biasa, kecuali menggunakan bilangan ganda sebagai koefisien alih-alih bilangan real. Sebuah kuaternion ganda dapat direpresentasikan dalam bentuk , dengan A dan B adalah kuaternion biasa dan ε adalah unit ganda, yang memenuhi dan komutatif terhadap setiap elemen dalam aljabar tersebut. Tidak seperti kuaternion biasa, kuaternion ganda tidak membentuk sebuah aljabar pembagian.

Dalam bidang mekanika, kuaternion ganda diterapkan sebagai sistem bilangan untuk merepresentasikan transformasi kaku dalam tiga dimensi.^[1] Karena ruang kuaternion ganda berdimensi 8 dan transformasi kaku memiliki enam derajat kebebasan real (tiga untuk translasi dan tiga untuk rotasi), kuaternion ganda yang mematuhi dua batasan aljabarlah yang digunakan dalam penerapan ini. Karena kuaternion satuan tunduk pada dua batasan aljabar tersebut, kuaternion satuan menjadi standar untuk merepresentasikan transformasi kaku.^[2]

Sama halnya dengan rotasi dalam ruang 3D yang dapat direpresentasikan oleh kuaternion dengan panjang satuan, gerak kaku dalam ruang 3D juga dapat direpresentasikan oleh kuaternion ganda dengan panjang satuan. Fakta ini digunakan dalam kinematika teoretis (lihat McCarthy^[3] ), dan dalam berbagai penerapannya pada grafika komputer 3D,^[4] robotika,^[5]^[6] serta visi komputer.^[7] Polinomial dengan koefisien yang dinyatakan dalam kuaternion ganda (norma real tak nol) juga telah digunakan dalam konteks perancangan pautan mekanis.^[8]^[9]

Sejarah

W. R. Hamilton memperkenalkan kuaternion^[10]^[11] pada tahun 1843, dan menjelang tahun 1873 W. K. Clifford memperoleh perumuman luas dari bilangan-bilangan ini yang ia sebut sebagai bikuaternion,^[12]^[13] yang merupakan sebuah contoh dari apa yang sekarang disebut sebagai aljabar Clifford.^[14]

Pada tahun 1898, Alexander McAulay menggunakan Ω dengan Ω² = 0 untuk menghasilkan aljabar kuaternion ganda.^[15] Namun, terminologi "oktonion" yang ia gunakan tidak bertahan karena oktonion saat ini merujuk pada aljabar yang berbeda.

Pada tahun 1891, Eduard Study menyadari bahwa aljabar asosiatif ini ideal untuk mendeskripsikan grup gerak dari ruang tiga dimensi. Ia lebih lanjut mengembangkan gagasan tersebut dalam Geometrie der Dynamen pada tahun 1901.^[16] B. L. van der Waerden menyebut struktur tersebut sebagai "bikuaternion Study", satu dari tiga aljabar berdimensi delapan yang disebut sebagai bikuaternion.

Pada tahun 1895, matematikawan Rusia Aleksandr Kotelnikov mengembangkan vektor ganda dan kuaternion ganda untuk digunakan dalam studi mekanika.^[17]

Rumus

Untuk mendeskripsikan operasi pada kuaternion ganda, ada baiknya untuk terlebih dahulu meninjau kuaternion.^[18]

Sebuah kuaternion adalah kombinasi linear dari elemen-elemen basis 1, i, j, dan k. Aturan hasil kali Hamilton untuk i, j, dan k sering dituliskan sebagai

i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1.

Hitung , untuk mendapatkan , dan atau . Sekarang karena , kita melihat bahwa hasil kali ini menghasilkan , yang menghubungkan kuaternion dengan sifat-sifat determinan.

Cara yang praktis untuk bekerja dengan hasil kali kuaternion adalah dengan menuliskan sebuah kuaternion sebagai jumlah dari sebuah skalar dan sebuah vektor (secara lebih tepat, sebuah bivektor), yaitu , di mana a₀ adalah bilangan real dan adalah vektor tiga dimensi. Operasi titik dan silang vektor kini dapat digunakan untuk mendefinisikan hasil kali kuaternion dari dan sebagai

G = A C = (a_{0} + 𝐀) (c_{0} + 𝐂) = (a_{0} c_{0} - 𝐀 \cdot 𝐂) + (c_{0} 𝐀 + a_{0} 𝐂 + 𝐀 \times 𝐂) .

Kuaternion ganda biasanya dideskripsikan sebagai kuaternion dengan bilangan ganda sebagai koefisiennya. Sebuah bilangan ganda adalah pasangan terurut . Dua bilangan ganda dijumlahkan secara per komponen dan dikalikan berdasarkan aturan . Bilangan ganda sering dituliskan dalam bentuk , di mana ε adalah unit ganda yang komutatif dengan i, j, k dan memiliki sifat .

Hasilnya adalah sebuah kuaternion ganda dapat dituliskan sebagai pasangan terurut dari kuaternion . Dua kuaternion ganda dijumlahkan secara per komponen dan dikalikan berdasarkan aturan,

\hat{A} \hat{C} = (A, B) (C, D) = (A C, A D + B C) .

Adalah praktis untuk menuliskan kuaternion ganda sebagai jumlah dari skalar ganda dan vektor ganda, , di mana dan adalah vektor ganda yang mendefinisikan sebuah ulir. Notasi ini memungkinkan kita untuk menuliskan hasil kali dua kuaternion ganda sebagai

\hat{G} = \hat{A} \hat{C} = ({\hat{a}}_{0} + 𝖠) ({\hat{c}}_{0} + 𝖢) = ({\hat{a}}_{0} {\hat{c}}_{0} - 𝖠 \cdot 𝖢) + ({\hat{c}}_{0} 𝖠 + {\hat{a}}_{0} 𝖢 + 𝖠 \times 𝖢) .

Referensi

↑ A.T. Yang, Application of Quaternion Algebra and Dual Numbers to the Analysis of Spatial Mechanisms, Ph.D thesis, Columbia University, 1963.
↑ Alfredo Valverde. Dual Quaternion Framework for Modeling of Spacecraft-Mounted Multibody Robotic Systems. Frontiers in Robotics and AI. 2018. Vol. 5. doi:10.3389/frobt.2018.00128.
↑ J. M. McCarthy. An Introduction to Theoretical Kinematics. MIT Press. 1990. hlm. 62–5. ISBN 9780262132527.
↑ Ben Kenwright. Dual-Quaternions: From Classical Mechanics to Computer Graphics and Beyond.
↑ L.F.C. Figueredo. 2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation. 2013. hlm. 1949–1955. doi:10.1109/ICRA.2013.6630836. ISBN 978-1-4673-5643-5.
↑ Bruno Vilhena Adorno. Robot Kinematic Modeling and Control Based on Dual Quaternion Algebra — Part I: Fundamentals. 2017.
↑ A. Torsello, E. Rodolà and A. Albarelli, Multiview Registration via Graph Diffusion of Dual Quaternions, Proc. of the XXIV IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 2441-2448, June 2011.
↑ Zijia Li. Motion Polynomials Admitting Factorization with Linear Factors. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry. 2025-03-31. Vol. 9 (1). hlm. 186–210. doi:10.1137/22M1520670.
↑ D. Huczala. Rational Linkages: From Poses to 3D-printed Prototypes. 2024.
↑ W. R. Hamilton, "On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra", Phil. Mag. 18, installments July 1844 – April 1850, ed. by D. E. Wilkins (2000)
↑ W. R. Hamilton, Elements of Quaternions, Longmans, Green & Co., London, 1866
↑ W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395
↑ W. K. Clifford, Mathematical Papers, (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882.
↑ J. M. McCarthy. An Introduction to Theoretical Kinematics. MIT Press. 1990. hlm. 62–5. ISBN 9780262132527.
↑ Alexander McAulay (1898) Octonions: a development of Clifford's Biquaternions, link from Internet Archive
↑ Eduard Study (1901) Geometrie der Dynamen, Teubner, Leipzig
↑ A. P. Kotelnikov (1895) Screw calculus and some applications to geometry and mechanics, Annal. Imp. Univ. Kazan
↑ O. Bottema and B. Roth, Theoretical Kinematics, North Holland Publ. Co., 1979

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29015273 (2026-03-07T01:02:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] A.T. Yang, Application of Quaternion Algebra and Dual Numbers to the Analysis of Spatial Mechanisms, Ph.D thesis, Columbia University, 1963.

[2] Alfredo Valverde. Dual Quaternion Framework for Modeling of Spacecraft-Mounted Multibody Robotic Systems. Frontiers in Robotics and AI. 2018. Vol. 5. doi:10.3389/frobt.2018.00128.

[3] J. M. McCarthy. An Introduction to Theoretical Kinematics. MIT Press. 1990. hlm. 62–5. ISBN 9780262132527.

[4] Ben Kenwright. Dual-Quaternions: From Classical Mechanics to Computer Graphics and Beyond.

[5] L.F.C. Figueredo. 2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation. 2013. hlm. 1949–1955. doi:10.1109/ICRA.2013.6630836. ISBN 978-1-4673-5643-5.

[6] Bruno Vilhena Adorno. Robot Kinematic Modeling and Control Based on Dual Quaternion Algebra — Part I: Fundamentals. 2017.

[7] A. Torsello, E. Rodolà and A. Albarelli, Multiview Registration via Graph Diffusion of Dual Quaternions, Proc. of the XXIV IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 2441-2448, June 2011.

[8] Zijia Li. Motion Polynomials Admitting Factorization with Linear Factors. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry. 2025-03-31. Vol. 9 (1). hlm. 186–210. doi:10.1137/22M1520670.

[9] D. Huczala. Rational Linkages: From Poses to 3D-printed Prototypes. 2024.

[10] W. R. Hamilton, "On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra", Phil. Mag. 18, installments July 1844 – April 1850, ed. by D. E. Wilkins (2000)

[11] W. R. Hamilton, Elements of Quaternions, Longmans, Green & Co., London, 1866

[12] W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395

[13] W. K. Clifford, Mathematical Papers, (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882.

[14] J. M. McCarthy. An Introduction to Theoretical Kinematics. MIT Press. 1990. hlm. 62–5. ISBN 9780262132527.

[15] Alexander McAulay (1898) Octonions: a development of Clifford's Biquaternions, link from Internet Archive

[16] Eduard Study (1901) Geometrie der Dynamen, Teubner, Leipzig

[17] A. P. Kotelnikov (1895) Screw calculus and some applications to geometry and mechanics, Annal. Imp. Univ. Kazan

[18] O. Bottema and B. Roth, Theoretical Kinematics, North Holland Publ. Co., 1979

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam bidang [[matematika]], '''kuaternion ganda''' adalah sebuah [[Aljabar atas lapangan|aljabar]] real berdimensi 8 yang isomorfik terhadap [[hasil kali tensor]] dari [[kuaternion]] dan [[bilangan ganda]]. Dengan demikian, entitas ini dapat dikonstruksikan dengan cara yang sama seperti kuaternion biasa, kecuali menggunakan [[bilangan ganda]] sebagai koefisien alih-alih [[bilangan real]]. Sebuah kuaternion ganda dapat direpresentasikan dalam bentuk , dengan ''A'' dan ''B'' adalah kuaternion biasa dan ''ε'' adalah unit ganda, yang memenuhi  dan komutatif terhadap setiap elemen dalam aljabar tersebut.
+[[File:Quaternion_Plaque_on_Broom_Bridge.jpg|thumb|right|280px|Quaternion Plaque on Broom Bridge]]
+Dalam bidang [[matematika]], '''kuaternion ganda''' adalah sebuah [[Aljabar atas lapangan|aljabar]] real berdimensi 8 yang isomorfik terhadap [[hasil kali tensor]] dari [[kuaternion]] dan [[bilangan ganda]]. Dengan demikian, entitas ini dapat dikonstruksikan dengan cara yang sama seperti kuaternion biasa, kecuali menggunakan [[bilangan ganda]] sebagai koefisien alih-alih [[bilangan real]]. Sebuah kuaternion ganda dapat direpresentasikan dalam bentuk , dengan ''A'' dan ''B'' adalah kuaternion biasa dan ''ε'' adalah unit ganda, yang memenuhi  dan komutatif terhadap setiap elemen dalam aljabar tersebut.
 Tidak seperti kuaternion biasa, kuaternion ganda tidak membentuk sebuah [[aljabar pembagian]].
-Dalam bidang [[mekanika]], kuaternion ganda diterapkan sebagai [[sistem bilangan]] untuk merepresentasikan [[transformasi kaku]] dalam tiga dimensi. Karena ruang kuaternion ganda berdimensi 8 dan transformasi kaku memiliki enam derajat kebebasan real (tiga untuk translasi dan tiga untuk rotasi), kuaternion ganda yang mematuhi dua batasan aljabarlah yang digunakan dalam penerapan ini. Karena kuaternion satuan tunduk pada dua batasan aljabar tersebut, kuaternion satuan menjadi standar untuk merepresentasikan transformasi kaku.
+Dalam bidang [[mekanika]], kuaternion ganda diterapkan sebagai [[sistem bilangan]] untuk merepresentasikan [[transformasi kaku]] dalam tiga dimensi.<ref>A.T. Yang, ''Application of Quaternion Algebra and Dual Numbers to the Analysis of Spatial Mechanisms'', Ph.D thesis, Columbia University, 1963.</ref> Karena ruang kuaternion ganda berdimensi 8 dan transformasi kaku memiliki enam derajat kebebasan real (tiga untuk translasi dan tiga untuk rotasi), kuaternion ganda yang mematuhi dua batasan aljabarlah yang digunakan dalam penerapan ini. Karena kuaternion satuan tunduk pada dua batasan aljabar tersebut, kuaternion satuan menjadi standar untuk merepresentasikan transformasi kaku.<ref>Alfredo Valverde. ''Dual Quaternion Framework for Modeling of Spacecraft-Mounted Multibody Robotic Systems''. ''Frontiers in Robotics and AI''. 2018. Vol. 5. doi:10.3389/frobt.2018.00128.</ref>
-Sama halnya dengan rotasi dalam ruang 3D yang dapat direpresentasikan oleh kuaternion dengan panjang satuan, gerak kaku dalam ruang 3D juga dapat direpresentasikan oleh kuaternion ganda dengan panjang satuan. Fakta ini digunakan dalam [[kinematika]] teoretis (lihat McCarthy
+Sama halnya dengan rotasi dalam ruang 3D yang dapat direpresentasikan oleh kuaternion dengan panjang satuan, gerak kaku dalam ruang 3D juga dapat direpresentasikan oleh kuaternion ganda dengan panjang satuan. Fakta ini digunakan dalam [[kinematika]] teoretis (lihat McCarthy<ref>J. M. McCarthy. [https://books.google.com/books?id=glOqQgAACAAJ An Introduction to Theoretical Kinematics]. MIT Press. 1990. hlm. 62–5. ISBN 9780262132527.</ref>
-), dan dalam berbagai penerapannya pada [[grafika komputer]] 3D, [[robotika]], serta [[visi komputer]]. [[Polinomial]] dengan koefisien yang dinyatakan dalam kuaternion ganda (norma real tak nol) juga telah digunakan dalam konteks perancangan [[pautan mekanis]].
+), dan dalam berbagai penerapannya pada [[grafika komputer]] 3D,<ref>Ben Kenwright. [https://xbdev.net/misc_demos/demos/dual_quaternions_beyond/paper.pdf Dual-Quaternions: From Classical Mechanics to Computer Graphics and Beyond].</ref> [[robotika]],<ref>L.F.C. Figueredo. ''2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation''. 2013. hlm. 1949–1955. doi:10.1109/ICRA.2013.6630836. ISBN 978-1-4673-5643-5.</ref><ref>Bruno Vilhena Adorno. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01478225 Robot Kinematic Modeling and Control Based on Dual Quaternion Algebra — Part I: Fundamentals]. 2017.</ref> serta [[visi komputer]].<ref>[http://vision.in.tum.de/_media/spezial/bib/rodola-cvpr11-2.pdf A. Torsello, E. Rodolà and A. Albarelli, ''Multiview Registration via Graph Diffusion of Dual Quaternions'', Proc. of the XXIV IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 2441-2448, June 2011.]</ref> [[Polinomial]] dengan koefisien yang dinyatakan dalam kuaternion ganda (norma real tak nol) juga telah digunakan dalam konteks perancangan [[pautan mekanis]].<ref>Zijia Li. [https://epubs.siam.org/doi/10.1137/22M1520670 Motion Polynomials Admitting Factorization with Linear Factors]. ''SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry''. 2025-03-31. Vol. 9 (1). hlm. 186–210. doi:10.1137/22M1520670.</ref><ref>D. Huczala. ''Rational Linkages: From Poses to 3D-printed Prototypes''. 2024.</ref>
 == Sejarah ==
-[[William Rowan Hamilton|W. R. Hamilton]] memperkenalkan [[kuaternion]] pada tahun 1843, dan menjelang tahun 1873 [[William Kingdon Clifford|W. K. Clifford]] memperoleh perumuman luas dari bilangan-bilangan ini yang ia sebut sebagai ''bikuaternion'', yang merupakan sebuah contoh dari apa yang sekarang disebut sebagai [[aljabar Clifford]].
+[[William Rowan Hamilton|W. R. Hamilton]] memperkenalkan [[kuaternion]]<ref>W. R. Hamilton, "On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra", Phil. Mag. 18, installments July 1844 – April 1850, ed. by D. E. Wilkins (2000)</ref><ref>[https://archive.org/details/elementsofquater00hamirich W. R. Hamilton, ''Elements of Quaternions'', Longmans, Green & Co., London, 1866]</ref> pada tahun 1843, dan menjelang tahun 1873 [[William Kingdon Clifford|W. K. Clifford]] memperoleh perumuman luas dari bilangan-bilangan ini yang ia sebut sebagai ''bikuaternion'',<ref>W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395</ref><ref>W. K. Clifford, ''Mathematical Papers'', (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882.</ref> yang merupakan sebuah contoh dari apa yang sekarang disebut sebagai [[aljabar Clifford]].<ref>J. M. McCarthy. [https://books.google.com/books?id=glOqQgAACAAJ An Introduction to Theoretical Kinematics]. MIT Press. 1990. hlm. 62–5. ISBN 9780262132527.</ref>
-Pada tahun 1898, [[Alexander McAulay]] menggunakan Ω dengan Ω<sup>2</sup> = 0 untuk menghasilkan aljabar kuaternion ganda. Namun, terminologi "oktonion" yang ia gunakan tidak bertahan karena [[oktonion]] saat ini merujuk pada aljabar yang berbeda.
+Pada tahun 1898, [[Alexander McAulay]] menggunakan Ω dengan Ω<sup>2</sup> = 0 untuk menghasilkan aljabar kuaternion ganda.<ref>Alexander McAulay (1898) [https://archive.org/details/octonionsdevelop00mcaurich Octonions: a development of Clifford's Biquaternions], link from Internet Archive</ref> Namun, terminologi "oktonion" yang ia gunakan tidak bertahan karena [[oktonion]] saat ini merujuk pada aljabar yang berbeda.
-Pada tahun 1891, [[Eduard Study]] menyadari bahwa [[aljabar asosiatif]] ini ideal untuk mendeskripsikan grup gerak dari [[ruang tiga dimensi]]. Ia lebih lanjut mengembangkan gagasan tersebut dalam ''Geometrie der Dynamen'' pada tahun 1901.
+Pada tahun 1891, [[Eduard Study]] menyadari bahwa [[aljabar asosiatif]] ini ideal untuk mendeskripsikan grup gerak dari [[ruang tiga dimensi]]. Ia lebih lanjut mengembangkan gagasan tersebut dalam ''Geometrie der Dynamen'' pada tahun 1901.<ref>Eduard Study (1901) ''Geometrie der Dynamen'', Teubner, Leipzig</ref>
 [[B. L. van der Waerden]] menyebut struktur tersebut sebagai "bikuaternion Study", satu dari tiga aljabar berdimensi delapan yang disebut sebagai [[bikuaternion]].
-Pada tahun 1895, matematikawan Rusia [[Aleksandr Kotelnikov]] mengembangkan vektor ganda dan kuaternion ganda untuk digunakan dalam studi mekanika.
+Pada tahun 1895, matematikawan Rusia [[Aleksandr Kotelnikov]] mengembangkan vektor ganda dan kuaternion ganda untuk digunakan dalam studi mekanika.<ref>A. P. Kotelnikov (1895) ''Screw calculus and some applications to geometry and mechanics'', Annal. Imp. Univ. Kazan</ref>
 == Rumus ==
-Untuk mendeskripsikan operasi pada kuaternion ganda, ada baiknya untuk terlebih dahulu meninjau [[kuaternion]].
+Untuk mendeskripsikan operasi pada kuaternion ganda, ada baiknya untuk terlebih dahulu meninjau [[kuaternion]].<ref>[https://books.google.com/books?id=f8I4yGVi9ocC O. Bottema and B. Roth, ''Theoretical Kinematics'', North Holland Publ. Co., 1979]</ref>
 Sebuah kuaternion adalah kombinasi linear dari elemen-elemen basis 1, ''i'', ''j'', dan ''k''. Aturan hasil kali Hamilton untuk ''i'', ''j'', dan ''k'' sering dituliskan sebagai
@@ Baris 35: / Baris 37: @@
 == Referensi ==
+<references />
+== Sumber dan atribusi ==
+Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuaternion+ganda&oldid=29015273 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29015273 (2026-03-07T01:02:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
-== Sumber dan atribusi ==
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
-Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuaternion+ganda&oldid=29015273 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29015273 (2026-03-07T01:02:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Maintenance script (bicara | kontrib)

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.00

Sejarah

Rumus

Referensi

Sumber dan atribusi