Antiisomorfisme: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 09.04

Dalam cabang dari matematika bernama teori kategori, antiisomorfisme (atau anti-isomorfisme) antara himpunan terstruktur A dan B adalah isomorfisme dari A ke lawan dari B. Ini juga ekuivalen dengan pernyataan bahwa kedua himpunan terstruktur tersebut isomorfisme dari lawan dari A ke B.^[1] Himpunan-himpunan tersebut dikatakan anitiisomorfik jika terdapat antiisomorfisme antara dua struktur. Secara intuitif, mengatakan bahwa dua struktur matematika adalah antiisomorfik berarti bahwa kedua struktur tersebut pada dasarnya berlawanan satu sama lain. Konsep ini sangat berguna ketika diterapkan pada gelanggang.

Contoh sederhana

Misalkan A adalah relasi biner (atau graf berarah) yang terdiri dari anggota {1,2,3} dan relasi biner $\to$ yang didefinisikan sebagai berikut:

$1 \to 2,$
$1 \to 3,$
$2 \to 1.$

Misalkan B adalah himpunan relasi biner yang terdiri dari anggota {a,b,c} dan relasi biner $\Rightarrow$ yang didefinisikan sebagai berikut:

$b \Rightarrow a,$
$c \Rightarrow a,$
$a \Rightarrow b .$

Perhatikan bahwa lawan dari B (dilambangkan B^op) adalah himpunan dari anggota yang sama dengan relasi biner yang berlawanan $\Leftarrow$ (yaitu, membalikkan semua busur dari grafik berarah):

$b \Leftarrow a,$
$c \Leftarrow a,$
$a \Leftarrow b .$

Jika a, b, dan c diganti dengan 1, 2, dan 3, maka dapat dilihat bahwa masing-masing aturan pada B^op sama dengan beberapa aturan A. Hal ini mengartikan bahwa isomorfisme $ϕ$ dapat didefinisikan dari A ke B^op dengan $ϕ (1) = a, ϕ (2) = b, ϕ (3) = c$ . $ϕ$ merupakan antiisomorfisme antara A dan B.

Anti-isomorfisme gelanggang

Dengan mengkhususkan bahasa umum dari teori kategori mengenai topik aljabar gelanggang, maka diperoleh pernyataan berikut: Misalkan R dan S adalah gelanggang dan f: R → S adalah pemetaan bijeksi. Maka f adalah anti-isomorfisme gelanggang,^[2] jika

f (x +_{R} y) = f (x) +_{S} f (y) dan f (x \cdot_{R} y) = f (y) \cdot_{S} f (x) untuk semua x, y \in R .

Jika R = S, maka f adalah anti-automorphism gelanggang.

Contoh anti-automorfisme gelanggang dinyatakan sebagai pemetaan konjugat kuaternion:^[3]

x_{0} + x_{1} 𝐢 + x_{2} 𝐣 + x_{3} 𝐤 \mapsto x_{0} - x_{1} 𝐢 - x_{2} 𝐣 - x_{3} 𝐤 .

Catatan

Referensi

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 21242675 (2022-06-15T15:04:01Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[2] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[3] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam cabang dari [[matematika]] bernama [[teori kategori]], '''antiisomorfisme''' (atau '''anti-isomorfisme''') antara [[Struktur matematika|himpunan terstruktur]] ''A'' dan ''B'' adalah [[isomorfisme]] dari ''A'' ke [[Dual (teori kategori)|lawan]] dari ''B''. Ini juga ekuivalen dengan pernyataan bahwa kedua himpunan terstruktur tersebut isomorfisme dari lawan dari ''A'' ke ''B''. Himpunan-himpunan tersebut dikatakan ''anitiisomorfik'' jika terdapat antiisomorfisme antara dua struktur. Secara intuitif, mengatakan bahwa dua struktur matematika adalah ''antiisomorfik'' berarti bahwa kedua struktur tersebut pada dasarnya berlawanan satu sama lain. Konsep ini sangat berguna ketika diterapkan pada [[gelanggang (matematika)|gelanggang]].
+Dalam cabang dari [[matematika]] bernama [[teori kategori]], '''antiisomorfisme''' (atau '''anti-isomorfisme''') antara [[Struktur matematika|himpunan terstruktur]] ''A'' dan ''B'' adalah [[isomorfisme]] dari ''A'' ke [[Dual (teori kategori)|lawan]] dari ''B''. Ini juga ekuivalen dengan pernyataan bahwa kedua himpunan terstruktur tersebut isomorfisme dari lawan dari ''A'' ke ''B''.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Antiisomorfisme&oldid=21242675 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Himpunan-himpunan tersebut dikatakan ''anitiisomorfik'' jika terdapat antiisomorfisme antara dua struktur. Secara intuitif, mengatakan bahwa dua struktur matematika adalah ''antiisomorfik'' berarti bahwa kedua struktur tersebut pada dasarnya berlawanan satu sama lain. Konsep ini sangat berguna ketika diterapkan pada [[gelanggang (matematika)|gelanggang]].
 ==Contoh sederhana==
@@ Baris 20: / Baris 20: @@
 ==Anti-isomorfisme gelanggang==
-Dengan mengkhususkan bahasa umum dari teori kategori mengenai topik aljabar gelanggang, maka diperoleh pernyataan berikut: Misalkan ''R'' dan ''S'' adalah gelanggang dan ''f'': ''R'' → ''S'' adalah pemetaan [[bijeksi]]. Maka ''f'' adalah ''anti-isomorfisme gelanggang'', jika
+Dengan mengkhususkan bahasa umum dari teori kategori mengenai topik aljabar gelanggang, maka diperoleh pernyataan berikut: Misalkan ''R'' dan ''S'' adalah gelanggang dan ''f'': ''R'' → ''S'' adalah pemetaan [[bijeksi]]. Maka ''f'' adalah ''anti-isomorfisme gelanggang'',<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Antiisomorfisme&oldid=21242675 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> jika
 :<math>f(x +_R y) = f(x) +_S f(y) \ \ \ \text{dan} \ \ \ f(x \cdot_R y) = f(y) \cdot_S f(x) \ \ \ \text{untuk semua } x,y \in R.</math>
 Jika ''R'' = ''S,'' maka ''f'' adalah ''anti-automorphism'' gelanggang.
-Contoh anti-automorfisme gelanggang dinyatakan sebagai pemetaan konjugat [[kuaternion]]:
+Contoh anti-automorfisme gelanggang dinyatakan sebagai pemetaan konjugat [[kuaternion]]:<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Antiisomorfisme&oldid=21242675 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
 :<math> x_0 + x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf{j} + x_3 \mathbf{k} \ \ \mapsto \ \ x_0 - x_1 \mathbf{i} - x_2 \mathbf{j} - x_3 \mathbf{k}.</math>
 ==Catatan==
+== Referensi ==
-==Referensi==
+<references />
-*
-*
-*
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Antiisomorfisme&oldid=21242675 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 21242675 (2022-06-15T15:04:01Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->