Kaidah pencacahan: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 23.03

Dalam matematika, khususnya di cabang matematika kombinatorik, kaidah pencacahan merupakan aturan untuk menghitung banyaknya susunan objek-objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya.^[1] Kaidah pencacahan biasanya meliputi aturan dasar menghitung (seperti aturan penjumlahan dan aturan perkalian), prinsip inklusi-eksklusi, pembuktian bijektif, perhitungan ganda, prinsip rumah burung, fungsi pembangkit, dan relasi rekurensi.

Aturan dasar menghitung

Aturan dasar menghitung meliputi kajian dasar dalam cabang matematika (yaitu kombinatorika), di antaranya aturan penjumlahan dan aturan perkalian.^[2]

Aturan penjumlahan

Aturan penjumlahan (atau aturan dasar menambah) adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada himpunan $A$ dan $B$ dengan anggota himpunan adalah $a$ dan $b$ dan bila kedua himpunan adalah saling lepas, maka banyaknya cara mengambil satu anggota tersebut adalah dengan cara menjumlahkan anggota pada kedua himpunan, yakni $a + b$ .

Lebih formalnya, bila $S_{1}, \dots, S_{n}$ himpunan lepas berpasangan, maka aturan penjumlahan dapat dirumuskan sebagai

| S_{1} | + | S_{2} | + \dots + | S_{n} | = | S_{1} \cup S_{2} \cup \dots \cup S_{n} |

^[3]^[4]

atau disingkat sebagai

\sum_{i = 1}^{n} | S_{i} | = | ⋃_{i = 1}^{n} S_{i} |

.

Untuk memahami lebih lanjut, perhatikan contoh berikut: diberikan kelima bangun datar yang berbeda, yakni persegi, lingkaran, segitiga, persegi panjang, dan trapesium. Maka, banyaknya cara mengambil salah satu dari kelima bangun datar tersebut adalah

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

.

Aturan perkalian

Aturan perkalian (atau aturan dasar mengalikan) adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada $n (A)$ cara untuk $A$ dan $n (B)$ cara untuk $B$ , maka banyaknya cara untuk $A$ dan $B$ adalah $n (A) \cdot n (B)$ . Sebagai permisalan, pada gambar di samping, diketahui $A$ memiliki tiga elemen, yakni ${1, 2, 3}$ . Hal yang serupa untuk $B$ yang memiliki tiga elemen, yakni ${1, 2, 3}$ . Maka, banyaknya cara untuk mengkombinasikan ${A, B}$ dan ${1, 2, 3}$ adalah $3 \times 2 = 6$ cara.

Aturan perkalian dalam teori himpunan dapat dianggap sebagai hasilkali Kartesius^[5] (dilambangkan $\times$ ), yakni

| S_{1} | \cdot | S_{2} | \dots | S_{n} | = | S_{1} \times S_{2} \times \dots \times S_{n} |

.

Prinsip inklusi-eksklusi

Prinsip inklusi-eksklusi merupakan perluasan diagram Venn yang melibatkan himpunan-himpunan. Prinsip ini kemudian diaplikasi secara variatif.^[6] Untuk diberikan suatu himpunan $A$ dan $B$ , prinsip inklusi-eksklusi dirumuskan sebagai

| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |

.

Pembuktian bijektif

Pembuktian bijektif ialah teorema yang mendefinisikan jika fungsi $f$ yang memetakan himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah bijektif, maka diperoleh bahwa $| A | = | B |$ .

Perhitungan ganda

Perhitungan ganda merupakan teknik pembuktian kombinatorial. Teknik pembuktian ini digunakan untuk membuktikan persamaan dua ekspresi dengan menunjukkan bahwa kedua ekspresi adalah dua cara menghitung kardinalitas sebuah himpunan yang sama.^[7]

Prinsip rumah burung

Prinsip rumah burung atau prinsip sarang merpati atau prinsip sangkar merpati menyatakan bahwa untuk dua bilangan asli $m$ dan $n$ , $n > m$ , jika $n$ burung ditaruh di dalam $m$ rumah atau kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi lebih dari satu burung.

Fungsi pembangkit

Fungsi pembangkit merupakan suatu fungsi yang berbentuk deret kuasa. Dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel $x$ di dalam bentuk formal deret kuasa, fungsi ini dapat merepresentasikan barisan secara efektif.^[8] Fungsi pembangkit pada barisan $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ dapat dirumuskan sebagai

G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

.

Relasi rekurensi

Relasi rekurensi adalah suatu persamaan yang bergantung pada suku-suku sebelumnya. Lebih umumnya, relasi rekurensi pada suku $a_{n}$ (di mana $n$ bilangan bulat positif) bergantung pada suku-suku sebelumnya, yakni $a_{n - 1}, a_{n - 2}, \dots, a_{1}$ .^[9]

Referensi

↑ Asmar Achmad, Modul Matematika Kelas XII KD 3.3, hlm. 6
↑ Made Astawan. Aturan Dasar Menghitung. Ilmu Hitung. 2016-07-22.
↑ K. T. Leung. Fundamental Concepts of Mathematics. Hong Kong University Press. 1988-04-01. ISBN 978-962-209-181-8.
↑ R. C. Penner. Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. 1999. ISBN 978-981-02-4088-2.
↑ Johnston, William, and Alex McAllister. A transition to advanced mathematics. Oxford Univ. Press, 2009. Section 5.1, hlm. 365
↑ Materi, Soal, dan Pembahasan - Prinsip Inklusi-Eksklusi - Mathcyber1997.
↑ Mamat Rahmat, Metode Double Counting untuk Pembuktian Identitas Matematika
↑ Mohammad Mahfuzh Shiddiq. Fungsi Pembangkit - Teknik Menghitung. haimatematika.
↑ Relasi Rekurensi. emodul-matematika.fmipa.unej.ac.id.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28449388 (2025-11-13T06:43:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Asmar Achmad, Modul Matematika Kelas XII KD 3.3, hlm. 6

[2] Made Astawan. Aturan Dasar Menghitung. Ilmu Hitung. 2016-07-22.

[3] K. T. Leung. Fundamental Concepts of Mathematics. Hong Kong University Press. 1988-04-01. ISBN 978-962-209-181-8.

[4] R. C. Penner. Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. 1999. ISBN 978-981-02-4088-2.

[5] Johnston, William, and Alex McAllister. A transition to advanced mathematics. Oxford Univ. Press, 2009. Section 5.1, hlm. 365

[6] Materi, Soal, dan Pembahasan - Prinsip Inklusi-Eksklusi - Mathcyber1997.

[7] Mamat Rahmat, Metode Double Counting untuk Pembuktian Identitas Matematika

[8] Mohammad Mahfuzh Shiddiq. Fungsi Pembangkit - Teknik Menghitung. haimatematika.

[9] Relasi Rekurensi. emodul-matematika.fmipa.unej.ac.id.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[matematika]], khususnya di cabang matematika [[kombinatorik]], '''kaidah pencacahan''' merupakan aturan untuk menghitung banyaknya susunan objek-objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya. Kaidah pencacahan biasanya meliputi aturan dasar menghitung (seperti [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)|aturan perkalian]]), [[prinsip inklusi-eksklusi]], [[pembuktian bijektif]], [[Pencacahan ganda (teori pembuktian)|perhitungan ganda]], [[prinsip rumah burung]], [[fungsi pembangkit]], dan [[Relasi pengulangan|relasi rekurensi]].
+Dalam [[matematika]], khususnya di cabang matematika [[kombinatorik]], '''kaidah pencacahan''' merupakan aturan untuk menghitung banyaknya susunan objek-objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya.<ref>Asmar Achmad, [http://repositori.kemdikbud.go.id/21938/1/XII_Matematika-Umum_KD-3.3_Final.pdf ''Modul Matematika Kelas XII KD'' ''3.3''], hlm. 6</ref> Kaidah pencacahan biasanya meliputi aturan dasar menghitung (seperti [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)|aturan perkalian]]), [[prinsip inklusi-eksklusi]], [[pembuktian bijektif]], [[Pencacahan ganda (teori pembuktian)|perhitungan ganda]], [[prinsip rumah burung]], [[fungsi pembangkit]], dan [[Relasi pengulangan|relasi rekurensi]].
 == Aturan dasar menghitung ==
-Aturan dasar menghitung meliputi kajian dasar dalam cabang matematika (yaitu [[kombinatorika]]), di antaranya [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)|aturan perkalian]].
+Aturan dasar menghitung meliputi kajian dasar dalam cabang matematika (yaitu [[kombinatorika]]), di antaranya [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)|aturan perkalian]].<ref>Made Astawan. [https://ilmuhitung.com/aturan-dasar-menghitung/ Aturan Dasar Menghitung]. ''Ilmu Hitung''. 2016-07-22.</ref>
 === Aturan penjumlahan ===
@@ Baris 9: / Baris 9: @@
 Lebih formalnya, bila <math>S_1,\dots,S_n</math> himpunan lepas berpasangan, maka aturan penjumlahan dapat dirumuskan sebagai
-: <math>|S_{1}|+|S_{2}|+\cdots+|S_{n}| = |S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n}| </math>
+: <math>|S_{1}|+|S_{2}|+\cdots+|S_{n}| = |S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n}| </math><ref>K. T. Leung. [https://books.google.com/books?id=QqgaZ799QGAC&q=%22rule+of+sum%22 Fundamental Concepts of Mathematics]. Hong Kong University Press. 1988-04-01. ISBN 978-962-209-181-8.</ref><ref>R. C. Penner. [https://books.google.com/books?id=t5r79vZ9ogoC&dq=%22rule+of+sum%22+AND+%22mathematics%22&pg=PA342 Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures]. World Scientific. 1999. ISBN 978-981-02-4088-2.</ref>
 atau disingkat sebagai
@@ Baris 18: / Baris 18: @@
 : <math>1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5</math>.
 === Aturan perkalian ===
 '''Aturan perkalian''' (atau '''aturan dasar mengalikan''') adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada <math>n(A)</math> cara untuk <math>A</math> dan <math>n(B)</math> cara untuk <math>B</math>, maka banyaknya cara untuk <math>A</math> dan <math>B</math> adalah <math>n(A) \cdot n(B)</math>. Sebagai permisalan, pada gambar di samping, diketahui <math>A</math> memiliki tiga [[Elemen (matematika)|elemen]], yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Hal yang serupa untuk <math>B</math> yang memiliki tiga elemen, yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Maka, banyaknya cara untuk mengkombinasikan <math>\{A,B\}</math> dan <math>\{1,2,3\}</math> adalah <math>3 \times 2 = 6</math> cara.
-Aturan perkalian dalam [[teori himpunan]] dapat dianggap sebagai [[Produk Kartesius|hasilkali Kartesius]] (dilambangkan <math>\times</math>), yakni
+Aturan perkalian dalam [[teori himpunan]] dapat dianggap sebagai [[Produk Kartesius|hasilkali Kartesius]]<ref>Johnston, William, and Alex McAllister. ''[http://213.230.96.51:8090/files/ebooks/Matematika/Johnston%20W.,%20McAllister%20A.%20A%20transition%20to%20advanced%20mathematics..%20a%20survey%20course%20(OUP,%202009)(ISBN%200195310764)(766s)%20M%20.pdf A transition to advanced mathematics]''. Oxford Univ. Press, 2009. Section 5.1, hlm. 365</ref> (dilambangkan <math>\times</math>), yakni
 : <math>|S_1| \cdot |S_2| \cdots |S_n| = |S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n|</math>.
 == Prinsip inklusi-eksklusi ==
+[[Prinsip inklusi-eksklusi]] merupakan perluasan [[diagram Venn]] yang melibatkan himpunan-himpunan. Prinsip ini kemudian diaplikasi secara variatif.<ref>[https://mathcyber1997.com/prinsip-inklusi-eksklusi/ Materi, Soal, dan Pembahasan - Prinsip Inklusi-Eksklusi - Mathcyber1997].</ref> Untuk diberikan suatu himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, prinsip inklusi-eksklusi dirumuskan sebagai
-[[Prinsip inklusi-eksklusi]] merupakan perluasan [[diagram Venn]] yang melibatkan himpunan-himpunan. Prinsip ini kemudian diaplikasi secara variatif. Untuk diberikan suatu himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, prinsip inklusi-eksklusi dirumuskan sebagai
 : <math>\left|A \cup B\right| = \left|A\right| + \left|B\right| - \left|A \cap B\right|</math>.
 == Pembuktian bijektif ==
 [[Pembuktian bijektif]] ialah teorema yang mendefinisikan jika [[Fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f</math> yang memetakan himpunan <math>A</math> ke himpunan <math>B</math> adalah [[bijektif]], maka diperoleh bahwa <math>|A| = |B|</math>.
 == Perhitungan ganda ==
-[[Perhitungan ganda (teknik pembuktian)|Perhitungan ganda]] merupakan teknik pembuktian kombinatorial. Teknik pembuktian ini digunakan untuk membuktikan persamaan dua ekspresi dengan menunjukkan bahwa kedua ekspresi adalah dua cara menghitung [[kardinalitas]] sebuah himpunan yang sama.
+[[Perhitungan ganda (teknik pembuktian)|Perhitungan ganda]] merupakan teknik pembuktian kombinatorial. Teknik pembuktian ini digunakan untuk membuktikan persamaan dua ekspresi dengan menunjukkan bahwa kedua ekspresi adalah dua cara menghitung [[kardinalitas]] sebuah himpunan yang sama.<ref>Mamat Rahmat, ''[https://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Makalah2013/MakalahIF2120-2013-014.pdf Metode Double Counting untuk Pembuktian Identitas Matematika]''</ref>
 == Prinsip rumah burung ==
@@ Baris 46: / Baris 41: @@
 == Fungsi pembangkit ==
-[[Fungsi pembangkit]] merupakan suatu fungsi yang berbentuk [[deret kuasa]]. Dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel <math>x</math> di dalam bentuk formal deret kuasa, fungsi ini dapat merepresentasikan [[barisan]] secara efektif. Fungsi pembangkit pada barisan <math>a_0,a_1,a_2,\dots</math> dapat dirumuskan sebagai
+[[Fungsi pembangkit]] merupakan suatu fungsi yang berbentuk [[deret kuasa]]. Dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel <math>x</math> di dalam bentuk formal deret kuasa, fungsi ini dapat merepresentasikan [[barisan]] secara efektif.<ref>Mohammad Mahfuzh Shiddiq. [https://www.haimatematika.com/2019/11/fungsi-pembangkit-teknik-menghitung.html Fungsi Pembangkit - Teknik Menghitung]. ''haimatematika''.</ref> Fungsi pembangkit pada barisan <math>a_0,a_1,a_2,\dots</math> dapat dirumuskan sebagai
 : <math>G(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math>.
 == Relasi rekurensi ==
+Relasi rekurensi adalah suatu persamaan yang bergantung pada suku-suku sebelumnya. Lebih umumnya, relasi rekurensi pada suku <math>a_n</math> (di mana <math>n</math> bilangan bulat positif) bergantung pada suku-suku sebelumnya, yakni <math>a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1</math>.<ref>[http://emodul-matematika.fmipa.unej.ac.id/ModulKombinatorika/Relasi%20Rekurensi.html Relasi Rekurensi]. ''emodul-matematika.fmipa.unej.ac.id''.</ref>
+== Referensi ==
-Relasi rekurensi adalah suatu persamaan yang bergantung pada suku-suku sebelumnya. Lebih umumnya, relasi rekurensi pada suku <math>a_n</math> (di mana <math>n</math> bilangan bulat positif) bergantung pada suku-suku sebelumnya, yakni <math>a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1</math>.
+<references />
-== Rujukan ==
-=== Catatan kaki ===
-=== Referensi ===
-*
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+pencacahan&oldid=28449388 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28449388 (2025-11-13T06:43:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)