Kuaternion

Berkas:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg

William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941

Dalam matematika, Kuaternion adalah perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi. Kuaternion ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton, yang memperpanjang aritmetika kompleks nomor ke kuaternion.

Segera setelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan kuaternion. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika.

Definisi

Sebagai himpunan, kuaternion, berlambang H, sama dengan R⁴ yang merupakan ruang vektor bilangan riil empat dimensi. H memiliki tiga macam operasi: pertambahan, perkalian skalar dan perkalian kuaternion. Elemen-elemen kuaternion ditandakan sebagai 1, i, j dan k (i, j dan k adalah komponen imaginer), dan dapat ditulis sebagai kombinasi linear, a + bi + cj + dk (a, b, c, dan d adalah bilangan riil).

Kuaternion $p=a+bi+cj+dk$ bisa dituliskan sebagai $p=a+\overrightarrow{u}$ di mana $\overrightarrow{u}$ adalah vektor 3 bilangan imaginer, $\overrightarrow{u}=\{bi+cj+dk\}$.

Perkalian elemen dasar

Persamaan elemen kuaternion i, j, dan k adalah:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,$

Karena

$-1=ijk,$

jika dua sisi dikalikan dengan k, maka

$\begin{array}{cc}-k& =ijkk=ij(k^2)=ij(-1),\\ k& =ij.\end{array}$

Persamaan-persamaan yang lainnya juga bisa didapatkan dengan tahap aljabar:

$\begin{array}{cccc}ij& =k,& ji& =-k,\\ jk& =i,& kj& =-i,\\ ki& =j,& ik& =-j,\end{array}$

Persamaan-persamaan ini lalu bisa ditampilkan dengan tabel di bawah ini:

Perkalian kuaternion

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Pertambahan

$\begin{array}{cc}& p_1+p_2=(a_1+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_2+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\\ & =(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k\end{array}$

Pengurangan

$\begin{array}{cc}& p_1-p_2=(a_1+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)-(a_2+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\\ & =(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i+(c_1-c_2)j+(d_1-d_2)k\end{array}$

Perkalian

$\begin{array}{cc}& p_1\times p_2\\ & =(a_1{a}_2-b_1{b}_2-c_1{c}_2-d_1{d}_2)+(b_1{a}_2+a_1{b}_2-d_1{c}_2+c_1{d}_2)i+(c_1{a}_2+d_1{b}_2+a_1{c}_2-b_1{d}_2)j+(d_1{a}_2-c_1{b}_2+b_1{c}_2+a_1{d}_2)k\end{array}$

Bila kuaternion dituliskan dengan bentuk $p=a+\overrightarrow{u}$, maka:

$\begin{array}{cc}& p_1\times p_2\\ & =(a_1+\overrightarrow{u_1})\times (a_2+\overrightarrow{u_2})\\ & =(a_1{a}_2-\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2})+(a_1\overrightarrow{u_2}+a_2\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})\end{array}$

Pembagian

$\begin{array}{cc}& p_1/p_2\\ & =\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2+d_1{d}_2}{m}+\frac{b_1{a}_2-a_1{b}_2-d_1{c}_2+c_1{d}_2}{m}i+\frac{c_1{a}_2+d_1{b}_2-a_1{c}_2-b_1{d}_2}{m}j+\frac{d_1{a}_2-c_1{b}_2+b_1{c}_2-a_1{d}_2}{m}k\end{array}$ di mana $m=a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2$

Konjugat

Suatu kuaternion p = a + bi + cj + dk memiliki konjugat p*, dan didapatkan dengan rumus berikut:

$\begin{array}{c}p\ast =a-bi-cj-dk\end{array}$

Persamaan-persamaan konjugasi kuaternion adalah:

$\begin{array}{ccc}(p^{\ast }{)}^{\ast }& =& p\\ (pq{)}^{\ast }& =& q^{\ast }{p}^{\ast }\\ (p^{-1}{)}^{\ast }& =& \frac{p}{\Vert p{\Vert }^2}\\ (p^{\ast }{)}^{-1}& =& \frac{p}{\Vert p{\Vert }^2}\\ (p^{-1}{)}^{-1}& =& p\\ (p_1+p_2{)}^{\ast }& =& p_1^{\ast }+p_2^{\ast }\end{array}$

Satuan

Dengan fungsi Norma $N()$, bila $N(p)=1$, maka:

$\begin{array}{ccc}p& =& \cos (\theta )+\overrightarrow{u}\sin (\theta )\\ p& =& \cos (\theta )+\hat{u}\sin (\theta )\end{array}$

di mana

$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =1$

Bentuk matriks

Kuaternion, seperti bilangan kompleks, bisa ditulis dalam bentuk matriks, yaitu matriks kompleks 2x2 atau matriks riil 4x4.

Bentuk matriks kompleks 2x2 untuk kuaternion a + bi + cj + dk adalah:

$\left[\begin{array}{cc}a+bi& c+di\\ -c+di& a-bi\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right]$

Bentuk matriks riil 4x4 untuk kuaternion a + bi + cj + dk adalah:

$\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ -b& a& -d& c\\ -c& d& a& -b\\ -d& -c& b& a\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Selain itu juga terdapat bentuk matriks 3x3 yang digunakan dalam grafika komputer. Berikut adalah bentuk matriks kolom-utama (column-major) yang digunakan di OpenGL. (Matriks baris-utama (row-major) yang digunakan di DirectX sama dengan transposa matriks kolom-utama)

$\left[\begin{array}{ccc}1-2(c^2+d^2)& 2(bc-da)& 2(bd+ca)\\ 2(bc+da)& 1-2(b^2+d^2)& 2(cd-ba)\\ 2(bd-ca)& 2(cd+ba)& 1-2(b^2+c^2)\end{array}\right]$

Fungsi

Norma

$N(p)=N(a+bi+cj+dk)=a^2+b^2+c^2+d^2$

Dan juga,

$\begin{array}{ccc}N(p^{\ast })& =& N(p)\\ N(pq)& =& N(p)N(q)\end{array}$

Kebalikan

$p^{-1}=\frac{p^{\ast }}{N(p)}$

Dan juga,

$\begin{array}{ccc}p{p}^{-1}& =& p^{-1}p\\ p{p}^{-1}& =& 1\\ (p^{-1}{)}^{-1}& =& p\\ (pq{)}^{-1}& =& q^{-1}{p}^{-1}\end{array}$

Pemilihan riil

Meskipun tertetap sangat sederhana, fungsi yang hasilnya adalah bagiannya bilangan riil kuaternion ini memiliki kegunaannya tersendiri. $W(p)=W(a+bi+cj+dk)=a$

Dan juga,

$\begin{array}{ccc}W(p)& =& (p+p^{\ast })/2\end{array}$

Skalar

Dari kuaternion $p_2=\frac{p+(p^{\ast })}{2}$

Maka: $Scalar(p)=a_2$

Signum

$\mathrm{sgn}(p)=\frac{p}{|p|}$

Argumen

$\arg (p)=\arccos (\frac{Scalar(p)}{|p|})$

Pangkat dan Logaritma

Fungsi ekponensial: $\exp (p)=\exp (a)(\cos (|\overrightarrow{u}|)+\mathrm{sgn}(\overrightarrow{u})\sin (|\overrightarrow{u}|))$

Logaritma natural: $\ln (|p|)=\ln (|p|)+\mathrm{sgn}(\overrightarrow{u})\arg (p)$

Pangkat: $p^q=e^{q\ln (p)}$

Trigonometri

Fungsi trigonometris

$\sin (p)=\sin (a)\cosh (|\overrightarrow{u}|)+\cos (a)\mathrm{sgn}(\overrightarrow{u})\sinh (|\overrightarrow{u}|)$

$\cos (p)=\cos (a)\cosh (|\overrightarrow{u}|)-\sin (a)\mathrm{sgn}(\overrightarrow{u})\sinh (|\overrightarrow{u}|)$

$\tan (p)=\frac{\sin (p)}{\cos (p)}$

Fungsi hiperbolik

$\sinh (p)=\sinh (a)\cos (|\overrightarrow{u}|)+\cosh (a)\mathrm{sgn}(\overrightarrow{u})\sin (|\overrightarrow{u}|)$

$\cosh (p)=\cosh (a)\cos (|\overrightarrow{u}|)+\sinh (a)\mathrm{sgn}(\overrightarrow{u})\sin (|\overrightarrow{u}|)$

$\tanh (p)=\frac{\sinh (p)}{\cosh (p)}$

Fungsi hiperbolik invers

$\mathrm{arcsinh}(p)=\ln (p+\sqrt{p^2+1})$

$\mathrm{arccosh}(p)=\ln (p+\sqrt{p^2-1})$

$\mathrm{arctanh}(p)=\frac{\ln (1+p)-\ln (1-p)}{2}$

Satuan

Kuaternion satuan: $p=\cos (\theta )+\hat{u}\sin (\theta )$

Pangkat

$\begin{array}{cc}& p^t=(\cos (\theta )+\hat{u}\sin (\theta ){)}^t\\ & =\exp (\hat{u}t\theta )\\ & =\cos (t\theta )+\hat{u}\sin (t\theta )\end{array}$

Logaritma

$\begin{array}{cc}& \log (p)=\log (\cos (\theta )+\hat{u}\sin (\theta ))\\ & =\log (\exp (\hat{u}\theta ))\\ & =\hat{u}\theta \end{array}$

Kalkulus

$\frac{d}{dt}{p}^t=p^t\log (p)$

Penerapan

Rotasi vektor grafika 3D

Fungsi rotasi vektor dapat menggunakan operasi kuaternion daripada operasi matriks riil 4x4, dengan rumus:

$\begin{array}{cc}& r=qvq\ast \\ \end{array}$

di mana

$\begin{array}{cc}& v=1+x_{A}i+y_{A}j+z_{A}k\\ & q=\cos \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2}{x}_{v}i+\sin \frac{\alpha }{2}{y}_{v}j+\sin \frac{\alpha }{2}{z}_{v}k\\ & r=1+{x_A}^{\prime }i+{y_A}^{\prime }j+{z_A}^{\prime }k\\ \end{array}$

dan A adalah posisi benda yang dirotasikan, v adalah vektor poros rotasi, dan α adalah sudut rotasi berlawanan arah jarum jam.

Pranala luar

• Hamilton, William Rowan. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489–495. 1844.
• Hamilton, William Rowan (1853), "Lectures on Quaternions". Royal Irish Academy.
• Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
• Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co..
• Tait, Peter Guthrie (1873), "An elementary treatise on quaternions". 2d ed., Cambridge, [Eng.]: The University Press.
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Maxwell, James Clerk (1873), "A Treatise on Electricity and Magnetism". Clarendon Press, Oxford.
• Tait, Peter Guthrie (1886), "'". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
• Joly, Charles Jasper (1905), "A manual of quaternions". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
• Macfarlane, Alexander (1906), "Vector analysis and quaternions", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN es 16000048
• 1911 encyclopedia: "Quaternions".
• Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quantum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp. 207–220, MathSciNet.
• Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
• Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
• Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press ; New York: Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
• Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p. 291–308, Dec. 1989.
• Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quantum mechanics and quantum fields". New York: Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
• Trifonov, Vladimir (1995), "A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem", Europhysics Letters, 32 (8) 621–626, DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001
• Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
• Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
• Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester ; New York: Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
• Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
• Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 (review).
• Kravchenko, Vladislav (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
• Hanson, Andrew J. (2006), "Visualizing Quaternions", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco. ISBN 0-12-088400-3
• Trifonov, Vladimir</ref> (2007), "Natural Geometry of Nonzero Quaternions", International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251–257, DOI: 10.1007/s10773-006-9234-9
• Ernst Binz & Sonja Pods (2008) Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society, Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
• For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 25090801 (2023-12-30T00:42:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.