Lompat ke isi

Bilangan besar: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29470572; atribusi sumber disertakan.
 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
 
Baris 1: Baris 1:
'''Bilangan besar''' adalah bilangan yang secara signifikan lebih besar dari [[bilangan]] biasa yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari. misal, perhitungan dasar atau transaksi keuangan. Bilangan besar sering muncul di dalam [[matematika]], [[kosmologi]], [[astronomi]], [[kriptografi]] dan [[mekanika statistika]]. Bilangan-bilangan tersebut biasanya berupa [[bilangan bulat]] positif besar, atau lebih umum lagi, [[bilangan riil]] positif besar, tetapi bisa juga berupa bilangan lain dalam konteks lain pula. '''[[Googologi]]''' adalah studi tentang nomenklatur dan sifat-sifat bilangan besar.
'''Bilangan besar''' adalah bilangan yang secara signifikan lebih besar dari [[bilangan]] biasa yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari. misal, perhitungan dasar atau transaksi keuangan. Bilangan besar sering muncul di dalam [[matematika]], [[kosmologi]], [[astronomi]], [[kriptografi]] dan [[mekanika statistika]]. Bilangan-bilangan tersebut biasanya berupa [[bilangan bulat]] positif besar, atau lebih umum lagi, [[bilangan riil]] positif besar, tetapi bisa juga berupa bilangan lain dalam konteks lain pula. '''[[Googologi]]''' adalah studi tentang nomenklatur dan sifat-sifat bilangan besar.<ref>[http://www.mediafire.com/file/45j4oovzgleux3r/One_Million_Things_-_A_Visual_Encyclopedia.pdf/file One Million Things - A Visual Encyclopedia]. ''MediaFire''.</ref><ref>Robert A. Nowlan. [https://books.google.com/books?id=Y87bDgAAQBAJ&pg=PA220 Masters of Mathematics: The Problems They Solved, Why These Are Important, and What You Should Know about Them]. Springer. 2017-05-13. ISBN 978-94-6300-893-8.</ref>
== Notasi ilmiah untuk bilangan besar dan kecil ==
== Notasi ilmiah untuk bilangan besar dan kecil ==
[[Notasi ilmiah]] diciptakan untuk menangani berbagai macam nilai yang terjadi dalam studi ilmiah. 1,0 × 10<sup>9</sup>, misalnya, berarti satu miliar, atau angka 1 yang diikuti oleh sembilan angka nol: 1.000.000.000. Kebalikannya, 1,0 × 10-9, berarti sepersatu miliar, atau 0,000 000 001. Menulis 10<sup>9</sup> alih-alih menulis angka satu diikuti sembilan angka nol akan menghemat tenaga pembaca, dan menghindari kesalahan saat membaca angka nol yang banyak yang menyebabkan disinformasi. Selain notasi ilmiah (pangkat 10), contoh-contoh berikut ini mencakup nomenklatur sistematis ([[Skala panjang dan pendek|skala pendek]]) untuk bilangan besar.
[[Notasi ilmiah]] diciptakan untuk menangani berbagai macam nilai yang terjadi dalam studi ilmiah. 1,0 × 10<sup>9</sup>, misalnya, berarti satu miliar, atau angka 1 yang diikuti oleh sembilan angka nol: 1.000.000.000. Kebalikannya, 1,0 × 10-9, berarti sepersatu miliar, atau 0,000 000 001. Menulis 10<sup>9</sup> alih-alih menulis angka satu diikuti sembilan angka nol akan menghemat tenaga pembaca, dan menghindari kesalahan saat membaca angka nol yang banyak yang menyebabkan disinformasi. Selain notasi ilmiah (pangkat 10), contoh-contoh berikut ini mencakup nomenklatur sistematis ([[Skala panjang dan pendek|skala pendek]]) untuk bilangan besar.
Baris 6: Baris 6:
Contoh bilangan besar yang menggambarkan objek dunia nyata sehari-hari meliputi:
Contoh bilangan besar yang menggambarkan objek dunia nyata sehari-hari meliputi:


* Jumlah [[Sel (biologi)|sel]] dalam tubuh [[manusia]] diperkirakan mencapai 3,72 × 10<sup>13</sup>, atau 37,2 triliun
* Jumlah [[Sel (biologi)|sel]] dalam tubuh [[manusia]] diperkirakan mencapai 3,72 × 10<sup>13</sup>, atau 37,2 triliun<ref>Eva Bianconi. ''An estimation of the number of cells in the human body''. ''Annals of Human Biology''. Nov–Dec 2013. Vol. 40 (6). hlm. 463–471. doi:10.3109/03014460.2013.807878.</ref>
* Jumlah [[Bit (satuan)|bit]] pada [[Cakram keras|''hard disk'']] [[komputer]] pada tahun 2024, biasanya mencapai sekitar 10<sup>13</sup>, 1-2 TB, atau 10 triliun
* Jumlah [[Bit (satuan)|bit]] pada [[Cakram keras|''hard disk'']] [[komputer]] pada tahun 2024, biasanya mencapai sekitar 10<sup>13</sup>, 1-2 TB, atau 10 triliun
* Jumlah koneksi [[sel saraf]] di otak manusia diperkirakan mencapai 10<sup>14</sup>, atau 100 triliun
* Jumlah koneksi [[sel saraf]] di otak manusia diperkirakan mencapai 10<sup>14</sup>, atau 100 triliun
* [[Bilangan Avogadro|Konstanta Avogadro]] adalah jumlah “entitas elementer” biasanya atom atau molekul dalam satu [[mol]]; jumlah atom dalam 12 gram [[karbon-12]] - sekitar 6,022 × 10<sup>23</sup>, atau 602,2 [[sekstiliun]].
* [[Bilangan Avogadro|Konstanta Avogadro]] adalah jumlah “entitas elementer” biasanya atom atau molekul dalam satu [[mol]]; jumlah atom dalam 12 gram [[karbon-12]] - sekitar 6,022 × 10<sup>23</sup>, atau 602,2 [[sekstiliun]].
* Jumlah total pasangan basa [[Asam deoksiribonukleat|DNA]] dalam seluruh [[biomassa]] di [[Bumi]], sebagai perkiraan [[keanekaragaman hayati]] global, diperkirakan mencapai (5,3 ± 3,6) × 10<sup>37</sup>, atau 53 ± 36 sekoniliun
* Jumlah total pasangan basa [[Asam deoksiribonukleat|DNA]] dalam seluruh [[biomassa]] di [[Bumi]], sebagai perkiraan [[keanekaragaman hayati]] global, diperkirakan mencapai (5,3 ± 3,6) × 10<sup>37</sup>, atau 53 ± 36 sekoniliun<ref>''An Estimate of the Total DNA in the Biosphere''. ''PLOS Biology''. June 2015. Vol. 13 (6). hlm. e1002168. doi:10.1371/journal.pbio.1002168.</ref><ref>Rachel Nuwer. [https://www.nytimes.com/2015/07/21/science/counting-all-the-dna-on-earth.html Counting All the DNA on Earth]. ''The New York Times''. 18 July 2015.</ref>
* [[Massa]] Bumi terdiri dari sekitar 4 × 10<sup>51</sup>, atau 4 seksdesiliun, nukleon
* [[Massa]] Bumi terdiri dari sekitar 4 × 10<sup>51</sup>, atau 4 seksdesiliun, nukleon
* Perkiraan jumlah atom di [[alam semesta teramati]] 10<sup>80</sup>, atau 100 quinvigintiliun
* Perkiraan jumlah atom di [[alam semesta teramati]] 10<sup>80</sup>, atau 100 quinvigintiliun
* Batas bawah pada kompleksitas pohon permainan catur, juga dikenal sebagai “bilangan Shannon” diperkirakan mencapai sekitar 10<sup>120</sup>, atau 1 novemtrigintiliun
* Batas bawah pada kompleksitas pohon permainan catur, juga dikenal sebagai “bilangan Shannon” diperkirakan mencapai sekitar 10<sup>120</sup>, atau 1 novemtrigintiliun<ref>Shannon, Claude. [http://archive.computerhistory.org/projects/chess/related_materials/text/2-0%20and%202-1.Programming_a_computer_for_playing_chess.shannon/2-0%20and%202-1.Programming_a_computer_for_playing_chess.shannon.062303002.pdf XXII. Programming a Computer for Playing Chess]. ''Philosophical Magazine''. March 1950. Vol. 41 (314).</ref>


== Bilangan besar dalam astronomi ==
== Bilangan besar dalam astronomi ==
Baris 27: Baris 27:
* ''[[Googol]]'' = <math>10^{100}.</math>
* ''[[Googol]]'' = <math>10^{100}.</math>
* [[Sentiliun]] = <math>10^{303}</math> dalam  [[Skala panjang dan pendek|skala pendek]], atau <math>10^{600}</math> dalam [[Skala panjang dan pendek|skala panjang]].
* [[Sentiliun]] = <math>10^{303}</math> dalam  [[Skala panjang dan pendek|skala pendek]], atau <math>10^{600}</math> dalam [[Skala panjang dan pendek|skala panjang]].
* [[Bilangan Smith]] terbesar yang diketahui = (10<sup>1031</sup>−1) × (10<sup>4594</sup> + 3 + 1)<sup>1476</sup>
* [[Bilangan Smith]] terbesar yang diketahui = (10<sup>1031</sup>−1) × (10<sup>4594</sup> + 3 + 1)<sup>1476</sup>  


* [[Bilangan prima Mersenne]] terbesar yang diketahui = <math>2^{77,232,917}-1</math> [https://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html (''pada tanggal 3 Januari 2018'')]
* [[Bilangan prima Mersenne]] terbesar yang diketahui = <math>2^{77,232,917}-1</math> [https://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html (''pada tanggal 3 Januari 2018'')]
Baris 55: Baris 55:
harap diingat bahwa <math>\displaystyle {10^{(10 \uparrow)^nx} = (10 \uparrow)^n10^x}</math>
harap diingat bahwa <math>\displaystyle {10^{(10 \uparrow)^nx} = (10 \uparrow)^n10^x}</math>


Jika sebuah angka x terlalu besar untuk sebuah representasi
Jika sebuah angka x terlalu besar untuk sebuah representasi  


<math>\displaystyle {(10 \uparrow)^nx }</math> menara pangkat dapat dibuat satu tingkat lebih tinggi, menggantikan x dengan <math>\displaystyle {\log_{10} x}</math>, atau mencari x dari representasi menara yang lebih rendah dari log<sub>10</sub> bilangan bulat. Jika menara pangkat berisi satu atau lebih bilangan yang berbeda dari 10, kedua pendekatan ini akan menghasilkan hasil yang berbeda, sesuai dengan fakta bahwa memperpanjang menara pangkat dengan 10 di bagian bawah tidak sama dengan memperpanjangnya dengan 10 di bagian atas (tetapi, tentu saja, pernyataan yang sama berlaku jika seluruh menara pangkat terdiri dari salinan bilangan yang sama, yang berbeda dari 10).
<math>\displaystyle {(10 \uparrow)^nx }</math> menara pangkat dapat dibuat satu tingkat lebih tinggi, menggantikan x dengan <math>\displaystyle {\log_{10} x}</math>, atau mencari x dari representasi menara yang lebih rendah dari log<sub>10</sub> bilangan bulat. Jika menara pangkat berisi satu atau lebih bilangan yang berbeda dari 10, kedua pendekatan ini akan menghasilkan hasil yang berbeda, sesuai dengan fakta bahwa memperpanjang menara pangkat dengan 10 di bagian bawah tidak sama dengan memperpanjangnya dengan 10 di bagian atas (tetapi, tentu saja, pernyataan yang sama berlaku jika seluruh menara pangkat terdiri dari salinan bilangan yang sama, yang berbeda dari 10).
Baris 105: Baris 105:
* <math>{\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3.638.334.640.024}\approx (10\uparrow )^{3}1,1}</math>
* <math>{\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3.638.334.640.024}\approx (10\uparrow )^{3}1,1}</math>


==== Bilangan yang bisa direpresentasikan dengan notasi <math>\displaystyle {(10 \uparrow)^nk}</math> ====
==== Bilangan yang bisa direpresentasikan dengan notasi (10 )^nk ====
 
* <math>\displaystyle {\mbox {googolplex }= 10^{10^{100}}= (10 \uparrow)^32 }</math>
* <math>\displaystyle {\mbox {googolplex }= 10^{10^{100}}= (10 \uparrow)^32 }</math>
* <math>\displaystyle {2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} = 2 \uparrow \uparrow 6 = 2^{2^{65.536}} \approx 2^{(10 \uparrow)^24,3} = (10 \uparrow)^34,3}</math>
* <math>\displaystyle {2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} = 2 \uparrow \uparrow 6 = 2^{2^{65.536}} \approx 2^{(10 \uparrow)^24,3} = (10 \uparrow)^34,3}</math>
* <math>\displaystyle {10^{10^{10^{}}}= 10 \uparrow \uparrow 4  =(10 \uparrow)^41}</math>
* <math>\displaystyle {10^{10^{10^{}}}= 10 \uparrow \uparrow 4  =(10 \uparrow)^41}</math>
* <math>{\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}</math>
* <math>{\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}</math>  
* <math>{\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}</math>
* <math>{\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}</math>
* <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow 5 = (10 \uparrow)^51}</math>
* <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow 5 = (10 \uparrow)^51}</math>
Baris 120: Baris 119:


==== Angka yang lebih besar ====
==== Angka yang lebih besar ====
* <math>\displaystyle {3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3) \approx 3 \uparrow \uparrow 7,6 \times10^{12}  \approx 10 \uparrow \uparrow \times 7,6 \times 10^{12}}</math>
* <math>\displaystyle {3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3) \approx 3 \uparrow \uparrow 7,6 \times10^{12}  \approx 10 \uparrow \uparrow \times 7,6 \times 10^{12}}</math>
* <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = (10 \uparrow)^31 = (10 \to 3 \to 3)}</math>
* <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = (10 \uparrow)^31 = (10 \to 3 \to 3)}</math>
Baris 133: Baris 131:
*<math>10\uparrow\uparrow\uparrow 9=(10 \uparrow \uparrow)^9 1</math> = ( 10 → 9 → 3 )
*<math>10\uparrow\uparrow\uparrow 9=(10 \uparrow \uparrow)^9 1</math> = ( 10 → 9 → 3 )
*<math>10 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2 = 10\uparrow\uparrow\uparrow 10=(10 \uparrow \uparrow)^{10} 1</math> = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
*<math>10 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2 = 10\uparrow\uparrow\uparrow 10=(10 \uparrow \uparrow)^{10} 1</math> = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
*Pola pertama pada [[Bilangan Graham|bilangan graham]], ''g''<sub>1</sub> = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10<sup>12</sup>) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10<sup>12</sup>), nilai yang berada di antara (10 ↑↑↑)<sup>2</sup> 2 dan (10 ↑↑↑)<sup>2</sup> 3
*Pola pertama pada [[Bilangan Graham|bilangan graham]], ''g''<sub>1</sub> = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10<sup>12</sup>) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10<sup>12</sup>), nilai yang berada di antara (10 ↑↑↑)<sup>2</sup> 2 dan (10 ↑↑↑)<sup>2</sup> 3  
*<math>10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3=(10 \uparrow \uparrow\uparrow)^3 1</math> = (10 → 3 → 4)
*<math>10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3=(10 \uparrow \uparrow\uparrow)^3 1</math> = (10 → 3 → 4)
*<math>4 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4</math> = ( 4 → 4 → 4 ) <math>\approx (10 \uparrow \uparrow \uparrow)^2 (10 \uparrow \uparrow)^3 154</math>
*<math>4 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4</math> = ( 4 → 4 → 4 ) <math>\approx (10 \uparrow \uparrow \uparrow)^2 (10 \uparrow \uparrow)^3 154</math>
Baris 167: Baris 165:
*( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
*( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
*...
*...
*<math>\displaystyle {\begin{matrix} \underbrace {10 \to 10 \mbox{  ...} \to 10 \to 10} \\\qquad \quad 10 \to 10 \to 10 \end{matrix}} </math> (Dengan angka 10 sebanyak <math>\displaystyle {10 \to 10 \to 10} </math> kali)
*<math>\displaystyle {\begin{matrix} \underbrace {10 \to 10 \mbox{  ...} \to 10 \to 10} \\\qquad \quad 10 \to 10 \to 10 \end{matrix}} </math> (Dengan angka 10 sebanyak <math>\displaystyle {10 \to 10 \to 10} </math> kali)  


== Catatan dan referensi ==
== Catatan dan referensi ==


 
== Referensi ==
<references />


== Sumber dan atribusi ==
== Sumber dan atribusi ==


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+besar&oldid=29470572 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29470572 (2026-07-18T02:34:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+besar&oldid=29470572 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29470572 (2026-07-18T02:34:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 22.57

Bilangan besar adalah bilangan yang secara signifikan lebih besar dari bilangan biasa yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari. misal, perhitungan dasar atau transaksi keuangan. Bilangan besar sering muncul di dalam matematika, kosmologi, astronomi, kriptografi dan mekanika statistika. Bilangan-bilangan tersebut biasanya berupa bilangan bulat positif besar, atau lebih umum lagi, bilangan riil positif besar, tetapi bisa juga berupa bilangan lain dalam konteks lain pula. Googologi adalah studi tentang nomenklatur dan sifat-sifat bilangan besar.[1][2]

Notasi ilmiah untuk bilangan besar dan kecil

Notasi ilmiah diciptakan untuk menangani berbagai macam nilai yang terjadi dalam studi ilmiah. 1,0 × 109, misalnya, berarti satu miliar, atau angka 1 yang diikuti oleh sembilan angka nol: 1.000.000.000. Kebalikannya, 1,0 × 10-9, berarti sepersatu miliar, atau 0,000 000 001. Menulis 109 alih-alih menulis angka satu diikuti sembilan angka nol akan menghemat tenaga pembaca, dan menghindari kesalahan saat membaca angka nol yang banyak yang menyebabkan disinformasi. Selain notasi ilmiah (pangkat 10), contoh-contoh berikut ini mencakup nomenklatur sistematis (skala pendek) untuk bilangan besar.

Bilangan besar dalam dunia sehari-hari

Contoh bilangan besar yang menggambarkan objek dunia nyata sehari-hari meliputi:

  • Jumlah sel dalam tubuh manusia diperkirakan mencapai 3,72 × 1013, atau 37,2 triliun[3]
  • Jumlah bit pada hard disk komputer pada tahun 2024, biasanya mencapai sekitar 1013, 1-2 TB, atau 10 triliun
  • Jumlah koneksi sel saraf di otak manusia diperkirakan mencapai 1014, atau 100 triliun
  • Konstanta Avogadro adalah jumlah “entitas elementer” biasanya atom atau molekul dalam satu mol; jumlah atom dalam 12 gram karbon-12 - sekitar 6,022 × 1023, atau 602,2 sekstiliun.
  • Jumlah total pasangan basa DNA dalam seluruh biomassa di Bumi, sebagai perkiraan keanekaragaman hayati global, diperkirakan mencapai (5,3 ± 3,6) × 1037, atau 53 ± 36 sekoniliun[4][5]
  • Massa Bumi terdiri dari sekitar 4 × 1051, atau 4 seksdesiliun, nukleon
  • Perkiraan jumlah atom di alam semesta teramati 1080, atau 100 quinvigintiliun
  • Batas bawah pada kompleksitas pohon permainan catur, juga dikenal sebagai “bilangan Shannon” diperkirakan mencapai sekitar 10120, atau 1 novemtrigintiliun[6]

Bilangan besar dalam astronomi

Angka-angka besar lainnya terkait panjang dan waktu ditemukan dalam astronomi dan kosmologi. Sebagai contoh, model Big Bang saat ini menunjukkan bahwa alam semesta berusia 13,8 miliar tahun (4,355 × 1017 detik), dan alam semesta yang dapat diamati memiliki luas 93 miliar tahun cahaya (8,8 × 1026 meter), dan mengandung sekitar 5 × 1022 bintang, yang tersusun dalam sekitar 125 miliar (1,25 × 1011) galaksi, berdasarkan pengamatan Teleskop Luar Angkasa Hubble. Ada sekitar 1080 atom di alam semesta yang dapat diamati, menurut perkiraan kasar.

Menurut Don Page, fisikawan di University of Alberta, Kanada, waktu terbatas terpanjang yang sejauh ini telah dihitung secara eksplisit oleh fisikawan mana pun adalah:

10101010101.1tahun

Contoh yang lain:

Standar sistem penulisan

Cara standar untuk menulis bilangan besar memungkinkan untuk dengan mudah diurutkan sesuai dengan seberapa besar bilangan itu, sekaligus kita bisa mendapatkan gambaran yang baik tentang seberapa besar suatu bilangan dibandingkan dengan bilangan yang lain.

Untuk membandingkan bilangan dalam notasi ilmiah, misalnya 5×104 dan 2×105, bandingkan eksponennya terlebih dahulu, dalam hal ini eksponen 5 > 4, jadi 2×105 > 5×104. Jika eksponennya sama, maka yang dibaningkan adalah mantissa atau koefisiennya, jadi 5×104 > 2×104 karena 5 > 2.

Tetrasi desimal memberikan urutan 10↑↑n=10→n→2=(10↑)n1 pangkat dari bilangan 10, dimana (10↑)n menyatakan pangkat fungsional dari fungsi f(n)=10n (fungsi ini juga memiliki akhiran “-plex” seperti pada googolplex, lihat keluarga googol).

Ini adalah angka yang sangat bulat, masing-masing mewakili urutan besarnya dalam pengertian umum. Cara kasar untuk menentukan seberapa besar sebuah angka adalah dengan menentukan di antara dua angka mana dalam urutan ini.

Lebih tepatnya, angka di antaranya dapat dinyatakan dalam bentuk (10↑)na dengan pangkat 10, dan angka di bagian atas, dapat dilakukan dengan notasi ilmiah, misalnya 10101010104.829=(10↑)54.829, sebuah angka di antara 10↑↑5 dan 10↑↑6. (harap diingat bahwa 10↑↑n<(10↑)na<10↑↑(n+1) jika nilai a lebih dari 1 dan kurang dari 10 atau 1<a<10. (lihat juga notasi anak panah knuth untuk penjelasan lebih rinci)

Dengan demikian bilangan googolplex dapat ditulis seperti ini 1010100=(10↑)2100=(10↑)32

atau contoh lain seperti:

2↑↑↑4=22...2⏟2 setinggi 65.536 tingkat≈(10↑)65.531(6×1019.727)≈(10↑)65.5334.3 bilangan yang nilainya di antara 10↑↑65.533 dan 10↑↑65.534

Jadi, dari sebuah bilangan (pada skala yang lebih besar dari biasanya) dapat ditentukan oleh jumlah kali (n) kita harus mengambil (log10)sampai mendapatkan bilangan yang berada antara 1 dan 10. Dengan demikian, bilangan tersebut berada di antara 10↑↑n sampai 10↑↑(n+1). Sebagaimana dijelaskan, deskripsi yang lebih tepat dari sebuah bilangan juga harus menentukan nilai bilangan tersebut di antara 1 dan 10, atau bilangan sebelumnya (dengan mengambil logaritma satu kali lebih sedikit) antara 10 dan 1010, atau berikutnya, antara 0 dan 1.

harap diingat bahwa 10(10↑)nx=(10↑)n10x

Jika sebuah angka x terlalu besar untuk sebuah representasi

(10↑)nx menara pangkat dapat dibuat satu tingkat lebih tinggi, menggantikan x dengan log10x, atau mencari x dari representasi menara yang lebih rendah dari log10 bilangan bulat. Jika menara pangkat berisi satu atau lebih bilangan yang berbeda dari 10, kedua pendekatan ini akan menghasilkan hasil yang berbeda, sesuai dengan fakta bahwa memperpanjang menara pangkat dengan 10 di bagian bawah tidak sama dengan memperpanjangnya dengan 10 di bagian atas (tetapi, tentu saja, pernyataan yang sama berlaku jika seluruh menara pangkat terdiri dari salinan bilangan yang sama, yang berbeda dari 10).

Jika tinggi menara besar, berbagai representasi untuk angka besar dapat diterapkan pada ketinggian itu sendiri. Jika ketinggiannya hanya diberikan secara kira-kira, memberikan nilai di bagian atas tidak masuk akal, sehingga notasi panah ganda (misalnya: 10↑↑(7,21×108) ) dapat digunakan. Jika nilai setelah tanda panah ganda merupakan angka yang sangat besar, maka cara di atas dapat diterapkan secara rekursif pada nilai tersebut.

Contoh:

10↑↑1010103,81×1017 berada di antara 10↑↑↑2 dan 10↑↑↑3.

10↑↑10↑↑(10↑)497(9,73×1032)=(10↑↑)2(10↑)497(9,73×1032) yang nilainya berada di antara 10↑↑↑4 dan 10↑↑↑5.

Contoh penggunaan

Berikut adalah contoh penggunaan notasi anak panah knuth, diawali dengan bilangan kecil yang masih masuk akal untuk direpresentasikan dengan desimal biasa, disusul dengan bilangan besar yang masih bisa direpresentasikan dengan notasi ilmiah lalu dilanjutkan dengan bilangan yang lebih besar lagi, yang dapat ditulis dengan notasi (10↑)nx.

Bilangan yang mampu direpresentasikan dengan desimal biasa

  • 22 = 4
  • 222 = 2 ↑↑ 3 = 16
  • 33 = 27
  • 44 = 256
  • 55 = 3.125
  • 66 = 46.656
  • 2↑↑4=2↑↑↑3=65.536
  • 77 = 823.543
  • 106 = 1.000.000 = 1 Juta
  • 88 = 16.777.216
  • 99 = 387.420.489
  • 109 = 1.000.000.000 = 1 Miliar
  • 1010 = 10.000.000.000
  • 1012 = 1.000.000.000.000 = 1 Triliun
  • 3↑↑3=327=7.625.597.484.987
  • 1015 = 1.000.000.000.000.000 = 1 Juta miliar = 1 kuadriliun
  • 1018 = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 Miliar miliar = 1 kuintiliun

Bilangan yang dapat direpresentasikan dengan notasi ilmiah

  • Perkiraan jumlah atom dalam alam semesta teramati = 1080 = 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
  • googol = 10100 = 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 .000.000.000.000
  • 444 = 4 ↑↑ 3 = 2512 ≈ 1,34 × 10154 ≈ (10 ↑)2 2,2
  • Perkiraan jumlah satuan planck yang dibutuhkan untuk mengsi alam semesta teramati = 8,5 × 10184
  • 555 = 5 ↑↑ 3 = 53.125 ≈ 1,91 × 102.184 ≈ (10 ↑)2 3,3
  • 666 = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 1036.305 ≈ (10 ↑)2 4,6
  • 777 = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10695.974 ≈ (10 ↑)2 5,8
  • 22222=2↑↑5=265.536≈2×1019.728≈(10↑)24,3
  • 888 = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 1015.151.335 ≈ (10 ↑)2 7,2
  • M82.589.933≈1,49×1024.862.047≈10107,3955=(10↑)2 7,3955, bilangan prima mersenne terbesar per 2021
  • 999 = 9 ↑↑ 3 ≈ 4.28 × 10369.693.099 ≈ (10 ↑)2 8.6
  • 101010=10↑↑3=1010.000.000.000=(10↑)31
  • 3333=3↑↑4≈1.26×103.638.334.640.024≈(10↑)31,1

Bilangan yang bisa direpresentasikan dengan notasi (10 )^nk

  • googolplex =1010100=(10↑)32
  • 222222=2↑↑6=2265.536≈2(10↑)24,3=(10↑)34,3
  • 101010=10↑↑4=(10↑)41
  • 33333=3↑↑5≈3103.6×1012≈(10↑)41.10
  • 2222222=2↑↑7≈(10↑)44.3
  • 10↑↑5=(10↑)51
  • 3↑↑6≈(10↑)51.1
  • 2↑↑8=(10↑)54,3
  • 10↑↑6=(10↑)61
  • 10↑↑↑2=10↑↑10=(10↑)101
  • 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65.536 ≈ (10 ↑)65.533 4.3, bilangan di antara 10 ↑↑ 65.533 dan 10 ↑↑ 65.534

Angka yang lebih besar

  • 3↑↑↑3=3↑↑(3↑↑3)≈3↑↑7,6×1012≈10↑↑×7,6×1012
  • 10↑↑↑3=(10↑)31=(10→3→3)
  • (10↑↑)211
  • (10↑↑)21010103,81×1017
  • 10↑↑↑4=(10↑)41=(10→4→3)
  • (10↑↑)2(10↑)497(9.73×1032)
  • 10↑↑↑5=(10↑↑)51 = ( 10 → 5 → 3 )
  • 10↑↑↑6=(10↑↑)61 = ( 10 → 6 → 3 )
  • 10↑↑↑7=(10↑↑)71 = ( 10 → 7 → 3 )
  • 10↑↑↑8=(10↑↑)81 = ( 10 → 8 → 3 )
  • 10↑↑↑9=(10↑↑)91 = ( 10 → 9 → 3 )
  • 10↑↑↑↑2=10↑↑↑10=(10↑↑)101 = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
  • Pola pertama pada bilangan graham, g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 1012) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 1012), nilai yang berada di antara (10 ↑↑↑)2 2 dan (10 ↑↑↑)2 3
  • 10↑↑↑↑3=(10↑↑↑)31 = (10 → 3 → 4)
  • 4↑↑↑↑4 = ( 4 → 4 → 4 ) ≈(10↑↑↑)2(10↑↑)3154
  • 10↑↑↑↑4=(10↑↑↑)41 = ( 10 → 4 → 4 )
  • 10↑↑↑↑5=(10↑↑↑)51 = ( 10 → 5 → 4 )
  • 10↑↑↑↑6=(10↑↑↑)61 = ( 10 → 6 → 4 )
  • 10↑↑↑↑7=(10↑↑↑)71= = ( 10 → 7 → 4 )
  • 10↑↑↑↑8=(10↑↑↑)81= = ( 10 → 8 → 4 )
  • 10↑↑↑↑9=(10↑↑↑)91= = ( 10 → 9 → 4 )
  • 10↑↑↑↑↑2=10↑↑↑↑10=(10↑↑↑)101 = ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
  • ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
  • ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
  • ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
  • ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
  • ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 1010 ) = 10↑101010
  • Pola kedua pada bilangan graham, g2 = 3 ↑g1 3 > 10 ↑g1 – 1 10.
  • ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → 1010) ) = 10↑10↑10101010
  • g3 = (3 → 3 → g2) > (10 → 10 → g2 – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
  • g4 = (3 → 3 → g3) > (10 → 10 → g3 – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
  • ...
  • g9 = (3 → 3 → g8) yang berada di antara (10 → 10 → 9 → 2) dan (10 → 10 → 10 → 2)
  • ( 10 → 10 → 10 → 2 )
  • g10 = (3 → 3 → g9) yang berada di antara (10 → 10 → 10 → 2) dan (10 → 10 → 11 → 2)
  • ...
  • g63 = (3 → 3 → g62) yang berada di antara (10 → 10 → 63 → 2) dan (10 → 10 → 64 → 2)
  • ( 10 → 10 → 64 → 2 )
  • Bilangan Graham, g64
  • ( 10 → 10 → 65 → 2 )
  • ( 10 → 10 → 10 → 3 )
  • ( 10 → 10 → 10 → 4 )
  • ( 10 → 10 → 10 → 10 )
  • ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
  • ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
  • ...
  • 10→10 ...→10→10⏟10→10→10 (Dengan angka 10 sebanyak 10→10→10 kali)

Catatan dan referensi

Referensi

  1. ↑ One Million Things - A Visual Encyclopedia. MediaFire.
  2. ↑ Robert A. Nowlan. Masters of Mathematics: The Problems They Solved, Why These Are Important, and What You Should Know about Them. Springer. 2017-05-13. ISBN 978-94-6300-893-8.
  3. ↑ Eva Bianconi. An estimation of the number of cells in the human body. Annals of Human Biology. Nov–Dec 2013. Vol. 40 (6). hlm. 463–471. doi:10.3109/03014460.2013.807878.
  4. ↑ An Estimate of the Total DNA in the Biosphere. PLOS Biology. June 2015. Vol. 13 (6). hlm. e1002168. doi:10.1371/journal.pbio.1002168.
  5. ↑ Rachel Nuwer. Counting All the DNA on Earth. The New York Times. 18 July 2015.
  6. ↑ Shannon, Claude. XXII. Programming a Computer for Playing Chess. Philosophical Magazine. March 1950. Vol. 41 (314).

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29470572 (2026-07-18T02:34:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Bilangan_besar&oldid=8142"