Matriks normal: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.05

Dalam matematika, suatu matriks persegi $𝐀$ dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat $𝐀^{*}$ ; secara matematis dinyatakan sebagai ${𝐀 𝐀}^{*} = 𝐀^{*} 𝐀$ . Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Definisi

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan $𝐀$ adalah matriks kompleks berukuran $n \times n$ , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$𝐀$ adalah matriks normal.
$𝐀$ dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari $𝐀$ yang membangun basis ortonormal bagi $ℂ^{n}$ .
$‖ A 𝐱 ‖ = ‖ A^{*} 𝐱 ‖$ untuk sembarang .
Norma Frobenius dari $𝐀$ dapat dihitung dari nilai-nilai eigen $𝐀$ , yakni $tr (A^{*} A) = \sum_{j} {| λ_{j} |}^{2}$ .
Bagian Hermite $\frac{1}{2} (𝐀 + 𝐀^{*})$ dan bagian skew-Hermitian $\frac{1}{2} (𝐀 - 𝐀^{*})$ dari $𝐀$ saling komutatif.
$𝐀^{*}$ suatu polinomial (dengan derajat maksimum $n - 1$ ) dalam $𝐀$ .^[1]
$𝐀^{*} = 𝐀 𝐔$ untuk suatu matriks uniter $𝐀^{*} = 𝐀 𝐔$ .^[2]
$𝐔$ dan $𝐏$ saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub $𝐀 = 𝐔 𝐏$ dengan suatu matriks uniter $𝐔$ dan suatu matriks semidefinit positif $𝐏$ .
$𝐀$ saling komutatif dengan suatu matriks normal $𝐍$ yang nilai-nilai eigennya yang unik.
$σ_{i} = | λ_{i} |$ untuk semua $1 \leq i \leq n$ , dengan $σ_{1} \geq \dots \geq σ_{n}$ dan $| λ_{1} | \geq \dots \geq | λ_{n} |$ masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari $𝐀$ .^[3]

Kasus khusus

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

A A^{*} = [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}] = A^{*} A .

Sumber

.

ja:正規作用素

Referensi

↑ Bukti: Jika \mathbf A normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial P sedemikian sehingga \overline{\lambda_j} = P(\lambda_j) , dengan \lambda_j adalah nilai-nilai eigen dari \mathbf A .
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29525038 (2026-08-04T15:05:45Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Bukti: Jika \mathbf A normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial P sedemikian sehingga \overline{\lambda_j} = P(\lambda_j) , dengan \lambda_j adalah nilai-nilai eigen dari \mathbf A .

[2] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[3] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 10: / Baris 10: @@
 # [[Norma Frobenius]] dari <math>\mathbf A</math> dapat dihitung dari nilai-nilai eigen <math>\mathbf A</math>, yakni <math display="inline"> \operatorname{tr} \left(A^* A\right) = \sum_j \left| \lambda_j \right|^2 </math>.
 # Bagian [[Matriks Hermite|Hermite]] <math>\tfrac12(\mathbf A+ \mathbf A^*)</math> dan bagian ''skew-Hermitian'' <math>\tfrac12(\mathbf A- \mathbf A^*)</math> dari <math>\mathbf A</math> saling komutatif.
-# <math>\mathbf A^*</math> suatu polinomial (dengan derajat maksimum <math>n-1</math>) dalam <math>\mathbf A</math>.
+# <math>\mathbf A^*</math> suatu polinomial (dengan derajat maksimum <math>n-1</math>) dalam <math>\mathbf A</math>.<ref>Bukti: Jika \mathbf A normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial P sedemikian sehingga \overline{\lambda_j} = P(\lambda_j) , dengan \lambda_j adalah nilai-nilai eigen dari \mathbf A .</ref>
-# <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math> untuk suatu matriks uniter <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math>.
+# <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math> untuk suatu matriks uniter <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
 # <math>\mathbf U</math> dan <math>\mathbf P</math> saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki [[dekomposisi kutub]] <math>\mathbf A = \mathbf {UP}</math> dengan suatu matriks uniter <math>\mathbf U</math> dan suatu [[Matriks definit positif|matriks semidefinit positif]] <math>\mathbf P</math>.
 # <math>\mathbf A</math> saling komutatif dengan suatu matriks normal <math>\mathbf N</math> yang nilai-nilai eigennya yang unik.
-# <math>\sigma_i = |\lambda_i|</math> untuk semua <math>1 \leq i \leq n</math>, dengan <math>\sigma_1 \geq \dots \geq \sigma_n</math> dan <math>|\lambda_1| \geq \dots \geq |\lambda_n|</math> masing-masing adalah [[Nilai singular|nilai-nilai singular]] dan nilai-nilai eigen dari <math>\mathbf A</math>.
+# <math>\sigma_i = |\lambda_i|</math> untuk semua <math>1 \leq i \leq n</math>, dengan <math>\sigma_1 \geq \dots \geq \sigma_n</math> dan <math>|\lambda_1| \geq \dots \geq |\lambda_n|</math> masing-masing adalah [[Nilai singular|nilai-nilai singular]] dan nilai-nilai eigen dari <math>\mathbf A</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
 == Kasus khusus ==
@@ Baris 24: / Baris 24: @@
 : <math>AA^* = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = A^*A.</math>
-== Catatan kaki ==
-== Referensi ==
 == Sumber ==
 * .
 *
 [[ja:正規作用素]]
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525038 (2026-08-04T15:05:45Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->