Faktorion: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.11

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan $b$ adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya.^[1]^[2]^[3] Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.^[4]

Definisi

Katakan $n$ adalah bilangan asli. Untuk basis $b > 1$ , kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit ^[5] ^[6] $n$ , ${SFD}_{b} : ℕ \to ℕ$ , sekiranya:

{SFD}_{b} (n) = \sum_{i = 0}^{k - 1} d_{i}! .

Di mana $k = ⌊ \log_{b} n ⌋ + 1$ adalah jumlah digit bilangan pada basis $b$ , $n!$ adalah faktorial dari $n$ dan

d_{i} = \frac{n mod b^{i + 1} - n mod b^{i}}{b^{i}}

adalah nilai dari digit ke- $i$ bilangan tersebut. Bilangan asli $n$ tergolong $b$ - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk ${SFD}_{b}$ , yaitu jika ${SFD}_{b} (n) = n$ .^[7] $1$ dan $2$ adalah titik tetap untuk seluruh basis $b$ , dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap $b$ , dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis $b = 10$ adalah faktorion karena $145 = 1! + 4! + 5!$ .

Untuk $b = 2$ , jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka $k$ pada basis 2 karena $0! = 1! = 1$ .

Suatu bilangan asli $n$ adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik ${SFD}_{b}$ , Di mana ${SFD}_{b}^{k} (n) = n$ untuk bilangan bulat positif $k$ , dan membentuk siklus periode $k$ . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai $k = 1$ , dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai $k = 2$ . ^[8] ^[9]

Semua bilangan asli $n$ adalah poin praperiodik untuk ${SFD}_{b}$ , apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis $b$ dengan digit-digit $k$ menghasilkan $b^{k - 1} \leq n \leq (b - 1)! (k)$ .Tapi, jika $k \geq b$ , maka $b^{k - 1} > (b - 1)! (k)$ untuk $b > 2$ , jadi apapun $n$ akan menghasilkan $n > {SFD}_{b} (n)$ hingga $n < b^{b}$ . Ada banyak bilangan asli yang kurang dari $b^{b}$ , oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari $b^{b}$ , dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk $b = 2$ , jumlah digit $k \leq n$ untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis $b$ .

${SFD}_{b}^{i} (n)$ perlu jumlah iterasi $i$ untuk mencapai titik tetap ${SFD}_{b}$ fungsi persistensi $n$ , dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Faktorion

b = ( k − 1)!

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan $b = (k - 1)!$ . Oleh sebab itu:

$n_{1} = k b + 1$ adalah faktorion ${SFD}_{b}$ untuk semua $k .$

$n_{2} = k b + 2$ adalah faktorion ${SFD}_{b}$ untuk semua $k$ .

Faktorion
$k$	$b$	$n_{1}$	$n_{2}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k +1

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis $b = k! - k + 1$ . Oleh sebab itu:

$n_{1} = b + k$ adalah faktorion ${SFD}_{b}$ untuk semua $k$ .

Tabel faktorion dan siklus

Basis $b$ mewakilkan semua angka.

Basis $b$	Faktorion nontrivial ( $n \neq 1$ , $n \neq 2$ ) ^[10]	Siklus
2	$\emptyset$	$\emptyset$
3	$\emptyset$	$\emptyset$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	$\emptyset$
6	41, 42	$\emptyset$
7	$\emptyset$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	$\emptyset$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 ^[11] 872 → 45362 → 872 ^[12]

Referensi

↑ Neil Sloane. A014080. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
↑ Martin Gardner. Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind. Vintage Books. 1978. hlm. 61 and 64. ISBN 9780394726236.
↑ Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations. Dover Publications. 1979. hlm. 167. ISBN 9780486237626.
↑ Clifford A. Pickover. Keys to Infinity. John Wiley & Sons. 1995. hlm. 169–171 and 319–320. ISBN 9780471193340.
↑ Shyam S. Gupta. Sum of the Factorials of the Digits of Integers. The Mathematical Gazette. The Mathematical Association. 2004. Vol. 88. hlm. 258–261. doi:10.1017/S0025557200174996.
↑ Neil Sloane. A061602. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
↑ Steve Abbott. SFD Chains and Factorion Cycles. The Mathematical Gazette. The Mathematical Association. 2004. Vol. 88. hlm. 261–263. doi:10.1017/S002555720017500X.
↑ Neil Sloane. A214285. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
↑ Neil Sloane. A254499. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
↑ Neil Sloane. A193163. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
↑ Neil Sloane. A254499. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sloane, Neil, "A254499", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
↑ Neil Sloane. A214285. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sloane, Neil, "A214285", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 25373316 (2024-02-27T09:52:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Neil Sloane. A014080. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[2] Martin Gardner. Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind. Vintage Books. 1978. hlm. 61 and 64. ISBN 9780394726236.

[3] Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations. Dover Publications. 1979. hlm. 167. ISBN 9780486237626.

[4] Clifford A. Pickover. Keys to Infinity. John Wiley & Sons. 1995. hlm. 169–171 and 319–320. ISBN 9780471193340.

[5] Shyam S. Gupta. Sum of the Factorials of the Digits of Integers. The Mathematical Gazette. The Mathematical Association. 2004. Vol. 88. hlm. 258–261. doi:10.1017/S0025557200174996.

[6] Neil Sloane. A061602. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[7] Steve Abbott. SFD Chains and Factorion Cycles. The Mathematical Gazette. The Mathematical Association. 2004. Vol. 88. hlm. 261–263. doi:10.1017/S002555720017500X.

[8] Neil Sloane. A214285. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[9] Neil Sloane. A254499. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[10] Neil Sloane. A193163. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[11] Neil Sloane. A254499. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sloane, Neil, "A254499", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[12] Neil Sloane. A214285. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sloane, Neil, "A214285", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[teori bilangan]], '''faktorion''' pada suatu basis bilangan <math>b</math> adalah [[bilangan asli]] yang sama dengan jumlah [[faktorial]] dari [[Digit|angka-angkanya]]. Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.
+Dalam [[teori bilangan]], '''faktorion''' pada suatu basis bilangan <math>b</math> adalah [[bilangan asli]] yang sama dengan jumlah [[faktorial]] dari [[Digit|angka-angkanya]].<ref>Neil Sloane. [https://oeis.org/A014080 A014080]. ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''.</ref><ref>Martin Gardner. [https://books.google.com/books?id=RcnbvQEACAAJ&q=Mathematical+Magic+Show:+More+Puzzles,+Games,+Diversions,+Illusions+and+Other+Mathematical+Sleight-Of-Mind Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind]. Vintage Books. 1978. hlm. 61 and 64. ISBN 9780394726236.</ref><ref>Joseph S. Madachy. [https://books.google.com/books?id=UvpUAAAAYAAJ&q=Madachy%27s+Mathematical+Recreations Madachy's Mathematical Recreations]. Dover Publications. 1979. hlm. 167. ISBN 9780486237626.</ref> Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.<ref>Clifford A. Pickover. [https://books.google.com/books?id=oXIFAAAACAAJ&q=Keys+to+Infinity Keys to Infinity]. John Wiley & Sons. 1995. hlm. 169–171 and 319–320. ISBN 9780471193340.</ref>
 == Definisi ==
-Katakan <math>n</math> adalah bilangan asli. Untuk basis <math>b > 1</math>, kita tentukan '''jumlah faktorial dari digit-digit'''   <math>n</math>, <math>\operatorname{SFD}_b : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>, sekiranya:
+Katakan <math>n</math> adalah bilangan asli. Untuk basis <math>b > 1</math>, kita tentukan '''jumlah faktorial dari digit-digit''' <ref>Shyam S. Gupta. ''Sum of the Factorials of the Digits of Integers''. ''The Mathematical Gazette''. The Mathematical Association. 2004. Vol. 88. hlm. 258–261. doi:10.1017/S0025557200174996.</ref> <ref>Neil Sloane. [https://oeis.org/A061602 A061602]. ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''.</ref> <math>n</math>, <math>\operatorname{SFD}_b : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>, sekiranya:
 : <math>\operatorname{SFD}_b(n) = \sum_{i=0}^{k - 1} d_i!.</math>
@@ Baris 10: / Baris 10: @@
 : <math>d_i = \frac{n \bmod{b^{i+1}} - n \bmod{b^{i}}}{b^{i}}</math>
-adalah nilai dari digit ke-<math>i</math> bilangan tersebut. Bilangan asli <math>n</math> tergolong <math>b</math> - '''faktorion''' jika bilangannya menjadi [[Titik tetap (matematika)|titik tetap]] untuk <math>\operatorname{SFD}_b</math>, yaitu jika <math>\operatorname{SFD}_b(n) = n</math>. <math>1</math> dan <math>2</math> adalah titik tetap untuk seluruh basis <math>b</math>, dan dengan demikian merupakan '''faktor trivial''' untuk setiap <math>b</math>, dan keseluruhan faktor lainnya adalah '''faktor nontrivial''' .
+adalah nilai dari digit ke-<math>i</math> bilangan tersebut. Bilangan asli <math>n</math> tergolong <math>b</math> - '''faktorion''' jika bilangannya menjadi [[Titik tetap (matematika)|titik tetap]] untuk <math>\operatorname{SFD}_b</math>, yaitu jika <math>\operatorname{SFD}_b(n) = n</math>.<ref>Steve Abbott. ''SFD Chains and Factorion Cycles''. ''The Mathematical Gazette''. The Mathematical Association. 2004. Vol. 88. hlm. 261–263. doi:10.1017/S002555720017500X.</ref> <math>1</math> dan <math>2</math> adalah titik tetap untuk seluruh basis <math>b</math>, dan dengan demikian merupakan '''faktor trivial''' untuk setiap <math>b</math>, dan keseluruhan faktor lainnya adalah '''faktor nontrivial''' .
 Contoh: 145 pada basis <math>b = 10</math> adalah faktorion karena <math>145 = 1! + 4! + 5!</math> .
@@ Baris 16: / Baris 16: @@
 Untuk <math>b = 2</math>, jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka <math>k</math> pada basis 2 karena <math>0! = 1! = 1</math> .
-Suatu bilangan asli <math>n</math> adalah '''faktorion sosiabel''' apabila ia merupakan titik periodik <math>\operatorname{SFD}_b</math>, Di mana <math>\operatorname{SFD}_b^k(n) = n</math> untuk [[bilangan bulat]] positif <math>k</math>, dan membentuk siklus periode <math>k</math> . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai <math>k = 1</math>, dan '''faktor amisabel''' adalah faktor yang sosiabel dengan nilai <math>k = 2</math> .
+Suatu bilangan asli <math>n</math> adalah '''faktorion sosiabel''' apabila ia merupakan titik periodik <math>\operatorname{SFD}_b</math>, Di mana <math>\operatorname{SFD}_b^k(n) = n</math> untuk [[bilangan bulat]] positif <math>k</math>, dan membentuk siklus periode <math>k</math> . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai <math>k = 1</math>, dan '''faktor amisabel''' adalah faktor yang sosiabel dengan nilai <math>k = 2</math> . <ref>Neil Sloane. [https://oeis.org/A214285 A214285]. ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''.</ref> <ref>Neil Sloane. [https://oeis.org/A254499 A254499]. ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''.</ref>
 Semua bilangan asli <math>n</math> adalah poin praperiodik untuk <math>\operatorname{SFD}_b</math>, apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis <math>b</math> dengan digit-digit <math>k</math> menghasilkan <math>b^{k-1} \leq n \leq (b-1)!(k)</math> .Tapi, jika <math>k \geq b</math>, maka <math>b^{k-1} > (b-1)!(k)</math> untuk <math>b > 2</math>, jadi apapun <math>n</math> akan menghasilkan <math>n > \operatorname{SFD}_b(n)</math> hingga <math>n < b^b</math>. Ada banyak bilangan asli yang kurang dari <math>b^b</math>, oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari <math> b^b</math>, dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk <math>b = 2</math>, jumlah digit <math>k \leq n</math> untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis <math>b</math> .
@@ Baris 23: / Baris 23: @@
 == Faktorion  ==
 === ''b'' = ( ''k'' − 1)! ===
 Katakan <math>k</math> adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan <math>b = (k - 1)!</math>. Oleh sebab itu:
@@ Baris 31: / Baris 30: @@
 * <math>n_2 = kb + 2</math> adalah faktorion <math>\operatorname{SFD}_b</math> untuk semua <math>k</math> .
+{| class="wikitable"
+|+Faktorion
+! <math>k</math>
+! <math>b</math>
+! <math>n_1</math>
+! <math>n_2</math>
+|-
+| 4
+| 6
+| 41
+| 42
+|-
+| 5
+| 24
+| 51
+| 52
+|-
+| 6
+| 120
+| 61
+| 62
+|-
+| 7
+| 720
+| 71
+| 72
+|}
 === ''b'' = ''k'' ! − ''k'' +1 ===
@@ Baris 39: / Baris 65: @@
 === Tabel faktorion dan siklus  ===
 Basis <math>b</math> mewakilkan semua angka.
+{| class="wikitable" border="1"
+!Basis <math>b</math>
+! Faktorion nontrivial ( <math>n \neq 1</math>, <math>n \neq 2</math> ) <ref>Neil Sloane. [https://oeis.org/A193163 A193163]. ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''.</ref>
+! Siklus
+|-
+| 2
+| <math>\varnothing</math>
+| <math>\varnothing</math>
+|-
+| 3
+| <math>\varnothing</math>
+| <math>\varnothing</math>
+|-
+| 4
+| 13
+| 3 → 12 → 3
+|-
+| 5
+| 144
+| <math>\varnothing</math>
+|-
+| 6
+| 41, 42
+| <math>\varnothing</math>
+|-
+| 7
+| <math>\varnothing</math>
+| 36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
+|-
+| 8
+| <math>\varnothing</math>
+| 3 → 6 → 1320 → 12
+→ 12051 → 175
+|-
+| 9
+| 62558
+|
+|-
+| 10
+| 145, 40585
+| 871 → 45361 → 871 <ref>Neil Sloane. [https://oeis.org/A254499 A254499]. ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''. Sloane, Neil, "A254499", ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''</ref>
+→ 45362 → 872 <ref>Neil Sloane. [https://oeis.org/A214285 A214285]. ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''. Sloane, Neil, "A214285", ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''</ref>
+|}
 == Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktorion&oldid=25373316 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 25373316 (2024-02-27T09:52:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)