Tanpa mengurangi keumuman: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.04

Tanpa mengurangi keumuman (, sering kali disingkat WLOG atau WOLOG)^[1] adalah kalimat yang cukup sering digunakan dalam matematika. Istilah tersebut digunakan untuk menyatakan bahwa asumsi yang digunakan telah dipilih secara sembarang (sehingga premisnya menjadi sebuah kasus khusus yang lebih mudah diselesaikan), tetapi hal tersebut tidak mengubah validitas pembuktiannya secara keseluruhan. Jika terdapat kasus lain, maka pengerjaannya kurang lebih dapat ditangani dengan cara serupa seperti apa yang telah dipaparkan sebelumnya.^[2] Akibatnya, setelah suatu kasus terbukti kebenarannya, maka sangat mudah untuk mengadaptasinya untuk membuktikan kesimpulan di semua kasus lainnya.

Dalam banyak kasus, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" dimungkinkan akibat adanya suatu simetri.^[3] Sebagai contoh, diketahui $x$ dan $y$ adalah suatu bilangan riil yang memenuhi suatu sifat $P (x, y)$ (misalnya, $P (x, y)$ adalah proposisi $max (x, y) - min (x, y) = | x - y |$ ). Jika $P (x, y)$ bersifat simetris (atau dengan kata lain, $P (x, y)$ ekuivalen dengan $P (y, x)$ ), maka untuk membuktikan sifat $P (x, y)$ yang akan berlaku untuk setiap bilangan riil $x$ dan $y$ , dapat diasumsikan bahwa $x \leq y$ . Asumsi ini dapat dilakukan, sebab jika kasus $x \leq y$ telah terbukti, kasus lainnya dapat diselesaikan dengan menukar label $x$ dan $y$ . Oleh karena $P (x, y)$ bersifat simetris, maka terbukti bahwa sifat $P (x, y)$ berlaku untuk setiap kasus.

Di sisi lain, jika tidak terdapat sifat simetri (atau bentuk ekuivalen lainnya), maka penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" tidak dibenarkan dan dapat mengarah kepada pembuktian menggunakan contoh – suatu kesesatan logika dalam membuktikan sebuah klaim dengan membuktikan suatu contoh yang tidak representatif.^[4]

Contoh

Perhatikan teorema berikut (yang merupakan contoh penerapan prinsip rumah burung) :

dengan bukti sebagai berikut:

Argumen di atas termasuk valid, sebab alasan yang sama persis dapat diterapkan jika digunakan asumsi alternatif (yaitu, objek pertama dicat biru), atau bisa juga penggunaan kata "merah" dan "biru" ditukar dalam kalimat pembuktiannya. Sehingga, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" termasuk valid dalam kasus ini.

Lihat juga

Up to (belum tahu terjemahannya)
Glosarium Matematika

Pranala luar

"Without Loss of Generality" (tanpa mengurangi keumuman) karya John Harrison - Diskusi mengenai proses memformalkan argumen yang menggunakan "tanpa mengurangi keumuman" pada automated theorem prover (pembukti teorema otomatis).

Referensi

↑ Without Loss of Generality. Art of Problem Solving.
↑ Gary Chartrand. Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics. Pearson/Addison Wesley. 2008. hlm. 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.
↑ Edsger W. Dijkstra. Mathematical Methods in Program Development. Springer. 1997. Vol. 158. hlm. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.
↑ An Acyclic Inequality in Three Variables. www.cut-the-knot.org.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29457573 (2026-07-14T11:25:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Without Loss of Generality. Art of Problem Solving.

[2] Gary Chartrand. Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics. Pearson/Addison Wesley. 2008. hlm. 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.

[3] Edsger W. Dijkstra. Mathematical Methods in Program Development. Springer. 1997. Vol. 158. hlm. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.

[4] An Acyclic Inequality in Three Variables. www.cut-the-knot.org.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-'''''Tanpa mengurangi keumuman''''' (, sering kali [[Singkatan|disingkat]] '''WLOG''' atau '''WOLOG''') adalah kalimat yang cukup sering digunakan dalam [[matematika]]. Istilah tersebut digunakan untuk menyatakan bahwa asumsi yang digunakan telah dipilih secara sembarang (sehingga [[premis]]nya menjadi sebuah kasus khusus yang lebih mudah diselesaikan), tetapi hal tersebut tidak mengubah validitas [[Pembuktian matematika|pembuktiannya]] secara keseluruhan. Jika terdapat kasus lain, maka pengerjaannya kurang lebih dapat ditangani dengan cara serupa seperti apa yang telah dipaparkan sebelumnya. Akibatnya, setelah suatu kasus terbukti kebenarannya, maka sangat mudah untuk mengadaptasinya untuk membuktikan kesimpulan di semua kasus lainnya.
+'''''Tanpa mengurangi keumuman''''' (, sering kali [[Singkatan|disingkat]] '''WLOG''' atau '''WOLOG''')<ref>[https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Without_loss_of_generality Without Loss of Generality]. ''Art of Problem Solving''.</ref> adalah kalimat yang cukup sering digunakan dalam [[matematika]]. Istilah tersebut digunakan untuk menyatakan bahwa asumsi yang digunakan telah dipilih secara sembarang (sehingga [[premis]]nya menjadi sebuah kasus khusus yang lebih mudah diselesaikan), tetapi hal tersebut tidak mengubah validitas [[Pembuktian matematika|pembuktiannya]] secara keseluruhan. Jika terdapat kasus lain, maka pengerjaannya kurang lebih dapat ditangani dengan cara serupa seperti apa yang telah dipaparkan sebelumnya.<ref>Gary Chartrand. [https://archive.org/details/mathematicalproo0000gary Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics]. Pearson/Addison Wesley. 2008. hlm. [https://archive.org/details/mathematicalproo0000gary/page/80 80]–81. ISBN 978-0-321-39053-0.</ref> Akibatnya, setelah suatu kasus terbukti kebenarannya, maka sangat mudah untuk mengadaptasinya untuk membuktikan kesimpulan di semua kasus lainnya.
-Dalam banyak kasus, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" dimungkinkan akibat adanya suatu [[simetri]]. Sebagai contoh, diketahui <math>x</math> dan <math>y</math> adalah suatu [[bilangan riil]] yang memenuhi suatu sifat <math>P(x, \, y)</math> (misalnya, <math>P(x, \, y)</math> adalah [[proposisi]] <math>\max (x, \, y) - \min (x, \, y) = \left| x - y \right|</math>). Jika <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris (atau dengan kata lain, <math>P(x, \, y)</math> ekuivalen dengan <math>P(y, \, x)</math>), maka untuk membuktikan sifat <math>P(x, \, y)</math> yang akan berlaku untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math> dan <math>y</math>, dapat diasumsikan bahwa <math>x \leq y</math>. Asumsi ini dapat dilakukan, sebab jika kasus <math>x \leq y</math> telah terbukti, kasus lainnya dapat diselesaikan dengan menukar label <math>x</math> dan <math>y</math>. Oleh karena <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris, maka terbukti bahwa sifat <math>P(x, \, y)</math> berlaku untuk setiap kasus.
+Dalam banyak kasus, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" dimungkinkan akibat adanya suatu [[simetri]].<ref>Edsger W. Dijkstra. [https://www.cs.utexas.edu/~EWD/ewd12xx/EWD1223.PDF Mathematical Methods in Program Development]. Springer. 1997. Vol. 158. hlm. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.</ref> Sebagai contoh, diketahui <math>x</math> dan <math>y</math> adalah suatu [[bilangan riil]] yang memenuhi suatu sifat <math>P(x, \, y)</math> (misalnya, <math>P(x, \, y)</math> adalah [[proposisi]] <math>\max (x, \, y) - \min (x, \, y) = \left| x - y \right|</math>). Jika <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris (atau dengan kata lain, <math>P(x, \, y)</math> ekuivalen dengan <math>P(y, \, x)</math>), maka untuk membuktikan sifat <math>P(x, \, y)</math> yang akan berlaku untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math> dan <math>y</math>, dapat diasumsikan bahwa <math>x \leq y</math>. Asumsi ini dapat dilakukan, sebab jika kasus <math>x \leq y</math> telah terbukti, kasus lainnya dapat diselesaikan dengan menukar label <math>x</math> dan <math>y</math>. Oleh karena <math>P(x, \, y)</math> bersifat simetris, maka terbukti bahwa sifat <math>P(x, \, y)</math> berlaku untuk setiap kasus.
-Di sisi lain, jika tidak terdapat sifat simetri (atau bentuk ekuivalen lainnya), maka penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" tidak dibenarkan dan dapat mengarah kepada [[pembuktian menggunakan contoh]] – suatu [[kesesatan formal|kesesatan logika]] dalam membuktikan sebuah klaim dengan membuktikan suatu contoh yang tidak representatif.
+Di sisi lain, jika tidak terdapat sifat simetri (atau bentuk ekuivalen lainnya), maka penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" tidak dibenarkan dan dapat mengarah kepada [[pembuktian menggunakan contoh]] – suatu [[kesesatan formal|kesesatan logika]] dalam membuktikan sebuah klaim dengan membuktikan suatu contoh yang tidak representatif.<ref>[https://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/AcyclicInequalityInThreeVariables.shtml An Acyclic Inequality in Three Variables]. ''www.cut-the-knot.org''.</ref>
 == Contoh ==
 Perhatikan [[teorema]] berikut (yang merupakan contoh penerapan [[prinsip rumah burung]]) :
 dengan bukti sebagai berikut:
 Argumen di atas termasuk valid, sebab alasan yang sama persis dapat diterapkan jika digunakan asumsi alternatif (yaitu, objek pertama dicat biru), atau bisa juga penggunaan kata "merah" dan "biru" ditukar dalam kalimat pembuktiannya. Sehingga, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" termasuk valid dalam kasus ini.
@@ Baris 18: / Baris 15: @@
 * [[Up to]] (belum tahu terjemahannya)
 * [[Glosarium Matematika]]
-== Referensi ==
 == Pranala luar ==
 *
 *  [http://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/papers/wlog.pdf "Without Loss of Generality"] (tanpa mengurangi keumuman) karya John Harrison - Diskusi mengenai proses memformalkan argumen yang menggunakan "tanpa mengurangi keumuman" pada ''automated theorem prover'' (pembukti teorema otomatis).
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tanpa+mengurangi+keumuman&oldid=29457573 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29457573 (2026-07-14T11:25:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)