Bilangan rasional: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.04

Bilangan rasional () adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat $a$ dan $b$ , dengan syarat $b$ tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai $ℚ$ ,^[1] yang berasal dari kata bahasa Jerman, quotient, yang diterjemahkan sebagai "rasio".^[2] Sebagai contoh, $\frac{1}{2}$ adalah bilangan rasional, sedangkan $\sqrt{5}$ dan $π$ bukan. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan

ℚ = {\frac{a}{b} | a, b, \in ℤ, b \neq 0}

.

Dengan memisalkan penyebut adalah satu dan pembilang adalah bilangan bulat sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, menjadi himpunan bilangan bulat.^[3]

Dalam teori himpunan, himpunan bilangan rasional adalah subhimpunan dari himpunan bilangan real, yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional.^[4] Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan bilangan bulat.^[5]

Notasi himpunan

Beragam notasi himpunan rasional $ℚ$ , yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai $ℚ_{+}$ dan bilangan rasional negatif sebagai $ℚ_{-}$ .^[6] Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan aljabar, yang dinotasikan dengan lambang $\overline{ℚ}$ ,^[7] medan bilangan p-adik, dinotasikan $ℚ_{p}$ .^[8]

Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu $ℚ$ , juga memiliki kaitan dengan $ℝ$ , himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan bilangan irasional yang dinotasikan sebagai $ℝ ∖ ℚ$ .^[9]

Sifat aljabar

Berikut adalah sifat-sifat bilangan rasional, antara lain sebagai berikut.

	Penambahan	Perkalian
Ketertutupan	$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ adalah bilangan rasional^[10]	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ adalah bilangan rasional^[11]
Asosiatif	$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{p}{q} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{p}{q})$ ^[12]	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ ^[13]
Komutatif	$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$ ^[14]	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{d}{c} \cdot \frac{a}{b}$ ^[15]
Elemen identitas	$\frac{a}{b} + \frac{0}{1} = \frac{a}{b}$ ^[16]	$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}$ ^[17]
Elemen invers	$\frac{a}{b} + (- \frac{a}{b}) = 0$ ^[18]	$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$ ^[19]
Distributif	$\frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} + \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q}$ ^[20]

Pecahan tak tersederhanakan

Meskipun demikian, bilangan rasional dapat berupa pecahan tak tersederhanakan, dengan setiap pembilang dan penyebut tidak dapat disederhanakan lagi. Sebagai contoh, $\frac{3}{8}$ adalah salah satu contoh pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi karena $3$ bukan merupakan faktor dari $8$ .

Lihat juga

Referensi

↑ Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.
↑ Eric W. Weisstein. Rational Number. mathworld.wolfram.com.
↑ Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.
↑ Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond. www.varsitytutors.com.
↑ Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers. www.wtamu.edu.
↑ Set of Rational Numbers Lexique de mathématique. 2018-10-12.
↑ Eric W. Weisstein. Algebraic Number. mathworld.wolfram.com.
↑ Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.
↑ Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
↑ Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27987204 (2025-10-15T21:52:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.

[2] Eric W. Weisstein. Rational Number. mathworld.wolfram.com.

[3] Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.

[4] Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond. www.varsitytutors.com.

[5] Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers. www.wtamu.edu.

[6] Set of Rational Numbers Lexique de mathématique. 2018-10-12.

[7] Eric W. Weisstein. Algebraic Number. mathworld.wolfram.com.

[8] Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.

[9] Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.

[10] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[11] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[12] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[13] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[14] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[15] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[16] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[17] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[18] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[19] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[20] Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-'''Bilangan rasional''' () adalah [[bilangan]] yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua [[bilangan bulat]] <math>a</math> dan <math>b</math>, dengan syarat <math>b</math> tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai <math>\Q</math>, yang berasal dari kata [[bahasa Jerman]], ''quotient'', yang diterjemahkan sebagai "rasio". Sebagai contoh, <math display="inline">\frac{1}{2}</math> adalah bilangan rasional, sedangkan <math>\sqrt{5}</math> dan <math>\pi</math> bukan. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan
+'''Bilangan rasional''' () adalah [[bilangan]] yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua [[bilangan bulat]] <math>a</math> dan <math>b</math>, dengan syarat <math>b</math> tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai <math>\Q</math>,<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/ Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault]. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.</ref> yang berasal dari kata [[bahasa Jerman]], ''quotient'', yang diterjemahkan sebagai "rasio".<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html Rational Number]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref> Sebagai contoh, <math display="inline">\frac{1}{2}</math> adalah bilangan rasional, sedangkan <math>\sqrt{5}</math> dan <math>\pi</math> bukan. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan
 :<math>\Q = \left\{\left.\frac{a}{b} \right| a,b, \in \Z, b \ne 0 \right\}</math>.
-Dengan memisalkan penyebut adalah satu dan pembilang adalah [[bilangan bulat]] sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, menjadi himpunan bilangan bulat.
+Dengan memisalkan penyebut adalah satu dan pembilang adalah [[bilangan bulat]] sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, menjadi himpunan bilangan bulat.<ref>Jusmawati, S.Pd, M.Pd, [https://osf.io/25c8k/download/?format=pdf ''Bilangan Rasional''], hlm. 6.</ref>
-Dalam [[teori himpunan]], himpunan bilangan rasional adalah [[subhimpunan]] dari himpunan [[bilangan real]], yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan [[bilangan bulat]].
+Dalam [[teori himpunan]], himpunan bilangan rasional adalah [[subhimpunan]] dari himpunan [[bilangan real]], yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional.<ref>[https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/number-systems Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond]. ''www.varsitytutors.com''.</ref> Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan [[bilangan bulat]].<ref>[https://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut3_sets.htm Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers]. ''www.wtamu.edu''.</ref>
 == Notasi himpunan ==
+Beragam notasi himpunan rasional <math>\Q</math>, yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai <math>\Q_+</math> dan bilangan rasional negatif sebagai <math>\Q_-</math>.<ref>[https://lexique.netmath.ca/en/set-of-rational-numbers/ Set of Rational Numbers Lexique de mathématique]. 2018-10-12.</ref> Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu [[bilangan aljabar]], yang dinotasikan dengan lambang <math>\overline{\Q}</math>,<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumber.html Algebraic Number]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref> [[Bilangan p-adik|medan bilangan ''p''-adik]], dinotasikan <math>\Q_p</math>.<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/ Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault]. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.</ref>
-Beragam notasi himpunan rasional <math>\Q</math>, yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai <math>\Q_+</math> dan bilangan rasional negatif sebagai <math>\Q_-</math>. Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu [[bilangan aljabar]], yang dinotasikan dengan lambang <math>\overline{\Q}</math>, [[Bilangan p-adik|medan bilangan ''p''-adik]], dinotasikan <math>\Q_p</math>.
+Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu <math>\Q</math>, juga memiliki kaitan dengan <math>\R</math>, himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan [[bilangan irasional]] yang dinotasikan sebagai <math>\R \setminus \Q</math>.<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/ Comprehensive List of Algebra Symbols Math Vault]. 2020-03-25EDT16:23:50-04:00.</ref>
-Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu <math>\Q</math>, juga memiliki kaitan dengan <math>\R</math>, himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan [[bilangan irasional]] yang dinotasikan sebagai <math>\R \setminus \Q</math>.
 == Sifat aljabar ==
 Berikut adalah sifat-sifat bilangan rasional, antara lain sebagai berikut.
+{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
+|
+|'''Penambahan'''
+|'''Perkalian'''
+|-
+|[[Ketertutupan (matematika)|Ketertutupan]]
+|<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d}</math> adalah bilangan rasional<ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}</math> adalah bilangan rasional<ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|-
+|[[Asosiatif]]
+|<math>\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{p}{q} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{p}{q}\right)</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|<math>a\times (b\times c) = (a\times b) \times c</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|-
+|[[Komutatif]]
+|<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{d}{c} \cdot \frac{a}{b}</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|-
+|Elemen identitas
+|<math>\frac{a}{b} + \frac{0}{1} = \frac{a}{b}</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|-
+|Elemen invers
+|<math>\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|-
+|[[Distributif]]
+| colspan="2" align="center" |<math>\frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{p}{q}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q}</math><ref>[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|}
 == Pecahan tak tersederhanakan ==
 Meskipun demikian, bilangan rasional dapat berupa [[pecahan taktereduksi|pecahan tak tersederhanakan]], dengan setiap pembilang dan penyebut tidak dapat disederhanakan lagi. Sebagai contoh, <math display="inline">\frac{3}{8}</math> adalah salah satu contoh pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi karena <math>3</math> bukan merupakan faktor dari <math>8</math>.
 == Lihat juga ==
 * [[Bilangan bulat]]
 * [[Bilangan irasional]]
@@ Baris 28: / Baris 52: @@
 == Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+rasional&oldid=27987204 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27987204 (2025-10-15T21:52:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->