Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.10

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz atau pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz,^[1]^[2]^[3]^[4] adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam matematika.^[5]

Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh ^[6] dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.^[7]

Pernyataan pertidaksamaan

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor $𝐮$ dan $𝐯$ dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwadengan $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor $𝐮$ dinyatakan dan didefinisikan dengan: $‖ 𝐮 ‖ := \sqrt{⟨ 𝐮, 𝐮 ⟩}$ sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa $‖ 𝐮 ‖^{2} = ⟨ 𝐮, 𝐮 ⟩,$ dengan $⟨ 𝐮, 𝐮 ⟩$ selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:^[8]^[9]Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika $𝐮$ dan $𝐯$ adalah vektor yang tergantung linear.^[10]^[11]^[12]

Kasus istimewa

Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif

Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif: $\frac{{(\sum_{i = 1}^{n} u_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}} \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{u_{i}^{2}}{v_{i}} atau \frac{u_{1}^{2}}{v_{1}} + \frac{u_{2}^{2}}{v_{2}} + \dots + \frac{u_{n}^{2}}{v_{n}} \geq \frac{{(u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n})}^{2}}{v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}} .$ Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di $ℝ^{n}$ dengan memasukkan ${u_{i}}^{'} = \frac{u_{i}}{\sqrt{v_{i}}} dan {v_{i}}^{'} = \sqrt{v_{i}} .$ Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Ruang Euklides dimensi-

Dalam ruang Euklides $ℝ^{n}$ dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai ${(\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2})$ Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di $x$ di bawah berikut adalah: $0 \leq (u_{1} x + v_{1})^{2} + \dots + (u_{n} x + v_{n})^{2} = (\sum u_{i}^{2}) x^{2} + 2 (\sum u_{i} v_{i}) x + \sum v_{i}^{2} .$ Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk $x,$ sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian, ${(\sum_{i} u_{i} v_{i})}^{2} - (\sum_{i} u_{i}^{2}) (\sum_{i} v_{i}^{2}) \leq 0,$

Ruang kompleks bidang-

Jika $𝐮, 𝐯 \in ℂ^{n}$ dengan $𝐮 = (u_{1}, \dots, u_{n})$ dan $𝐯 = (v_{1}, \dots, v_{n})$ , dan $u_{1}, \dots, u_{n} \in ℂ$ dan $v_{1}, \dots, v_{n} \in ℂ$ ; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor $ℂ^{n}$ merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan $⟨ 𝐮, 𝐯 ⟩ := u_{1} \overline{v_{1}} + \dots + u_{n} \overline{v_{n}},$ dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut: ${| \sum_{i = 1}^{n} u_{i} {\bar{v}}_{i} |}^{2} \leq \sum_{j = 1}^{n} | u_{j} |^{2} \sum_{k = 1}^{n} | v_{k} |^{2},$ atau dengan kata lain, $| u_{1} {\bar{v}}_{1} + \dots + u_{n} {\bar{v}}_{n} |^{2} \leq (| u_{1} |^{2} + \dots + | u_{n} |^{2}) (| v_{1} |^{2} + \dots + | v_{n} |^{2}) .$

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

{| \int_{ℝ^{n}} f (x) \overline{g (x)} d x |}^{2} \leq \int_{ℝ^{n}} | f (x) |^{2} d x \int_{ℝ^{n}} | g (x) |^{2} d x .

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

Lihat pula

Kutipan

Referensi

↑ J.J. O'Connor. Hermann Amandus Schwarz. University of St Andrews, Scotland.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Branko Ćurgus. Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality. Western Washington University.
↑ David E. Joyce. Cauchy's inequality. Clark University.
↑ J. Michael Steele. The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ J. Michael Steele. The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.
↑ Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications. Cengage Learning. 19 July 2005. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678.
↑ John K. Hunter. Applied Analysis. World Scientific. 2001. ISBN 981-02-4191-7.
↑ George Bachmann. Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. 2012-12-06. hlm. 14. ISBN 9781461205050.
↑ Sadri Hassani. Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. 1999. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4.
↑ Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 3rd Ed. Springer International Publishing. 2015. hlm. 172. ISBN 978-3-319-11079-0.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28032903 (2025-10-16T20:06:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] J.J. O'Connor. Hermann Amandus Schwarz. University of St Andrews, Scotland.

[2] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[3] Branko Ćurgus. Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality. Western Washington University.

[4] David E. Joyce. Cauchy's inequality. Clark University.

[5] J. Michael Steele. The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.

[6] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[7] J. Michael Steele. The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.

[8] Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications. Cengage Learning. 19 July 2005. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678.

[9] John K. Hunter. Applied Analysis. World Scientific. 2001. ISBN 981-02-4191-7.

[10] George Bachmann. Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. 2012-12-06. hlm. 14. ISBN 9781461205050.

[11] Sadri Hassani. Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. 1999. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4.

[12] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 3rd Ed. Springer International Publishing. 2015. hlm. 172. ISBN 978-3-319-11079-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-'''Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz''' atau '''pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz''', adalah salah satu [[pertidaksamaan]] yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam [[matematika]].
+'''Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz''' atau '''pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz''',<ref>J.J. O'Connor. [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schwarz/ Hermann Amandus Schwarz]. ''University of St Andrews, Scotland''.</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>Branko Ćurgus. [http://faculty.wwu.edu/curgus/Courses/Math_pages/Math_504/Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky.html Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality]. ''Western Washington University''.</ref><ref>David E. Joyce. [https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/cauchy.pdf Cauchy's inequality]. ''Clark University''.</ref> adalah salah satu [[pertidaksamaan]] yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam [[matematika]].<ref>J. Michael Steele. [http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities]. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.</ref>
-Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh  dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.
+Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh <ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.<ref>J. Michael Steele. [http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities]. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.</ref>
 == Pernyataan pertidaksamaan ==
-Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> dari [[ruang hasil kali dalam]] berlaku benar bahwadengan <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[hasil kali dalam]]. Setiap hasil kali dalam menimbulkan [[Norma (matematika)|norma]], yang disebut sebagai [[Hasil kali dalam#Norma|norma terimbas]] dengan norma dari vektor <math>\mathbf{u}</math> dinyatakan dan didefinisikan dengan:<math display="block">\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}</math>sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa <math>\|\mathbf{u}\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle,</math> dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle</math> selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> adalah vektor yang [[Bebas linear|tergantung linear]].
+Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> dari [[ruang hasil kali dalam]] berlaku benar bahwadengan <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[hasil kali dalam]]. Setiap hasil kali dalam menimbulkan [[Norma (matematika)|norma]], yang disebut sebagai [[Hasil kali dalam#Norma|norma terimbas]] dengan norma dari vektor <math>\mathbf{u}</math> dinyatakan dan didefinisikan dengan:<math display="block">\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}</math>sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa <math>\|\mathbf{u}\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle,</math> dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle</math> selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:<ref>Gilbert Strang. ''Linear Algebra and its Applications''. Cengage Learning. 19 July 2005. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678.</ref><ref>John K. Hunter. [https://books.google.com/books?id=oOYQVeHmNk4C Applied Analysis]. World Scientific. 2001. ISBN 981-02-4191-7.</ref>Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> adalah vektor yang [[Bebas linear|tergantung linear]].<ref>George Bachmann. [https://books.google.com/books?id=PkHhBwAAQBAJ Fourier and Wavelet Analysis]. Springer Science & Business Media. 2012-12-06. hlm. 14. ISBN 9781461205050.</ref><ref>Sadri Hassani. [https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations]. Springer. 1999. hlm. [https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass/page/29 29]. ISBN 0-387-98579-4.</ref><ref>Sheldon Axler. [https://books.google.com/books?id=CQWwoQEACAAJ Linear Algebra Done Right, 3rd Ed]. Springer International Publishing. 2015. hlm. 172. ISBN 978-3-319-11079-0.</ref>
 == Kasus istimewa ==
 === Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif ===
 [[Pertidaksamaan Sadrayakan|Pertidaksamaan Sedrakyan]], atau disebut pertidaksamaan [[Harald Bergström|Bergström]], bentuk [[Arthur Engel (matematikawan)|Engel]], lema T2, atau lema [[Titu Andreescu|Titu]], mengatakan bahwa untuk [[Bilangan riil|bilangan real]] positif:<math display="block">\frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{atau} \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.</math>Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan [[Daab bintik|hasil kali bintik]] di <math>\R^n</math> dengan memasukkan<math display="block">u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}} \text{ dan } v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa [[bilangan kuadrat]].
@@ Baris 25: / Baris 24: @@
 == Lihat pula ==
+*
 *
 *
 *
 *
 *
-*
 == Kutipan ==
 == Referensi ==
+<references />
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-* .
-*
-* .
-*
-*
-*
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28032903 (2025-10-16T20:06:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)